안녕하세요.........
제가 최대한 자세히 설명 하려고 하다 보니....
먼저 y>0 이라고 한것은..
f(2xy)부분 있잖아요...
사실 우함수여서 상관이 없지만 그래도 혹시나 헷갈림을 방지 하기 위하여 x>0, y>0 이렇게 잡는데... 이부분 빼서 죄송합니다..^^
사실 f(x^2 + y^2) = f(x^2) + f(y^2) + f(2xy)
에서 다 끝난 거에요...
f(x^2) = f(x)^2 >=0 이니깐..
음이아닌 실수 x에 대하여 f(x)>=0
거기다가 f가 우함수이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)>=0
따라서 m>=0,n>0 일때
f(m+n)=f(m)+f(n)+f(2root(mn)) >= f(m)+f(n) > f(m)
진작에 이렇게 썼어야 했는데 죄송합니다...
그리고 요새 제가 좀 바빠서 타이핑을 막하다 보니 z=1 을 0으로 썼네요.. 그리고 또 틀린부분 있는데 f(1)=0 이면 z=1 을 대입하면
f(x)=0 이 되겠지요..
--;;
이상 이부분만 수정하면 완벽해 질 거라 생각하네요...
앞으론 조심해서 타이핑 하겠습니다..^^
f(x^2)=f(x)^2 이라는 의미는...
임의의 양수 x에 대하여 x=y^2 이 되는 y가 존재하잖아여..
그러면 x>0 이면 f(x)=f(y^2)=f(y)^2>=0
이렇게 되지여..
특히 y>0 이면 f(x)>0
따라서
f(x^2 + y^2) = f(x)^2 + f(y)^2 + 2f(xy)
에서 y가 임의의 실수이니깐...
f(x^2 + y^2) > f(x^2) 이 성립하게 됩니다...
이때 y는 임의의 실수이므로....
당연히 아주 작게 잡더라도 위 식이 성립하게되니깐..
즉 x^2 = m 이라 치환하면 y^2=t>0 에 대하여
f(m+t) > f(m) 이 성립하게 되는 것이죠..
단 제가 언급했듯이 f가 우함수니깐..
x>=0 구간에서 만 따지면 된다고 했잖아여..
x가 실수 범위이면 항상 증가함수라고 할수 없지만...
풀이 할때 양수 범위에서만이라고 한것 같은데...
x^2,y^2 모두 0 이상인 실수이기 때문에...
x>=0 구간에서 증가 함수가 되고, 우함수이니깐 x<=0 이면 당연히
감소 함수가 되겠지요....
(전유나의 다른 질문)
위설명에서 특히 y>0 이면 f(x)>0
는 어떻게 해서 나왔나요?
f(x^2 + y^2) = f(x)^2 + f(y)^2 + 2f(xy)
에서 y가 임의의 실수이니깐...
f(x^2 + y^2) > f(x^2) 이 성립하게 됩니다...