초입방체만들기

[귀뚜라미]

현재까지 3차원 입체도형의 전개도의 개수에 관해서는 잘 알려져 있다. 그러나 한 차원 높은 4차원 입체도형의 경우에 전개도가 몇 가지인지 알아내는 것은 어려운 문제이다. 이에 대하여 1966년에 미국의 과학 저술가이며 유희수학(recreational mathematics) 분야에서 이름이 높은 마틴 가드너(Martin Gardner)는 “4차원 초입방체의 전개도를 3차원 공간에 나타내면 몇 가지가 있겠는가?”라는 질문을 던졌다.

4차원 초입방체의 3차원 전개도는 몇 개인가?

그 질문에 답하기 전에, 지난 글에 4차원 초입방체에 대하여 소개한 적이 있으니 참고하기 바란다. 다시 간단하게 요약하면, 4차원 초입방체란 3차원 정육면체에 잉크를 채워 수직으로 끈 도형이며, 아래 그림과 같다. 3차원 정육면체를 보는 방향에 따라 여러 가지로 그릴 수 있는 것과 마찬가지로 4차원 초입방체도 보는 각도에 따라 여러 가지로 다르게 그릴 수 있다는 것도 알아두자.

위의 두 그림 모두 4차원 초입방체를 평면에 그려놓은 모습이다.

 

특히, 위의 오른쪽 그림을 움직이는 영상으로 보면 다음의 그림과 같이 볼 수도 있다.

 

4차원 초입방체를 표현한 움직이는 애니메이션.

 

4차원 초입방체는 정육면체가 8개 붙은 모양

그러면 이 초입방체의 전개도는 몇 개가 있을까? 이 질문에 대하여 1985년에 피터 터니(Peter Turney)는 그래프의 일종인 트리를 활용하여 도형의 전개도의 개수를 구하는 방법을 소개했다. 이 트리를 활용하는 터니의 방법으로 4차원 초입방체의 전개도와 그 개수를 구하여 보자. 정육면체의 전개도의 종류와 마찬가지로 4차원 초입방체의 전개도의 종류도 매우 많다. 그 가운데 아래의 전개도를 보면 8개의 정육면체가 붙어 있는 모양이다.

왜 8개의 정육면체가 붙어 있는 모양일까? 4차원 초입방체는 3차원 정육면체를 끌어서 만든 도형이라고 했으므로 정육면체를 끌면 원래 자리의 정육면체가 1개, 나중의 자리의 정육면체가 1개 있다. 그 사이에 정육면체의 각 면이 끌리면서 각각 하나씩 정육면체를 생성하므로 총 6개의 정육면체가 더 생긴다. 그래서 초입방체는 모두 8개의 정육면체로 이루어져 있는 것이다. 이러한 초입방체의 전개도는 지난 번에 정육면체의 전개도를 구하는 방법과 같이 짝트리를 활용하는 방법으로 구할 수 있다. 차이점이 있다면 정육면체의 전개도를 구할 때는 꼭짓점이 6개인 짝트리를 이용했지만 초입방체의 전개도를 구할 때는 꼭짓점이 8개인 짝트리를 이용한다는 것이다.

초입방체의 전개도 가운데 하나

트리를 이용해서 전개도를 구해보자

꼭짓점이 6개인 서로 다른 트리의 개수를 구하는 방법과 같은 방법으로 꼭짓점이 8개인 서로 다른 트리의 개수를 구할 수 있다. 꼭지점이 8개인 서로 다른 트리는 다음과 같이 모두 23개이다.

 

전개도로 4차원 입방체 모양 만들어보자

이제 위의 (11)번 짝트리를 이용하여 앞에서 보여준 초입방체의 전개도가 어떻게 그려졌는지 알아보자. 다음 그림과 같이 (11)번 트리의 인접하지 않은 꼭짓점끼리 연결하면, 트리의 변은 정육면체가 붙어있는 것을 나타내므로 전개도를 확인할 수 있다.

 

실제로 위의 전개도를 다음 그림과 같은 차례로 이어 붙인다면 초입방체를 얻을 수 있다. 전개도에 있는 정육면체를 탄력이 매우 좋은 고무라고 생각하고 이어 붙이는 것이다. (수학에서는 안 되는 것이 없다!)

초입방체의 전개도로 초입방체를 만드는 과정. 맨 밑의 정육면체로 전체를 뒤집어 싼다.

 

4차원 입방체의 전개도는 261개다

그러면 처음의 질문, “초입방체의 전개수의 개수는 몇 개?”로 돌아가 보자. 역시 같은 방법으로 서로 다른 트리에서 각각의 트리로 만들 수 있는 짝트리의 수를 세면 된다. 꼭지점의 8개인 서로 다른 트리의 짝트리의 수는 다음과 같다. (1) 24개   (2) 20개   (3) 35개   (4) 18개   (5) 17개  (6) 8개     (7) 18개   (8) 6개    (9) 3개    (10) 3개 (11) 1개   (12) 0개   (13) 9개   (14) 19개  (15) 9개 (16) 22개  (17) 19개 (18) 5개   (19) 10개  (20) 7개 (21) 1개   (22) 2개   (23) 5개

초입방체의 다른 전개도 중 하나

따라서 이들을 모두 합하면 4차원 초입방체의 전개도의 개수는 261개임을 알 수 있다. 그러니, 위에서 보여준 전개도 외에도 260가지의 전개도가 있다. 그 중 하나의 예를 더 보여주겠다. (16)번 짝트리를 이용하면, 위 오른쪽 그림과 같은 전개도를 구할 수도 있다.

수학은 단순화하여 쉽게 문제를 해결하는 학문이다

3차원 입체의 경우도 마찬가지이지만 수학을 이용하지 않고 전개도의 정확한 개수를 구하려면 일일이 세야 한다. 더욱이 일일이 세었을 경우 그것이 전부라는 것을 확신할 수가 없다. 그러나 위와 같이 수학을 이용하면 명확하게 모든 문제를 해결할 수 있다. 이처럼 수학은 매우 어려워 보이는 것을 단순화하여 쉽게 문제를 해결할 수 있는 길을 알려주는 학문이다.

글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수