측정과 근사

[지구사랑]

1. 측정과 근사(近似, approximation)

동아일보 과학논술 중(이 범)

이번 호의 주제들은 논술문제의 핵심 주제로 출제될 가능성은 낮지만, 논술문제의 제시문 또는 답안작성과정에서 활용될 가능성이 높은 것들이므로 반드시 짚고 넘어가야 한다.

물리량을 정확히 표기하기 위해서는 국제적으로 공인된 기본 규약들(특히 SI단위계)에 대한 이해가 선행되어야 하며, 유효숫자 처리방법을 정확히 활용할 수 있어야 한다. 물리량을 계산하는 과정에서 정확한 참값은 아닐지라도 대략적인 값을 구하는 방법을 근사(近似, approximation) 또는 ‘어림셈’이라고 한다. 근사값을 구하는 과정에서는 정답에 얼마나 근접했는지보다는 이를 구하기 위해 얼마나 적절한 모델을 논리적으로 구성했는지가 중요하다.

정의(definition)	단위(unit)
	km/h, m/sec
	g/cm3, kg/L
	J/sec(=W)
	kg․m/sec2(=N)

▣ 물리량의 정의와 단위, 차원

물리량의 단위(unit)는 물리량의 정의(definition)와 일대일 대응을 통해 만들어진다(표 참조). 또한 긴 단위를 줄여서 표기하는 경우가 많다. 예를 들어 힘의 단위 kg‧m/sec2 은 N(뉴턴)으로, 압력의 단위 N/m2(=kg/m‧sec2)는 Pa(파스칼)로 줄여 표기한다. 이때 길이의 기본단위로 m, 질량의 기본 단위로 kg, 시간의 기본 단위로 sec가 주로 사용된다.

물리량의 정의 및 단위는 차원(dimension)과도 대응되는데, 차원이란 측정값이 길이․시간․질량 등 기본량들과 어떠한 관계를 맺고 있는지를 보여주는 값이다.

<기본단위 이외에 여러 분야에서 사용되는 단위>
마일(mile)	1mile=1.61km
인치(inch)	1in=2.54cm
피트(feet)	1feet=12inch=0.3048m
야드(yard)	1yard=3feet=36inch=0.9144m
온스(ounce)	1oz=28.35g
파운드(pound)	1lb=16oz=0.453kg
갤런(gallon)	231in3=3.785L(미국기준)
해리(海里)	1nautical mile=1852m
노트(knot)	1knot=1nautical mile/hour
광년(光年)	1light year=9.46×1012km=6.324×104AU=0.307pc
천문단위(astronomical unit)	1AU=1.496×108km
파섹(parsec)	1pc=3.26광년=3.09×1013km
옹스트롬(angstrom)	1Å=10-10m

역학량의 경우 길이․질량․시간을 각각 L, M, T라 하고 일반적으로 [Lx, My, Tz]인 형태로 나타내는데, 이때 x, y, z를 각각의 기본량의 ‘차원’이라고 한다. 면적은 [L2], 속도는 [LT-1], 에너지는 [ML2T-2]이라는 차원을 가진다. 열과 관련된 양에서는 열량 H와 온도 θ가 추가되며, 전자기적 양에 있어서는 단위계가 4개인 차원식이 쓰인다.

그밖에 화학식량 계산에 필수적인 몰(1mol=6.02×1023), 기본단위에서 파생된 리터(1L=10cm×10cm×10cm=1000cm3), 아르(1are=10m×10m=100m2), 바(1bar=105Pa), 톤(1t=103kg), 농도 단위인 퍼센트와 퍼밀(permil, 1‰=1/1000), ppm(parts per million), ppb(parts per billion) 등을 알고 있어야 한다. 참고로 관습적으로 많이 사용하는 씨씨(cc)는 세제곱센티미터(cubic centimeter)의 뜻으로서 밀리리터(mL)와 동등한 단위이다.

【생각하기1】

1기압은 1013hPa(헥토파스칼)이다. 이를 기본량의 단위인 kg, m, sec를 사용하여 표기하고 그 차원을 밝히라.

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접두사	의미	접두사	의미
T(Tera)	1012	m(mili)	10-3
G(Giga)	109	(micro)	10-6
M(Mega)	106	n(nano)	10-9
k(kilo)	103	p(pico)	10-12

▣ 물리량에 사용하는 접두어

단위 앞에 붙이는 주요한 접두어는 10의 3승 간격으로 16개가 있는데, 가장 대표적인 예로 m(밀리)은 10-3 을 뜻하며 k(킬로)는 103을 뜻한다. 기본적으로 사용하는 접두어 이외에 보조적으로 사용하는 접두어로 centi(10-2), deci(10-1), deca(101), hecta/hecto(102) 등이 있다.

【생각하기2】

산불이 나서 우리 지역의 삼림 10ha(헥트아르)가 피해를 입었다. 우리 학교 면적의 몇 배 정도인가?

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▣ 유효숫자

유효숫자(significant figure)란 측정값을 구할 때 측정하여 얻은 믿을 수 있는 숫자(눈금이 있는 경우 최소 눈금의 자리까지)이며, 반올림 등에 의하여 처리되지 않은 부분이다. 따라서 유효숫자는 오차범위를 고려한다 해도 신뢰할 수 있는 숫자만을 나타낸다. 정수 부분이 한 자리인 소수에 10의 거듭제곱을 곱한 형태로 표현한다(1몰을 뜻하는 6.02×1023이라는 숫자는 전형적인 유효숫자 표기법을 따른 것이다). 예를 들어 오차가 ±2인 413.2라는 측정값을 얻었을 경우, 정확한 값은 415일 수도 있다. 따라서 소수 이하의 2라는 숫자는 신뢰할 수 없다. 신뢰할 수 있는 숫자는 4와 1 두 자리가 된다. 이때 4.1×102으로 나타내고 ‘유효숫자는 두 자리’라고 한다.

【생각하기3】

다음을 유효숫자 처리 원칙에 맞춰 계산하라. 단, 분모에 포함된 ‘100’의 유효숫자는 세 개이다.

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▣ 기본물리량 및 간단한 모델을 이용한 근사값 구하기

지금까지 다룬 내용을 토대로 간단한 근사(어림셈)를 실행해 볼 수 있다. 이 과정에서 물과 같은 액체나 고체 입자(분자)의 크기를 계산할 때 그 형태를 정육면체 모양으로 상정하는 간단한 모델을 사용할 수 있다.

【생각하기4】

우리가 속한 은하에는 약 1천억 개의 별이 있고, 우리가 볼 수 있는 우주에는 대략 1천억 개의 은하가 있다. 이슬 한방울(부피 0.1mL)에 들어있는 원자의 수와 우주전체의 별의 수를 비교하고 이때 필요한 전제와 물리량을 밝히라.

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【생각하기5】 한낮에 1cm2에 1분당 8J정도의 태양에너지가 지구 표면에 도달하여 모두 물의 기화열(41kJ/mol)로 사용된다면, 물 1mm의 두께가 기화되는데 얼마나 걸릴까? 또한 양지에서 물이 증발할 때 매초 몇 개의 물분자 층이 액체에서 기체로 바뀌는가? 각각 유효숫자 하나로 답하라.

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▣ 수학적 관계를 이용한 어림셈

각도가 충분히 작으면 그 각도(라디안값)와 그 각도의 사인값과 탄젠트값 등 세가지가 서로 거의 같은 값을 갖는다. 교과내용 가운데에는 물리의 회절․간섭실험에서 경로차를 구하는 과정 및 단진자의 주기 공식 유도과정에서, 그리고 지구과학의 연주시차와 거리의 관계를 구하는 과정에서 이같은 관계가 사용된다.

【생각하기6】 연주시차가 별까지의 거리와 반비례하는 이유는?

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