<p class="cafe-editor-text">안녕하세요? 정팔면체에 외접하는 구의 부피는 쉽게 생각할 수 있는데 내접하는 구는 너무 어렵네요...<br /><br />도움 부탁드립니다ㅠㅠ<br /><br />문제) 정팔면체에 내접하는 구가 존재한다. 이 정팔면체의 겉넓이가 부피의 2배라고 할 때, 구의 부피를 정팔면체의 부피를 이용하여 표현하여라.<br /><br />풀이) 정팔면체의 부피=A, 정팔면체 겉넓이=2A<br />라고 할 때, 정팔면체 각 면의 정삼각형들의 넓이는 A/4 이고......<br /><br />어떻게 해야 할까요...? 중 1 수준이라 루트로 계산할수도 없고... 뭔가 삼각뿔의 부피와 반구의 부피비를 생각해봐도 정팔면체의 겉넓이가 주어진 의미를 모르겠습니다...ㅠㅠ 도와주세용!</p>
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내접구의 반지름의 길이는 한 변의 길이의 절반이 아닌듯 합니다^^ 구는 모서리에 접하지 않고 면에 접하기 때문입니다. 정팔면체의 내접구의 반지름의 길이를 r이라 하면 구의 중심에서 정팔면체의 각 면에 이르는 거리가 r입니다. 따라서 구의 한 면의 넓이를 S라 하면 구의 부피는 (1/3)×S×r×8이고 겉넓이는 8S 넓이가 부피의 2배이므로 r=3/2
그런데 이러면 그냥 부피를 구할 수 있게 되어 정팔면체의 부피로 나타낼 필요가 없다는 것이 함정입니다^^;
정m면체라 하고 한 면의 넓이를 S라 하면 정m면체의 겉넓이는 mS 내접하는 구의 반지름의 길이를 r이라 하면 r은 정m면체의 중심에서 면까지의 거리와 같으므로 정m면체의 부피는 합동인 다각뿔 m개의 부피와 같으므로 (1/3)Srm 따라서 겉넓이와 부피는 항상 1:(1/3)r이 성립합니다^^
첫댓글 지금 밖이라 풀이는 해봐야 할 것 같은데 정팔면체는 밖에서 돌려서 보면 정사각형 모양입니다. 그러면 내접구의 반지름을 구할 수 있지 않을까 생각합니다^^
부피와 면적의 차원이 다른데 정팔면체의 겉넓이가 부피의 2배라는 것 자체가 문제가 성립이 안됩니다.
단순히 단위를 생각하지 않고 값만 2배라는 것이겠죠^^
그런데 무리수를 안 배웠으면 외접구의 부피도 구하지 못할 것 같은데요? 직각이등변삼각형의 변의 길이를 구할 수는 있어야한텐데...
만약 그걸 알고 있다면 가능할텐데 중1에게 설명은 쉽지 않겠네요 ㅠㅠ
넵 단위의 의미를 제외하고 값만 말씀드린 거에용
정팔면체의 한 변의 길이를 a라고 하면, 구의 반지름은 그 절반인 a/2가 될 것이고...
구의 부피 구하는 공식에 이를 대입하면
ㅠ(a^3)/6 이 나오구요.
음.... 정팔면체를 반으로 쪼개서 사각뿔을 만든다음 정 가운데 부분을 세로로 자른 단면을 보면
'소' 모양의 직각이등변 삼각형이 나와서 이 부분에 대한 넓이를 구해봤어요.
으 그림이 없어서 땁땁하네요😥 무튼 이런 과정을 거쳤는데 여전히 겉넓이의 값을 알려준 이유를 모르겠네요,....
중1 수준에서 정삼각형의 넓이를 안다고 더 알 수 있는 게 뭔지 도통 떠오르질 않아요.... 아니면 정삼각형 넓이를 구하라고 알려준 값이 아닐까요? 어렵네용..
내접구의 반지름의 길이는 한 변의 길이의 절반이 아닌듯 합니다^^ 구는 모서리에 접하지 않고 면에 접하기 때문입니다.
정팔면체의 내접구의 반지름의 길이를 r이라 하면 구의 중심에서 정팔면체의 각 면에 이르는 거리가 r입니다.
따라서 구의 한 면의 넓이를 S라 하면
구의 부피는 (1/3)×S×r×8이고 겉넓이는 8S
넓이가 부피의 2배이므로 r=3/2
그런데 이러면 그냥 부피를 구할 수 있게 되어 정팔면체의 부피로 나타낼 필요가 없다는 것이 함정입니다^^;
음 정팔면체의 부피의 2배가 정팔면체 겉넓이가 되는 것인데,
이 의미가 곧 구의 부피의 2배가 구의 겉넓이가 된다는 말과 필충인가요??
@s푸른하늘a 정팔면체에서는 그럴 거예요^^
예를 들어 정육면체에서는 겉넓이가 부피의 2배가 되는 경우 구의 반지름의 길이가 3이 되고 이 때는 구의 겉넓이와 부피가 같아집니다.
@하늘하나 와~~~ 그렇군요!! 감사합니다!! 풀어볼게ㆍ요!!
@s푸른하늘a 아 제가 잘못 계산했네요^^ 정육면체도 2배가 되는 것이 맞습니다.
정다면체의 경우 다 성립합니다 ㅎ
이를 이용해보면,
정다면체에 내접하는 구의 반지름의 길이를 r이라 할 때, 정다면체의 겉넓이 S와 부피 V사이에는 항상 S=V×(1/3)r가 성립합니다.
구도 마찬가지인데요, 이는 부피를 미분하면 겉넓이가 나오는 원리와도 관련 있습니다^^;
@하늘하나 음 설명해주신 내용을 쭉 정리하여
구에 대해서
S=4ㅠrr, V=4/3ㅠrrr
이므로,
S=Vx(1/3)r이 된다는 것은 선생님 첫 글을 보고 깨달았습니다만...
모든 정다면체에 내접하는 구가 존재할 때, '그 정다면체의 부피와 겉넓이'의 관계가 '구의 부피와 겉넓이의 관계'와 같음을 어떻게 정당화 시켜줘야 할 지...ㅠㅠㅠ
중1 문제라 식의 변형을 이용하여 V와 S의 관계식을 세우는 것도 사실상 설명해주기 곤란한데 어떻게 해야 현명할까요??
많은 도움을 주셨는데 자꾸 여쭤봐서 죄송합니다ㅠㅠ
정m면체라 하고 한 면의 넓이를 S라 하면 정m면체의 겉넓이는 mS
내접하는 구의 반지름의 길이를 r이라 하면 r은 정m면체의 중심에서 면까지의 거리와 같으므로 정m면체의 부피는 합동인 다각뿔 m개의 부피와 같으므로 (1/3)Srm
따라서 겉넓이와 부피는 항상 1:(1/3)r이 성립합니다^^