황금분할
[golden section음성듣기, 黃金分割]
요약 선분을 한 점에 의하여 2개의 부분으로 나누어, 그 한쪽의 제곱을, 나머지와 전체와의 곱과 같아지게 하는 일을 말한다.
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작도의 예
하나의 선분 AB가 있을 때, 그 선분상에 한 점 P를 구하여 (AP)2=BP·AB가 되도록 하는 일이다.BP:AP=2:(√5 + 1)=1:1.61803… 을 황금비(黃金比) 또는 외중비(外中比)라 한다. 또, 정오각형의 같은 꼭짓점[頂點]을 지나지 않는 두 개의 대각선(對角線)은 서로 다른 쪽 대각선을 황금분할한다. 황금비를 분수로 근사 표현을 하면 다음과 같다.
황금비는 고대 그리스에서 발견되었고, 가장 조화가 잡힌 비(比)로 이와 같이 이름하게 된 것인데, 르네상스의 볼로냐의 수도승(修道僧) 루카 파치올리(Luca Pacioli)에 의하여 ‘신성비례(神聖比例)’라고 이름할 정도로 중요시되었다.특히 시각(視覺)에 호소하는 도형이나 입체 등에서는 이 비를 많이 이용해왔으며, 예를 들면 직사각형의 두 변의 비가 황금분할이 되는 것은 여러 가지 비례의 직사각형 중에서 가장 정돈된 직사각형이라 하였다. 건축·조각·회화·공예(工藝) 등, 조형예술의 분야에서는 다양한 통일의 하나의 원리로 널리 활용되고 있다. 또, 자연의 조화가 잡힌 형태 중, 예를 들면 잎맥[葉脈], 종자의 형상, 조개껍데기 소용돌이, 세포의 성장 등에서 이 비를 찾아내려고 하는 사람도 있다. 근년에는 음악 영역에서도 이것을 작곡에 활용한 예가 있다. 황금비는 일상 생활 속에서 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들면 엽서, 담배갑이나 명함의 치수 등도 두 변의 비가 황금비에 가깝다. 물건을 선택할 때 대부분의 사람은 무의식 중에 황금비의 치수를 취하고 있다.
황금분할 [golden section, 黃金分割]
*황금비
[요약] 인간이 인식하기에 가장 균형적이고 이상적으로 보이는 비율
외국어 표기
黃金比(한자)golden ratio(영어)
그리스의 수학자 피타고라스(BC 582? ~ 497?)는 만물의 근원을 수(數)로 보고, 수학적 법칙에 따라 세상을 표현하고자 하였으며, 정오각형 모양의 별에서 이상적인 비율을 발견하였다. 그는 정오각형의 각 꼭짓점을 대각선으로 연결하면 내부에 별 모양이 생기며, 이 별 내부에 또 다른 정오각형이 만들어지는데, 이때 정오각형 내부의 대각선이 교차하는 각 대각선에 대해 약 5 : 8 = 1 : 1.6의 비율로 분할하는 것을 발견하였다. 이것이 황금비의 개념이 생겨난 시초라 할 수 있으며, 이때 「정오각형의 같은 꼭짓점을 지나지 않는 2개의 대각선은 서로 다른 쪽을 황금분할한다.」고 한다.
출처: 시사상식사전
이후 그리스의 수학자 유클리드(BC 330? ~ 275?)가 황금비에 대해 이론적으로 구체화시킴으로써 널리 알려졌다. 유클리드는 황금비를 「한 선분을 전체 선분과 긴 선분의 비가 긴 선분과 짧은 선분의 비와 같도록 나누는 것」으로 정의하였다. 이 정의에 따르면 한 선분은 한 점에 의해서 두 부분으로 나눌 수 있는데, 선분 AB의 길이를 x : 1로 나눈 점 C에 대해 AB : AC = AC : BC인 경우, 「점 C는 선분 AB를 황금분할한다.」고 하고, 이때의 x가 「황금비」가 되는 것이다.
출처: 시사상식사전
즉, 긴 선분인 AC(단, x >1)에 대하여 AC2=(AB)ㆍ(BC)가 성립하므로 이를 두 선분의 비로 나타내면
이다.일반적으로 이렇게 구해진 긴 선분의 분할에 대한 비 1.618033989…에서 소수 셋째 자리까지만 나타낸 1.618을 황금비로 활용한다. 황금비를 활용한 가장 대표적인 예로 두 변의 비가 황금비를 이루는 직사각형을 가장 모양이 좋은 직사각형으로 평가한다. 한편, 조화와 균형을 신봉한 고대 그리스인들은 황금비를 회화ㆍ조각과 같은 예술 작품과 건축물 등 모든 일상에서 적용하였다고는 하지만, 실제 정확하게 비율을 따져서 제작되었는지는 의문이다.그럼에도 불구하고 황금비율적 관점에서 보면 파르테논 신전, 이집트의 피라미드, 레오나르도 다 빈치의 비너스 조각상과 모나리자(인체비율이나 회화의 구도) 등에서 1.618의 비율인 황금비를 찾아볼 수 있다. 오늘날 일상생활에서는 1.618 외에도 신용카드 등에 사용되는 1 : 1.56, A4 용지에 사용되는 1 : 1.414 등도 비교적 균형 잡힌 황금비율로 활용되고 있다.
황금비 (시사상식사전, 박문각)
*수학산책
황금비
피보나치 수열과 관련된 상수
피보나치 수열은 다음처럼 정의된 수열이다(관련 내용은 [피보나치 돌 줍기 게임]참조).
실제로 몇 항을 구해 보면 다음과 같다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
이 피보나치 수열은, 특히 황금비라 부르는 상수와 많은 관련이 있어 수학적으로 흥미롭다.
예루살렘 구시가에 있는 모스크, 바위사원. 황금비를 이루고 있다. <출처: (cc) Brian Jeffery Beggerly>
황금비란?
‘황금비’(golden ration)는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있는데, 다음처럼 정의하는 것이 유클리드의 원론에 나오는 최초의 정의에 가깝다. 선분 AB의 길이를 x:1로 (단 x >1) 내분한 점 C에 대해 AB:AC=AC:CB인 경우, 이런 분할을 황금분할이라 부르고 x를 황금비라 부른다.
따라서 x+1 : x = x : 1이 성립하므로 x2 – x - 1=0이어야 한다. 왼편의 2차 다항식 x2 – x - 1은 피보나치 수열이나 황금비를 다루면 줄기차게 나오는 다항식이다. 아무튼 2차 방정식의 근의 공식으로부터 다음이 성립한다.
조건에서 x>1이라 하였으므로 황금비 ϕ (‘파이’(phi)라고 읽는다)는 아래와 같다.
위의 방정식의 다른 근은 아래와 같은데,
역시 알아둘 필요가 있다. 소수점 이하 자리수가 똑같다는 것도 관찰할 수 있는데, 이 값을 라 쓰기로 하자. (‘변형된 파이’라고 읽는다.)
황금비의 연분수 전개와 피보나치 수
‘√2는 무리수’라는 글에서 연분수 얘기를 한 바 있으니, 잊어버렸거나 놓치신 분은 다시 한 번 읽어주시기 바란다. 황금비가 수학적으로 흥미로운 수라는 사실은 연분수 전개를 할 때도 드러난다. ϕ=1.61803...의 정수부분이 1이므로 다음처럼 분해할 수 있다.
소수부분의 역수는 아래와 같으므로
다시 (당연히) 황금비가 된다! 따라서 다음처럼 쓸 수 있다는 뜻이다.
이제 이 연분수를 이용하여 황금비의 1단계, 2단계, 3단계, … 근삿값을 구해 보자. 즉
를 구하자는 뜻이다. 차례로 계산하면 1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, … 인데 분모 분자에서 피보나치 수열을 볼 수 있고, 서너 항만 계산해도 왜 피보나치 수열이 등장할 수밖에 없는지 쉽게 알 수 있다.
피보나치 수열의 일반항: 비네의 공식
방금 황금비의 연분수 전개에서, 피보나치 수열의 인접한 두 항의 비 fn+1 / fn가 황금비 ϕ로 수렴한다는 사실을 알았다. 피보나치 수열이 황금비와 관련돼 있다는 사실은 예를 들어 건축물 디자인 등에 암암리에 사용된다. 레오나르도 다빈치는 아름다운 인체의 비율을 표현하는데 황금비를 사용했다고 한다. 따라서 댄 브라운이 소설 ‘다빈치 코드’에 피보나치 수열을 등장시킨 것은 필연이라 하겠다.
다빈치의 자화상으로 널리 알려진 그림(다빈치의 자화상이 아니라는 설도 있음, 왼쪽)과 유명한 인체 드로잉인 비트루비안 맨(Vitruvian Man, 오른쪽)
fn+1 / fn가 ϕ에 가까워진다는 관찰에서 fn+1 - ϕfn을 생각하기로 마음 먹으면, 피보나치 수열의 일반항을 구하는 공식을 얻는 데 한 걸음 가까워진다. 피보나치 수열을 구성하는 점화식
에, 근과 계수와의 관계 ϕ + =1 및 ϕ = -1 을 적용하면 다음을 알 수 있다.
따라서 다음 두 사실을 얻는다.
따라서
임을 알 수 있다. 마찬가지로 fn+1 - fn = ϕn도 성립한다. 이 두 결과를 빼주고 정리하면, 선뜻 예상하기는 힘든 공식을 얻는다.
예를 들어 n=3을 대입하면
임을 확인할 수 있다. 방금 계산으로부터도 알 수 있지만 n이 큰 수일 때 실제로 공식에 대입해서 값을 구하는 게 만만한 일은 아니어서, 실제 항을 표현하는 자연수 값을 구하는 데 그다지 유용하지는 않다. 저 공식으로 다음처럼 f100을 구하느니, 차라리 차례대로 99번 더하는 게 낫다는 푸념도 나올 수 있다.
위 공식은 비네 (Jacques Philippe Marie Binnet, 1786-1856)의 이름을 따서 비네의 공식이라 부르는데, 저명한 수학자 겸 전산과학자 커누쓰(Donald Knuth)에 따르면 드 므아브르(Abraham De Moivre, 1667-1754)가 이미 알고 있었다고 한다. 그렇더라도, 피보나치 수열이 소개된 후 일반항 공식이 나오기까지 500년이나 걸렸다는 얘기인데, 공식의 모양을 보니 그럴 만도 했겠다.
황금비와 피보나치 수열의 관계
피보나치 수열의 이웃한 항의 비는 예를 들어
등은 황금비에 가까워지는 값이라고 했다. 더 정확하게는 n=1일 때만 제외하면, fnx ϕ에 가장 가까운 정수가 fn+1 이라는 사실도 알 수 있다. 예를 들어 10 번째 항 55에 황금비 1.61803…을 곱하면 88.9916…이므로 11 번째 피보나치 수는 89라는 얘기다. 이때도 n이 큰 경우 실제 계산에 이용하려면, 황금비의 정확한 근삿값을 알아야 한다는 단점이 있다.한편 비네의 공식에서 아래 부분은
절댓값이 1/2보다 작으므로, fn은 ϕn / √5에 가장 가까운 정수라는 사실도 알 수 있다. 역시 n이 큰 경우 계산에 별 도움이 안 되기는 매한가지지만, fn의 자릿수를 아는 데 꽤나 유용하다. 상용로그를 아는 사람은, 예를 들어 100log(ϕ)-0.5log5가 20.54…라는 사실에서 f100이 21 자리수임을 알 수 있다.
피보나치 수열은 쓸데 없는 수열?
피보나치 수열은 흥미의 소재로만 다루어지는 경우가 많다. 그러다 보니, 쓸모라고는 찾아볼래야 찾아볼 수 없는 수열이라고만 여기는 경우가 많다. 또한 황금비와 관련하여 수학의 아름다움을 보여준답시고 억지 춘향처럼 꿰 맞춰 등장하는 경우가 많아, 오히려 진정한 가치는 외면되기 일쑤인 수열이다. 하지만, 특별한 이유도 없는 것 같으면서도 약방의 감초처럼 곳곳에서 불쑥불쑥 등장하는 수열이다.
이항 계수에 관련한 파스칼의 삼각형에 피보나치 수열이 등장한다는 것은 애교다. 주식 시장에서 주가 변동의 추세를 파악하는 방법론 중에서 황금비가 역할을 하는 경우도 있다. 드 므아브르는 피보나치 수열의 일반항을 연구하다 ‘생성함수’(generating function)를 발명하였는데, 이 개념이 수학에 미친 영향은 대단히 크다. 정수 계수 부정 방정식의 해를 찾는 알고리즘을 제시할 수 있느냐는 힐베르트의 10 번째 문제를 부정적으로 해결하는 데도 피보나치 수열이 중요하게 쓰였다. 두 정수의 최대공약수를 구하는 유클리드 호제법의 효율성에 관한 고찰에도 등장한다. 이 수열에 대한 박사 학위 논문도 있으며, 주로 이 수열과 관련한 수학만을 다루는 학술지도 있다. 흥미와 유용성을 동시에 갖춘 수열로는 단연 으뜸이라 하겠다.
[ 황금비 - 피보나치 수열과 관련된 상수 ㅡ수학산책