About Fractal ( 프렉탈에 대하여 )

[如意寶珠]

About Fractal  ( 프렉탈에 대하여 )

 

첫 번째 사진은 진짜 구름사진이다.  그리고 두 번째 , 세 번째 사진은 컴퓨터가 만든 사진이다.  하지안 이 두 사진의 차이는 있다.  두 번째 사진은 컴퓨터를 이용하여 사람이 조작하여 만들었지만 세 번째 사진은 컴퓨터가 스스로 창조한 것이다.  컴퓨터에 어떠한 규칙성을 부여하면 컴퓨터가 스스로 그림을 창조하는 것이다.  그렇다면 그 '규칙'은 어떤 것인가?

구름이나 번개, 유리파편, 겨울철 유리창에 서리는 성애, 비바람에 시달려 꼬부라진 소나무 등 우리를 둘러싸고 있는 자연계에는 복잡하고 불규칙한 모양들로 가득하다.  이러한 다양한 모양에서 어떤 공통점을 찾기는 쉽지 않다.  그러나 수학자 만델브로(Mandelbrot) 는 '프랙탈' 개념을 사용하여 이러한 다양한 모양의 자연현상을 통일관점에서 설명했다.

프랙탈 도형그리기

프랙탈 도형을 만들 때에도 최초의 직선이나 도형이 필요하다.  이것을 창시자(initiator)라고 부른다.  여기에 프랙탈 도형을 만드는 규칙이 주어졌을 때 생긴 도형을 생성자(generator)라고 부른다.  이 생성자를 어떻게 반복하느냐에 따라서 조금씩 다른 프랙탈 도형이 얻어진다.

코흐라인(Koch)

먼저 코흐라인의 생성자는 선분이다.  이 선분을 3등분해서 가운데의 선분을 위로 구부려 올려 만든다.  이렇게 해서 생성자는 길이가 원래 선분의 1/3인 선분 네 개로 이루어진다.  이 생성자를 축소해 가면서 새로 생긴 네 개의 선분과 바꾸어 간다.  이 과정을 무한히 반복하면 코흐곡선을 얻을 수 있다.

프랙탈은 본래 '무한' 개념을 전제로 하고 있다.  프랙탈 도형은 생성자를 무한히 반복하여 얻어지기 때문이다.  이렇게 해서 우리는 무한을 눈으로 똑똑히 볼 수 있게 되었다.  프랙탈은 무한을 기하학적으로 나타내어 다루는 새로은 무한 수학의 탄생을 알린다.

램던코흐라인 (Random Koch)

프랙탈 도형은 약간의 조작의 변화로 매우 다양한 모습이 생성된다.  앞에서 코흐곡선을 만들 때 선분을 3등분하여 가운데 부븐을 꺽어서 위로 솟아오르게 하였다.   이 작업을 각 선분마다 계속 무한의 반복하는 것만으로 프랙탈 도형의 이미지를 얻었다.  그런데 가운데 부분을 꺽어서 위로만 솟아오르게 하지 않고 위와 아래로 번갈아 가며 해보면 아주 판이한 모습이나타난다.  이것은 코흐곡선과는 아주 다른 이미지이다.  마치 어느 해안선의 모습처럼 말이다.

이러한 곡선을 램덤(random) 코흐곡선이라고 부른다.  랜덤 코흐곡선과 보통의 코흐곡선의 차원과 똑같다.  복잡하고 정교한 프랙탈 도형의 특징은 아주 작은 기하학적 변화의 반복에 의하여 생선되는 것이다.  변수의 약간의 오차가 반복되는 알고리즘이 누적되면 전혀 다른 모습의 프랙탈 도형이 만들어진다.

꽃양배추(모란채)

 유럽 원산의 관상용 식물에서 이름을 딴 꽃양배추라는 프랙탈 도형을 만들어 보자. 꽃양배추의 창시자는 수직선분이다.  그리고 생성자는 창시자의 꼭대기에서 그 절반 길이의 두 개의 가지(선분)가 좌우 30도 씩 벌어진 Y 자형을 이룬다.

꽃양배추를 만드는 방법을 약간 고쳐서 가지가 나오는 자리를 바꾸면 나무를 만들 수 있다. 아마 식물의 진화도 이 프랙탈 도형의 변형처럼 DNA 암호코드를 약간 바꿈으로서 이루어지는 것인지 모른다.  그건 어쨌든 나무의 생성자는 가지가 3개로 늘어나고, 위치가 어긋나는 것뿐이다.  여러 가지 나무의 모습은 가지가 벌어지는 각도와 가지의 위치, 그리고 가지의 길이에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다.

칸토르 먼지

칸토르 먼지를 만드는 방법은 다음과 같다.  먼저 길이가 1인 선분을 생각하고 그 중에서 중간의 1/3 부분을 제거하고 야쪽 0~1/3, 2/3~1 부분은 그대로 남긴다.

그리고 어러한 것은 무한히 반복하여 아리에 그린다.  이렇게 칸토르 먼지를 만들면먼지에 포함되어 있는 점의 집합이 자연수 전체의 집합보다 더 큰 비가부번의 농도르 갖는다는 것이다.

프랙탈 도형의 특징

프랙탈 도형의 특징은 첫째, 정수차원이 아닌 프랙탈 차원을 갖는다는 점과  둘째, 도형의 어느 부분을 확대하여도 전체의 모습을 볼 수 있는 자기닯음 구조라는 것 그리고 세 번째는 자기닯음 구조에서 유추할 수 있듯이 그 길이가 무한대라는 점이다.

프랙탈 차원

프랙탈 도형의 특징은 프랙탈 차원을 갖는다는 것이다.

도형의 양에는 길이, 면적, 부피 등이 있다.  이러한 여러 가지 양의 크기를 '측도' 라고 한다. 1차원 도형의 측도는 '길이' 이며, 2차원 도형의 측도는 '넓이' 이다.  이처럼 도형은 그 차원에 따라 측도가 달라진다.  차원이 다른 도형을 확대할 때 그 크기, 즉 측도가 달라진다.  예를 들어 일정한 길이의 1차원 도형인 선분을 3배로 확대하면 그 길이는 3배가 된다.  그러나 2차둰 도형인 정사각형을 3배로 확대하년 넓이는 9배가 되고, 3차원 정육면체의 경우에는 부피가 27배로 늘어난다.  따라서 차원이란 다음과 같이 말할 수 있다.

차원= (측도)/ (확대율)

그러면 코흐라인을 3배 확대하여 보자. 이 때 코흐라인의 측도는 3배가 되었을까? 아니다.  왜냐하면 코흐곡선의 길이는 무한대이기 때문이다. 따라서 3배로 확대해도 여전히 길이는 무한대이기 때문에 무한대를 3배하여도 여전히 무한대인 것이다.  따라서 코흐라인의 경우에는 길이는 의미가 없다.  그래서 코흐곡선은 확대하기 전의 코흐곡선의 일부가 확대된 코흐곡선 속에 몇 개나 들어 있는지를 보고 그것으로 측도를 삼을 수 있다.  왼쪽 그림을 보면 3배로 확대된 코흐곡선에는 원래의 코흐곡선이 4개가 들어 있음을 알 수 있다.  따라서 차원 = (측도)/ (확대율)  = 4/ 3 = 1.2618

코흐곡선은 1차원도형도 아니고 2차원도형도 아닌 1.2618 차원을 가진다.

칸토를 먼지를 3배로 확대하면 원래의 칸토르 먼지가 두 개 생간다.  따라서 프랙탈 차원은

log2/log3=0.6309 이다. 이러한 비정수차원을 만델브로는 프렉탈 차원이라고 이름지었다.

자기닮은 구조

프랙탈 도형은 부분의 부분 또 그 부분을 반복해서 확대해가도 도형의 구조는 본질적으로 변하지 않는다.  이와 같이 무한소까지 확대를 하여도 전체와 일치하는 자기 닮음 구조로 되어 있다.  이것은 어느 부분이나 전체를 재구성할 수 있는 정보를 모두 가지고 있음을 뜻한다. 인간의 시각은 직관적으로 프랙탈 차원에서의 질서를 간파할 수 있을 만큼 정교하고 빠르다. 예를 들어 나뭇가지 하나만 보고도 그것이 어떤 나무인지 알 수 있고, 가죽의 일부만 보고도 그것이 호랑이 가죽인지, 고양이 가죽인지 알 수 있다.  

무한대 길이

이등변 삼각형의 두변을 이등분해 보자,  그리고 나눈변의 위쪽 반을 각각 밑변을 향해 꺽어 내린다. 그러면 작은 이등변 삼각형이 생긴다.  이 조작을 새로 생간 이등변 삼각형에 대해서도 똑같이 실행한다. 이러한 조작을 무한히 반복한다.  이 때 이 선분의 길이는 어떤가?  원래의 길이와 똑같다.  이것은 프랙탈 도형과 유사한 것처럼 보이지만 프랙탈 도형이 아니다.

하지만 코흐 곡선은 생성자의 조작을 반복해 나갈수록 길이가 늘어나고 결국에는 길이가 무한대로 발산되어 간다.  과연 이 차이는 어디에서 오는 것인까?  그것은 단순히 2등분해서 반복적으로 꺽어가는 것과 생성자를 복잡하게 방향을 바꾸어 가면서 반복하는 차이에서 나온다.  이 사실은 단순함과 복잡함의 차이를 말하는 것이다.  이등변 삼각형은 단순하게 위 아래로만 교대로 나타나지만, 코흐곡선은 매우 복잡하게 배열되어 있다는 것이다.  뿐만 아니라 반복회수가 거듭될수록 이등변 삼각형과 코흐곡선의 늘어나는 선분의 개수는 크게 차이가 난다.

코흐라인과 칸토르 먼지

코흐라인은 앞서 말했다시피 주어진 선분애서 한 가운데의 1/3을 위로 꺽어 올리는 과정을 무한히 반복하여 만든다. 그런데, 이 코흐곡선에서 위로 솟아로은 부분만을 전부 잘라내고 남은 밑변 부분을 살펴 보면 놀랍게도 바로 칸토르 먼지가 된다.  즉 코흐곡선의 어느 부분에나 칸토르 먼지가 숨어 있다는 이야기이다.

코흐라인의 수학적 의미

2차원의 평면은 복소변수 의 평면 (복수평면)으로 생각할 수 있다.  코흐라인은 다음과 같은 간단한 1차의 축소사상에 대한 자기상사 집합이다.

 ,    

여기서 를  로 잡고

를 만족하는 복소평면의 집합 를 잡으면 가 코흐라인이 된다.

코흐라인의 일반적인 형태는

 ,    

로서 를 만족하는 라는 집합도형을 그린다.

여기서 라는 복소수의 파라미터를 여러 가지로 변화시킴으로서 여러 가지형태의 프랙탈 도형을 그릴 수 있다.

(ⅰ)  a = 0

        b = 0.4+0.5 i

        c = 0

        d = 0.4-0.5 i

(ⅱ)  a = 0.4614+0.4614 i

        b = 0

        c = 0.622-0.196 i

        d = 0

(ⅲ)  a = 0.5+0.5 i

        b = 0

        c = 0.5-0.5 I

        d = 0

(ⅳ)  a = 0

        b = 0.5+0.2887 I

        c = 0

        d = 0.6667

(ⅴ)  a = 0.707 I

        b = 0

        c = 0.5

        d = 0

(ⅵ)  a = 0.4614+0.4614 I

        b = 0

        c = 0

        d = 0.2896-0.585 I

만델브로 집합

가 복소수일 때 하나의 재귀함수 를 생각해보자, 이 복소함수 는 로부터 하나의 복소수열 이 만들어진다.   = ,   , ...... ......

복소수는 복소평면에 한 점으로 나타낼 수 있기 때문에 위의 복소수열은 복소평면 상에 하나의 점열로 나타낼 수 있다.  이처럼 복소평면상의 점열이 그리는 시스템을 복소함수 에 의한 '복소역학계'라고 부른다.  이때 이 점열 은 복소함수  라는 법칙에 정해진다.

복소역학계가 만드는 점열은 초기값 에 따라 한 점에 수렴하든지, 아니면 무한대로 발산하는지, 아니면 주기적인 진동이 일어나든지 결정된다. 복소 재귀함수 를 생각해보면 이 함수에 의해 샌기는 점열은 초기치와 함께 상수 값에 따라 다양한 변화를 보인다.  초기값 를 0 으로 고정해 놓고 의 값만을 변화시켜보면 값이 일정범위내에 있을 때 이 복소수열은 한점에 수렴한다.  이 복소함수에서 값의 변동폭을 점점 넓혀가 보면 매우 아름답고 환상적인 모습의 인력권이 나타나게 된다.  프랙탈한 복고편면 성의 인력권을 만델브로 집합이라고 한다.  좀 더 정확히 정의해 보면 를 변화시켜서 이 무한대가 되지 않는 의 집합을 만델브로 집합이라고 한다.

만델브로 집합은 어느 부분을 확대해도 다시 전체의 모습, 즉 매우 조그만 만델브로 집합이 계속해서 나타난다.  따라서 만델브로 집합의 경계의 둘레의 길이는 무한대이다.

 

줄리아 집합

줄리아 집합은 만텔브로 잡합과는 반대로 복소상수 를 고정하고, 의 값을 변화시키면서 수렴하는 점들만을 찾는 것이다.   의 근을 구할 때 뉴턴법에서 3개의 근 주위에 작은 원판을 설정하여 각각의 원판을 두 가지 색, 예를 들면 흑과 백을 칠해둔다.  그리고 1회 에 앞의 점화식을 적용하여 여기에 이 들어가는 의 영역을 흑 또는 백으로 각각 나누어 칠한다.  다시 더 1회 실시하여 가 들어가는 것을 조금 엷은 색을 칠하고 차례차례 칠해가서 언제까지나 색을 칠할 수 없는 집합이 남았을 때, 이것이 줄리아 집합니다.

자연은 멀티프랙탈 구조

일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다.  코흐곡선 전체의 차원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다.  이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 일치한다.  그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다.  그러나 만델브로 집합은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다.  국소적으로 1.5 차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이 되는 것이다.  이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다.  자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를 가지고 있다.

번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때문에 일직선이 아니고 구불구블 진행하며 가지치기를 한다.  그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한 구조를 하고 있다.

강은 프랙탈 적이다.  큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다.  한강의 일부 지류를 큰 강줄기와 비교하면 금방 닯음의 관계을 알 수 있다.

구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통게적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가리로 프랙탈의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.  

뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다 보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다.  뇌가 프랙탈 구조를 갖는 이유는 좁은 공간안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다.  뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을 갖는다.

주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한다.  이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다.  하루동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 동계적으로 닯은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이다 어려운 일임을 똣한다.

밤하늘 에 있는 별들의 수는 거의 무한대에 가깝다.  다라서 밤하늘은 대낮보다 밝아야 한다.  그런대 왜 밤하늘은 칠흙처럼 어두운가?  이문제가 바로 '올버스의 역설' 이다. 그 해답은 별의 분포가 프랙탈 구조이기 때문이다.  별군은 여기저기 산재되어 있고 그 별군을 확대해 보면 그와 유사한 구조로 별군이 나타난다.  그리고 확대를 계속하여도 그 유사구조는 한없이 나타난다.

 카오스의 등장

앞서말한 이등변삼각형을 따라 여행하는 사람이 있다고 가정하자.  이 사람은 나침반을 들고 여행하고 있다.  이 사람이 나침반을 보면 바늘은 두 방향 사이를 되풀이하여 왔다갔다 할 뿐이다.  하지만 코흐곡선을 위를 여행하는 경우에는 나침반이 불규칙적으로 360도 어느 방향으로나 돌아간다.  그리고 그 방향은 전혀 종잡을 수 없다.  패턴이 없다.  코흐곡선은 반복회수를 늘려감에 따라 선분의 수가 폭팔적으로 늘어나며, 그 방향도 종잡을 수 없이 변한다.  정보가 폭팔적으로 증가하는 것이다.  코흐곡선을 아무리 보고 있어도 싫증나지 않는 이유는 파도치는 해변에서 바다를 보는 것처럼 순간마다 조금씩  변하는 그 모양에 수없이 많은 정보가 숨어있기 때문이다.  복잡성과 단순함에는 이처럼 질적 차이가 난다.

프랙탈과 카오스는 종이의 앞뒤면과 같다.  카오스는 얼핏 무질서 그 자체를 뜻하는 것으로 오인하기 쉽다.  그러나 질서와 무질서는 서로가 대립적인 개념이지만 카오스는 그 안에 질서와 무질서의 양면성을 함께 간직하고 있다.  질서란 이성으로 파악할 수 있는 사물의 조리나 순서로 이해되어 왓다.  반면에 무질서는 이해할 수 없는 경우에 따라서는 인간의 이성이 접근할 수 없는 것이었다.