<p style="text-align: left;">안녕하세요, 작년에 온라인으로 복소 수업을 수강한 학생입니다. 임용을 다시 준비하면서 작년 수업 자료를 보면서 복습 중에 의문이 생겨 질문합니다.<br><br>김동희(2020). 전공수학 원론 v.1.01. p.296. 의<br>정리 18.6입니다.<br><br>"열린집합 G가 연결되었을 조건은 G상의 임의의 두 전이 유한 개 선분으로 연결될 조건과 필요충분조건이다."<br><br>판서하신 내용과 제가 필기한 내용으로 미루어볼 때, 역방향은 경로연결임을 통해 자명하다고 보고 넘어갔습니다.<br><br>의문은 순방향 증명에서 나타납니다.<br>G가 연결집합임을 가정하고, G의 임의의 원소 g와 유한선분 연결되는 z들을 모아 집합 K를 만들었습니다. 그리고 여기서 K=G임을 보이려고 합니다.<br><br>K=G임을 보이기 위해 K가 clopen임을 보이려는 합니다만, K가 열린집합임을 보일 수 있었으나 닫힌집합임을 보이기가 어려웠습니다. 어떤 방식으로 증명해야하는지 궁금합니다.<br><br><br><br>질문하기 전에 구글링을 해보았습니다. connectedness와 polygonally connected를 대부분의 책에서는 정의로<br>"definition of a connected open set is: a set in which every pair of points can be joined by a polygonal path that lies entirely in the set. "로 두고 넘어간다고 하면서 딱히 다른 설명을 붙여두고 있지 않았습니다. <br><br>혼자 해결해보려고 해보았으나 잘 안 되어 질문드립니다.</p>
<!-- -->
글에도 적었듯이 먼저 구글링을 해보았습니다. 다양한 영문 pdf와 몇몇 질문 답변을 보았는데 거기에서 위와 같이 정의하는 것을 목격했습니다.
다음은 제가 보았던 질문 중 하나입니다
My textbook (Complex Analysis by Saff & Snider) defines connectedness for open sets; the given definition of a connected open set is: a set in which every pair of points can be joined by a polygonal path that lies entirely in the set.
Using the given definition of connected set, I don't understand why it isn't similarly defined for closed sets too?
첫댓글 혹시 몰라 필기노트를 첨부합니다
G안에서 K의 여집합에서 원소p를 하나 꺼내면요. p와 유한 연결 점집합은 다시 열린이구요. 그래서G안에서 K의 여집합이 열린이됩니다.
G 안에서 K의 여집합이 유한연결점집합이 어떻게 되는지 잘 이해 안 됩니다...
그런데 다른 책에서는 왜 정의로 두고 넘어가는 걸까요? 그 편이 저자 입장에서 논의하기가 더 쉬워지나요
@civilization G 안에서 K밖에있는 원소 p를 뽑았어요. 그럼 p와 유한선분연결점들을 모아서 집합을 구성할 수 있죠 그죠? 그게 근데 또 열린이죠?
@civilization 다른 책 이야기는 좀 이따가 합시다 먼저 이 이야기 마무리 하고요.~
@신선물고기 아아 이해했습니다
B_r(p)를 유한 선분 따라서 합집합해버리면 해결되는 거 맞나요?
@civilization 음.. 글세요.. 다시 처음부터 해 봅시다.
지금부터 여기 댓글에서 G는 열린이고 비지않은 집합이고요. 복소평면에 있구요. 우선 점 p in G에 대하여 p와 유한 선분으로 얀결된 점집합은 열린입니다. 여기까지 오케이?
넵
@civilization 자 그럼 저기 p에서 유한 선분 연결 점집합을 K라 합시다. 이제 G에서 K에 안드는 원소 (있다면)를 q 라 하고요. q에서 유한 선분 연결 점집합을 L이라 합시다. 그럼 L도 열린이죠 그죠?
@신선물고기 네 그렇습니다
@civilization 근데 또 L과 K는 안 만나죠 그죠?
@신선물고기 네 당연히 두 집합은 서로소입니다
@civilization q가 임의의 원소니까 K는 G안에서 닫힌이죠?
@신선물고기 L이 열린집합이고 K는 L의 여집합이기 때문인가요?
@civilization 아뇨.ㅠㅠG안에서 K외부의 임의의 점 q에 대하여 그 열린근방이 존재해서 K하고 안 만나서요.ㅠㅠ
@신선물고기 각 q에 대해 부분기저 B_r(q)를 잡고 이 기저를 포함하는 열린 근방이 존재하는데, 이 열린 근방과 K와의 교집합이 공집합이기 때문인가요?
@civilization 부분기저이야기가 나오면 안되구요. q의 근방 L이 K랑 안 만나고있죠?
@신선물고기 네 안 만나고 있습니다
@civilization 각각의 q마다 늘 K랑 안만나는 열린근방 L이 존재하죠?
@신선물고기 네 그렇습니다
@civilization 따라서 G-K는 G에서 열린집합이죠?
@신선물고기 아 제가 위에서 실수했네요
K가 L의 여집합이기 때문이 아니라, 임의의 q에 대해 열린근방이 존재하기 때문에 G-K가 열린집합이고 K가 닫힌 집합이 되는 거네요
@civilization 네 그럼 되신거죠 이 부분은?
@신선물고기 네 그렇습니다, 감사합니다, 이렇게 길게까지 답변을...
자 이제 그 다음 이야기를 해 볼까요?^^ 이 정리 증명에서 K가 닫힌집합임을 보이는데 점열을 이용한 책이 있다고 하셨습니다^^ 어떤 책일까요?
글에도 적었듯이 먼저 구글링을 해보았습니다. 다양한 영문 pdf와 몇몇 질문 답변을 보았는데 거기에서 위와 같이 정의하는 것을 목격했습니다.
다음은 제가 보았던 질문 중 하나입니다
My textbook (Complex Analysis by Saff & Snider) defines connectedness for open sets; the given definition of a connected open set is: a set in which every pair of points can be joined by a polygonal path that lies entirely in the set.
Using the given definition of connected set, I don't understand why it isn't similarly defined for closed sets too?
@civilization 저 질문은 선생님이 하신 질문과 좀 다른 것 같은데요?
@civilization 저건 쉽게 이야기 하면 닫힌 연결 집합은 왜 촐리고널 패스 연결과 다르냐 열린 연결은 똑같은데. 이거구요.
@신선물고기 구글링을 키워드로 하다보니 제 질문과 정확하게 맞는 답변은 나오지 않았습니다
선생님 추가 질문은 제가 이해하기에는 K가 닫힌임을 다른 책에서는 점열을 이용해서 보이던데 왜 그런거냐로 보았는데 아닌건가요?
^^ 질문을 명확히 다시 해 주세요. 저기 영어로 써 있는 부분에 대해서 답을 드리면 되는건가요?
아뇨 그런 의미가 아닙니다
제 궁금증은 단지 "원론 v1.01에서 18.6을 정리로 해두었는데 다른 책은 정의로 해둔 거 같아서 어떤 차이가 있는지 궁금하다"였습니다.
@civilization 아. 그걸 정의로 둔 책은 일반 위상에대해서 관심이 별로 없는 경우구요. 우리는 임용 준비하니까 당연히 일반 위상에 관심이 많으니까 그렇게 정의하면 적당하지 않은 거구요^^
@신선물고기 아 관심의 유무였군요, 특별히 다른 의미가 있나 싶었습니다. 사소한 질문까지 신경써주셔서 감사합니다!
@civilization 도움이 되어 다행입니다.
@신선물고기 그런데 작년도 교재 정오표는 삭제하셨나요? 공지사항에 들어가서 다운 받으려는데 잘 안 되어서요...
@civilization 매년 개정이 되어서.. 그리고 시스탬을 오류정정게시판을 통한 관리로 바꿔서요.. 지난 교재도 정정게시판에 문의하시면 되긴하는데 일단 제가 작년 오류 모음 파일을 찾아볼게요^^
@신선물고기 늦은 시간까지 애써주신 만큼 더 즐겁게 수학공부하겠습니다. 고맙습니다!