22장 7번 허블 법칙의 비선형성-광도거리와 허블인자 형태

[SNbega]

거리와 z의 관계식이 천천서에 22-3d 처럼 나오긴 했는데 이 식의 출처는 불분명하다.

z가 2이하의 경우 특수상대론적으로 근사한 관계식은 위와 같다. 아무튼 천천서의 식대로 그래프를 그리면

와 같이 나온다고 한다(천천서 솔루션).

z가 1보다 매우 작을 경우, 그래프는 V=Hd 형태가 된다. 하지만 z값이 커지면서 선형을 유지 못 하게 된다.

허블의 법칙이 선형성을 어긋나는 이유를 특수상대론적 식 등 위 식들에서 찾지는 못 한다. 위 식들은 공간의 팽창을 의미하는 항들이 없기 때문이다. 임의의 천체가 공간내에서 움직다고 따질 경우의 식이지, 공간의 움직임 때문에 나타나는 식은 아니다( 현대천체물리학 1153p)

비선형성의 이유를 찾고 싶으면 광도거리와 z, 고유거리와 z 그래프 모양에 답이 있다.

광도거리를 기준으로 그래프를 작성하면 직선에서 위로 향하는 모습이고,

고유거리를 기준으로 하면 직선에서 아래로 향하는 모습이다.

감속파라미터q값에 따라 직선에서 벗어난 정도가 결정되는 모습이다. 보통 광도거리를 많이 사용하므로 광도거리 식을 좀 더 보면 아래처럼 나타낼 수 있다.

(로그 함수 형태가 아닌 이유는 x축을 그냥 로그형태로 잡아서 그렇다. 그냥 z로 잡을 경우 로그 형태로 나온다.)

(로그형태)

광도거리는 거리지수 등급과 함께 보통 나타낸다. 어떤 형태로 나타내든 감속파라미터 항이 선형에서 벗어나게 만드는 모습이다. 감속파러미터는 가속도를 포함하므로, 우주가 감가속을 했기 때문에 선형에서 벗어났다고 생각할 수 있다.

+) 감속 파라미터가 0인 등속팽창을 가정해도

HoD의 선형 모습에서 위로 올라간 모습을 보여주기 때문에, 선형에서 벗어나는 이유는 감가속항 때문이 아니라 광도거리 자체의 특징인 것으로 보인다.

+) proper distance와 속도 분포가 직선형태인 이유는 간단했다. 시간을 현재시점으로 기준으로 잡고 현재 시점에 관한 정보를 우리가 실시간으로 확인이 가능하다면 아무리 멀리 있어도 항상 직선형태가 나올것이다.

하지만 광자를 통해 은하를 인식하기 때문에 항상 과거상태의 정보를 가지고 판단하게 된다. 따라서 실시간으로 현재의 상태를 확인할 수 없기 때문에 직선형태가 될 수 없다.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hubble's_law#redshift

https://physics.stackexchange.com/questions/573588/does-the-hubble-law-make-sense/573598#573598

Does the Hubble law make sense?

https://astronomy.stackexchange.com/questions/11408/hubble-law-cosmological-redshift-and-distance

Hubble law, cosmological redshift and distance

그러면 좀더 수식적으로 살펴보자. 결론적으로 말하면 허블인자가 시간에 따라 매우 느리게 변할 경우(근사적으로 일정할 경우)에 직선 형태가 나온다고 할
수 있다. 느리게 변하냐, 일정하냐라고 판단하는 것은 아마 설명하려는 대상에 따라 다르지 않을까 생각된다.

가까운 거리에 있는 은하들의 적색편이 값을 가지고 방출 시점의 허블인자 값을 구하면 현재값과 매우적은 차이를 가진다고 한다. 이는 다시말하면 매우 느리게 변한다는 의미다.

https://physics.stackexchange.com/questions/288143/hubble-law-in-general-relativity/288152#288152

Hubble Law in General Relativity

https://physics.stackexchange.com/questions/331205/how-to-interpret-hubble-velocity-ode

How to interpret Hubble velocity ODE?

그러면 스케일척도의 시간에 따른 변화가 일정한 것이냐, 아니면 허블인자가 일정한 것이냐 물어볼 수 있는데,

매우 가까운 거리에서는 등속으로 팽창한다. 정리하면, 허블 인자가 시간에 따라 매우 느리게 감소(혹은 일정) 하면서 등속팽창하기 때문에 직선형태가 된다. 실제 ebs 문제에서도 아래와 같이 허블 상수가 시간에 따라 변하는지 가속팽창과 관련하여 뭍는다.

+) 위의 가속팽창을 나타내는 그래프에서 과거 시점의 우주 팽창속도를 물어보는데, 그 원리는 해설처럼

은하들의 후퇴속도 변화, 즉, 후퇴속도값의 차이가 과거 우주팽창속도 a(t)가 어떻게 변하는지를 나타낸다는 것이다. 이것은 광자 입장에서 서술한 것이다.

https://physics.stackexchange.com/questions/68493/according-to-hubbles-law-how-can-the-expansion-of-the-universe-be-accelerating/68553#68553

후퇴속도 차이는 방출 시간 차이동안 겪은 z값을 의미한다. 이는 곧 두 방출 시간t1 t2 사이동안의 dz 값을 의미하며, dz는 dv를 의미하니 이는 우주팽창속도변화라고 해석할 수 있다. 방출시간 t1 t2 차이는 거리차이를 의미하므로 거리에 대한 후퇴속도 변화율의 의미는 방출시간 사이의 누적된 z값( 후퇴속도차이,후퇴속도 변화량) 을 의미하고, 이 값이 과거에 더 작다라는 말은 같은 단위 시간동안 팽창속도가 과거에 더 작았다 라는 의미다.