기이론과 끈이론의 관계(고전적 측면의 섭동적 끈이론).

[유의태]

           [오래된 측면: 섭동적 끈이론] 

80년대는 누군가 말했듯이 끈이론의 첫 번째 혁명적 시기였다. 
이 기간 동안 우리는 끈들이 약하게 상호작용을 할 때는 
다섯 가지 형태의 끈이론들이 존재하며 
이 다섯 이론들 모두 양자역학과 부합하기 위해서는 
끈은 10차원에 존제해야 한다는 것을 알아냈다. 

그러나 한편으로는 하나가 아닌 다섯 가지의 끈이론이 존재한다는 사실은 
끈이론이 모든 자연현상을 기술하는 궁극의 최종이론이 아닐 수도 있다는 
의구심을 불러일으킨 것 또한 사실이다. 

두 번째 혁명적 시기인 90년대에 이르면 
우리는 끈이론의 여러 비섭동적인 측면들에 대한 이해를 얻게된다. 
그리고 이제는 끈들이 강하게 상호작용을 할 경우 
다섯 가지의 끈이론 모두 M-이론이라 불리는 
하나의 통합된 이론으로 귀결한다고 말할 수 있게 되었다. 

여기서는 후의 비섭동 끈이론 또는 M-이론에 대한 고찰에 앞서 
다섯 가지 섭동 끈이론들에 대한 대략적 소개를 하기로 한다. 
두 끝이 연결된 마치 스프링과도 같은 닫힌 끈(closed string)을 우선 고려해보자. 

끈의 운동은 
끈의 공간 좌표 σ와 
끈의 시간 좌표 τ의 
두 변수를 좌표로 갖는 세계면이라 불리는 
2차원 공간에서 시간과 공간 상의 
끈의 좌표 X(σ,τ)로 가는 
함수와 끈의 장력 T=1/ls2t로서 기술할 수 있다. 

여기서 lst은 끈이론의 기본 길이 단위이다. 
끈의 좌표는 파동방정식을 만족하는데 
이를 닫힌 끈에 대해 풀면 닫힌 끈은 오른쪽 진행모드와 왼쪽 진행 모드가 
각기 존재함을 알 수 있다. 

X(σ,τ)=XL(τ +σ)+XR(τ-σ)---------------------(3) 

끈의 양쪽 끝이 연결되어 있다는 경계조건을 고려하면 
각각의 진행 모드는 다시 무한히 많은 진동모드들로 나뉜다는 것을 알 수 있다. 
장력과 더불어 질량밀도가 무한대가 되는 lst->0인 극한을 살펴보면 
끈들이 마치 딱딱한 강체처럼 움직인다는 것을 알 수 있다. 

이때 남는 운동 형태는 
이 강체화 된 끈들의 직선 운동뿐이다. 
일반적인 lst의 값에 대해서는 
여러 진동모드들이 함께 할 수 있게 되는데 

이 진동모드들은 끈에 각운동량과 1/lst 단위의 에너지를 더해주게 된다. 
따라서 각각의 진동모드를 갖는 끈들은 
일정한 질량과 스핀을 갖는 입자들로의 해석이 가능하다. 


1. 약하게 상호작용하는 끈들.

80년대의 일차 끈이론 혁명기간 동안 
우리는 다음과 같이 다섯 가지의 끈이론들을 알아냈다. 

(0) 보즈 끈(Bosonic String) 
첫 번째로 소개하는 보즈 끈이론은 가장 간단한 이론이며 
양쪽 끝이 닫힌 끈과 열린 끈으로 구성되어 있다. 
닫힌 끈에는 시계방향 진동 모드들과 반시계 방향 진동 모드가 각기 있으며 
열린 끈에는 정상파 형태의 진동 모드가 존재한다. 
보즈 끈이론이 양자역학적으로 정합적이기 위해서는 
끈들이 26차원에 있을 것을 요구해야 한다. 

진동 모드들 중에는 영점 모드에 따라 영의 질량을 갖는 것들이 있는데 
닫힌 끈에는 우선 스핀 값이 2인 중력자들이 
그리고 열린 끈에는 스핀 값이 1인 게이지 보존이 자리하게 된다. 
이 외에 닫힌 끈에는 스핀 0의 딜라톤이라 불리는 입자와 
반대칭적 스핀 2의 입자가 중력자와 질량 0인 입자 군에 속해 있다. 
다른 모든 높은 진동 모드들은 질량이 1씩 증가하게 된다. 

이 끈이론은 
두 가지 측면에서 불완전한 이론이다. 
첫째는 허수의 질량의 타키온을 가진다는 것이고 
둘째는 자연의 근본 상호작용을 기술하는데 필수 불가결한 
이른바 카이랄 페르미온(chiral fermion)이 없다는 점이다. 
이러한 문제들은 시간과 공간의 초대칭성을 도입함으로써 해결될 수 있는데 
이를 통하면 우리는 다음의 초끈이론들을 얻게 된다. 

(1) ,  IIA형 초끈 (Type IIA Super string) 

II형 초끈 이론들(IIA, IIB)은 
닫힌 끈을 시간과 공간의 초대칭성을 확장함으로써 얻을 수 있다. 
즉 보즈 진동모드 외에 이른바 페르미(fermionic) 진동모드를 도입하여 
짝을 이루게 하는 것이다. 
이 초대칭성의 결과 초끈들은 오직 10차원 시공간에만 존재하게 된다. 

시계방향과 반시계방향 두 가지 닫힌 끈의 진동모드들에 대하여 
우리는 이들의 힐러시티(helicity), 
즉 진행방향에 대해 스핀이 같은 방향인지 반대 방향인지를 이야기해 줄 필요가 있다. 

시계방향 진동모드와 반시계방향 진동모드가 같은 힐러시티를 갖느냐 
시계반대의 힐러시티를 갖느냐에 따라 두 가지의 독립적인 선택이 가능한데 
IIA 초끈은 시계반대의 힐러시티를 갖는 것으로서 정의되어 진다.

 이 결과 
NS-NS계열, 

즉 반주기 (anti-periodicity) 경계조건을 만족하는 
페르미 진동모드에서 중력자, 
반대칭적 스핀 2 입자, 
딜라톤이 질량 영인 입자로 얻어지며, 

R-R계열,

즉 주기(periodic) 경계조건을 만족하는 페르미온들로부터 
홀수개의 시공간 좌표 첨자를 갖는 입자들이 얻어진다. 


(2) IIB형 초끈(Type II B Super string). 
IIB형 초끈은 닫힌 끈의 시계방향, 반시계방향 두개의 진동모드들이 
같은 힐러시티를 갖는 것으로 정의되는데 
질량 0인 NS-NS계열은 IIA형과 같으며,
 R-R계열은 짝수개의 시공간 텐서 입자들로 이루어진다. 

(3) 

(4) E8×E8, SO(32)/Z2 이형 끈(heterotic string) 
이형 끈이론은 위의 세 가지 끈이론의 혼합으로 볼 수 있다. 
앞서 본 바와 같이 닫힌 끈이론에는 두 가지 진동모드 
즉 시계방향과 반시계방향 모드들이 있는데 
이들은 독립적으로 움직인다. 
따라서 보즈 끈으로부터는 시계방향 진동 모드를 IIA나 IIB형 초끈으로부터는 
반시계방향의 진동모드를 가져옴으로서 이형 끈이론이 만들어진다. 
결과적으로 이형 끈이론은 IIA, IIB형 초끈 이론들에 비해 절반의 초대칭성을 가진다. 

양자역학적으로 정합적인 이론이기 위해서는 
게이지 그룹이 E8×E8과 SO(32)/Z2의 두 가지만이 허용된다. 

질량 0인 NS-NS계열은 II형과 동일하며 
R-R계열은 한 개의 시공간 좌표 첨자를 갖는 입자들로 이루어진다. 

(5) Type I 초끈 
지금까지 소개한 끈이론들은 모두 닫힌 끈을 다루고 있으나 
마지막으로 소개하는 Type I 초끈 이론은 열린 끈에 관한 이론이다. 
열린 끈은 시계방향, 반시계방향의 두 개의 독립적인 진동 모드를 갖는 
닫힌 끈과는 달리 한 종류의 정상파 형태의 진동 모드를 가지는데 
열린 끈의 양쪽 끝에는 Chan-Paton 인자라 불리는 게이지 그룹의 인덱스들을 붙일 수가 있다.

양자역학적으로 SO(32)의 게이지 그룹만이 허용되며 
질량 0인 입자 군은 이성 끈이론의 그것과 같은 형태를 띤다. 


2.  점-입자 극한. 

일반적으로 끈의 진동자들 각각은 스핀 J,  질량 M인 입자에 대응한다. 
따라서 끈이론은 이러한 무한히 많은 입자와 그 상호작용을 기술하는 
장 이론과 동등하다고 할 수 있다. 
혹자는 그러므로 끈이론이 무한히 복잡할 수도 있다는 인상을 받을지도 모른다. 
하지만 끈이론의 매개변수들의 적절한 극한을 취함으로써 
우리는 이러한 문제를 피할 수 있다. 

가령 끈의 장력이 무한히 커질 때 끈은 요동을 멈추게 되고 
따라서 단순히 점-입자로 취급이 가능하다. 
끈이론 물리량의 계산에 있어 독립적인 두 개의 섭동전개 매개변수가 있다. 

하나는 끈의 장력 T=1/ls2t이다. 
나머지는 끈들의 상호작용 크기를 나타내는 결합상수

λs2t≡e2φ로서 
여기서 φ는 딜라톤 장의 기대치로 모든 끈이론에 존재한다. 
섭동 끈이론에서는 임의의 물리량을 lst와 결합상수 λ st를 이용해서 다음과 같이 전개한다:
이러한 전개는 연속체장 이론에서 나타나는 잘 알려진 두 개의 매개변수에 의한 
급수 전개와 거의 유사하다. 

즉 양자장 이론의 

에 의한 루프(loop) 전개와 
무한대의 내부 운동량의 한계를 나타내는 
길이 단위의 매개변수 a2=1/Λ2에 의한 전개와 동일한 방식이지만 
한가지 차이는 끈이론에서는 무한개의 모든 장의 조합의 결과 



로 lst에 대한 전개가 유한해지며 
장 이론과 같은 무한대는 완전히 사라지게 된다. 

따라서 끈의 길이 척도 lst가 커짐에 따라 
기저 진동자 외에 나머지 진동자는 아주 큰 에너지가 필요하게 되어 
기저 진동자 만의 역학으로 끈을 효과적으로 기술할 수 있으며 
전술한 각종 10차원 초중력 이론들이 그에 해당한다.

 가령 IIA 끈이론의 경우 (3)식에 의하여 
질량이 0인 장들이 기술되며 
이들은 N=2 초중력 이론에 의하여 기술된다. 
이 이론의 두 개의 매개변수 전개는 



로 주어지며 
여기서 생략된 괄호는 lst 전개의 고차 항들을 나타낸다. 
한가지 중요한 사실은 R-R 장과 NS-NS장은 결합 상수의 차수가 위 식 같이 서로 다르며 
특히 NS-NS장은 

(λs t2) -1 의 차수이며 
반면 R-R장은 

(λs t2) 0 으로 차수가 하나 높다. 

(계속)