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이와 같이, 이미 옳다고 인정된 사실(평행선의 성질)을 써서 결론을 이끌어 내는 방법을 '연역법'이라 한다.
옛날 그리스에 유명한 소피스트 학파 학자 한사람이 있었는데, 하루는 한 청년이 찾아와서 변론법에 대하여 배우기를 청했다.
그러나 소피스트는 변론법을 가르쳐 주는대가로 금 100량을 요구했다. 청년은 너무 비싸다고 하여 절충 끝에 우선 50량을 먼저 주고, 나머지 50량은 사회에 나가 훌륭한 변론가가 된 뒤에 주기로 했다.
그 후 청년은 열심히 공부하여 그 지방에서 이름있는 변론가가 되었다. 이를 전해들은 소피스트는 옛날 제자였던 그를 찾아가서 나머지 50량을 요구했으나, 청년은 자신은 아직 훌륭한 변론가가 되지 못했기 때문에 훌륭한 변론가가 된 후에 주겠다고 배짱을 내밀었다.
그래서 마침내 소피스트는 소송을 제기하게 되어 두 사람은 재판관 앞에 서게 되었다.
먼저 소피스트가 변론했다.
"현명하신 재판장님! 나는 이 재판에 이겨도 50량을 받고 져도 받아야 합니다. 그 이유는 50량을 받기 위한 소송이니, 이기면 당연히 받아야 하고, 또한 져도 받아야 하는 이유는 제자가 스승과 재판에서 이길 정도면 이미 훌륭한 변론가가 되었으니 약속대로 나머지 50량을 받아야 합니다."
선생이 변론을 들은 제자가 변론을 했다.
"존경하옵는 재판장님! 저 또한 재판에 이기든 지든 관계없이 돈을 지불할 수 없습니다. 이유는 50량을 주지 않기 위한 소송이므로 이기면 당연히 지불할 수 없습니다. 또한 제가 재판에서 남에게 진다는 것은 아직 훌륭한 변론가가 되지 못했기 때문에 약속대로 지불할 수 없습니다."
옛날 그리스의 사람들은 이런 이야기를 즐겨한 것으로 알려진다. 한편으로는 논리학이 발달하였고, 다른 한편으로는 이런 논리적 모순이 생기는 패러독스가 많이 나왔다.
요즈음 많이 사용되는 말 중에 '모든 법칙에는 예외가 있다.'는 말은 그 법칙에도 적용되는지 의심해 볼 수밖에 없는 논리 모순적인 말이다.
또, 집의 담장에 낙서하고 있는 꼬마를 잡은 집주인이 아이를 혼내려고 보니 '낙서 금지'라고 적혀 있다. 과연 아이를 벌줄 수 있을까? 이런 패러독스는 우리 주위에 의외로 많이 발견되는 재미있는 예라고 할 수 있다.
두 자리 숫자의 곱셈과 재미있는 현상을 발견할 수 있다.
위의 예와 같이, 앞의 수는 2로 나누어 몫을,뒤의 수는 2배를 해간다.
그런 다음 앞의 수가 짝수가 되는 수를 지우고 뒤의 수를 모두 더하면 처음 계산한 값이 나온다.
어찌하여 이러한 현상이 생길까? ? ?
몇가지 숫자의 곱을 위와 같은 방법으로 확인하여 보자.
〔평면도형〕
◎ 둔각삼각형 : 둔각의 크기가 같고, 둔각의 대변과 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때
◎ 평행사변형 : 서로 이웃하는 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크가 각각 같을 때
◎ 직사각형 : 서로 이웃하는 두 변의 길이가 각각 같을 때
◎ 마름모 : 한 변의 길이와 한 내각의 크기가 각각 같을 때
◎ 정다각형 : 변의 수가 같고, 한 변의 길이가 같을 때
◎ 원 : 반지름의 길이가 같을 때
〔공간도형〕
◎ 원기둥, 원뿔 : 밑면의 반지름의 길이와 높이가 각각 같을 때
◎ 정다면체 : 면의 수가 같고, 한 모서리의 길이가 같을 때
◎ 구 : 반지름의 길이가 같을 때
어떤 마을에서 그 마을에 대대로 내려오는 중요한 물건을 도둑맞았다. 평화롭던 이 마을은 이 도난 사건 이후로 서로를 의심하게 되면서 갑자기 인심이 사납게 바뀌었다. 마을 촌장은 이것을 보고 하루빨리 도둑을 잡아야겠다고 생각하고, 어느 날 밤에 먹물만 들어 있는 항아리 앞으로 마을 사람들을 모았다.
"여기 앞에 놓인 항아리 속에는 도둑을 잡는 두꺼비가 들어 있소. 횃불을 끈 다음에 한 사람씩 나와 이 항아리 속에 손을 넣으시오. 만일 도둑이 손을 집어 넣으면 두꺼비가 손을 잘라 먹을 것이고, 도둑이 아닌 사람이 손을 넣으면 아무 일도 없을 것이오."
촌장은 어떤 생각을 하고 이런 일을 벌인 것인지 생각해 보자.
다음은 마을 촌장이 어떻게 범인을 잡을까 생각하는 과정이다.
Ⅰ. 범인은 자신이 범인인지 알고 있다.
Ⅱ. 다른 사람들은 범인이 누구인지 모른다.
Ⅲ. 범인이 위기를 느껴 범인임을 감추려는 행동을 하게 만들어야겠다.
Ⅳ. 그런 행동을 하게 할 때에는 범인이 아닌 사람은 전혀 영향을 받지 않는 상황 이어야한다.
따라서 촌장의 생각을 명제로 나타내면 다음과 같다.
「만일 이 마당에 있는 어떤 사람의 손이 깨끗하면, 그 사람이 범인이다.」
횃불을 다시 켜 보자. 촌장의 생각대로 되었을까? 그렇다. 다른 사람들은 두꺼비가 두렵지 않으므로 손을 푹 담궈 먹물에 손이 젖었으나 범인은 두꺼비에 손이 잘릴까봐 손을 슬쩍 넣다 말았을 것이다. 따라서 먹물에 손이 젖지 않아 범인만 하얀 손으로 서 있었던 것이다.
이렇게 어떤 문제를 합리적으로 해결하려면 이치에 닿는 생각이 필요하다. 위에서
「만일 이 마당에 있는 사람의 손이 깨끗하면, 그 사람이 범인이다.」
와 같이 촌장이 생각했던 문장을 명제라한다. 이 때,
「만일 이 마당에 있는 어떤 사람의 손이 깨끗하면」은 가정,
「그 사람이 범인이다.」는 결론이라 한다.
그런데 이 때 마당에 서있지 않았던 사람의 손이 깨끗하다고 해서 범인이라고 말할 수 있을까? 다른 마을에 있는 손이 깨끗한 누구도 범인이 아니다. 그러므로 명제에서는 가정과 결론의 관계가 중요하다. 곧, 참인 명제에서는 '가정'이라는 조건 아래에서 '결론'이 성립하는 것이다.
무더운 여름날 시원한 냇가에 가서 텐트를 쳤다.
그 텐트의 단면은 높이가 8m이고, 밑변의 길이가 6m인 이등변삼각형 모양이었는데 창이 없어 더워서 견딜 수가 없었다. 그래서 아래의 ㉡그림과 같이 텐트의 앞면을 6개의 부분으로 잘라서 아래의 ㉢과 같이 붙였더니 창을 만들 수 있었다.
자, 이렇게 텐트의 한 가운데 정확하게 넓이 2㎡의 창이 만들어 졌다.
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창의 크기만큼 넓이가 늘어났으니 어딘가 이상하지 않은가!!
먼저 그림을 직접 그려 보고 위의 그림과 같은 선분의 길이가 되게 나누어지는지 알아보자. ㉠의 △ABC와 A로부터 3m 가 되고 밑변 BC에 평행인 직선을 그어 와 의 교점을 D, E라 하자. △ADF와 △ABH가 서로 닮음꼴이므로 |
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이므로, 위 ㉡ 그림의 = 1로 나눌 수 없음을 알 수 있다.
또한, △DBQ와 △ABH도 닮음꼴이므로
이므로, 위 ㉡ 그림의 로 나눌 수 없음을 알 수 있다.
따라서 ㉡그림처럼 나누어질 수 없으므로 ㉢과 같은 모순이 생겼다.
도형에서 잘라 붙여서 넓이가 같다는 것을 알아볼 때에는 그림과 선분의 수치와의 관련성을 직관적으로 보는 것으로 부족할 때가 있다.
위의 같은 오류에 빠지지 않기 위해서 삼각형의 닮음에 관한 지식을 유용하게 사용해야 하겠다.
「논리적 추론」전략은 몇 개의 조건을 바탕으로 어떤 사실이 성립되는 것을 미루어 추측하는 것이다.
주로 증명 문제가 논리적 추론의 문제이다.
다음 문제를 「논리적 추론」전략을 사용하여 해결해 보자.
문제 오른쪽 그림에서 D는
의 중점이고
이다.
일 때,
의 길이를 구하여라.
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구하고자 하는 것 : 의 길이
오른쪽 아래 그림과 같이
가 되도록 점 G 를
위에 잡으면,
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △DFG≡△EFC (ASA합동)
한편, △ABC에서
이므로 |
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㉣, ㉤에서
어느 날, 내가 주사위 3개를 가지고 놀고 있는데 영구가 우리집에 놀러 왔습니다. 영구는 내 손에 들린 주사위들을 보더니 이렇게 말했습니다. "야, 내가 신기한 마술을 부려 볼까?" 하고 물었지요. 영구는 신이 나서 말했습니다. "내가 하라는대로 해. 내가 눈을 감고 있을테니까 주사위 3개를 차례로 던져. 던졌니? 그러면 처음 던진 주사위에서 나온 눈에 2을 곱한 다음에 5를 더해, 다했니? 그러면 계산해서 얻은 수에 5를 곱해 그런 다음에는 두 번째 주사위에서 나온 눈을 더하고, 다했지? 자 이번에는 그 수에 10을 곱한 다음에 세 번째 주사위에서 나온 눈을 더해 봐. 자, 얼마나 되지? 이그, 계산 좀 빨리 할 수 없니?" 나는 "야, 다했다. 386이 나오는데." 하고 답했습니다. 그랬더니 영구는 눈을뜨고 "에헴" 헛기침을 하더니 "자, 이제부터 내가 주사위 눈이 무엇무엇인지 알아맞히겠노라. 1하고 3하고 6이지?"했습니다. 나는 깜짝 놀랐습니다.
도대체 영구는 어떻게 주사위 눈을 알아맞힌 걸까요?
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풀이
주사위를 던져서 나온 눈이 무엇이든 상관없습니다. 똑같은 방식으로 계산해서 나온 수에서 250을 빼면 주사위의 눈을 맞힐 수 있습니다. 이 문제에서는 386-250=136이 됩니다. 그러면 주사위의 눈은 차례로 1,3,6이 됩니다. 어떻게 그렇게 되느냐고요? 주사위 3개를 차례로 던졌을 때 나온 눈을 a,b,c라고 합시다. 영구가 말한 대로 계산하면 계산 결과는 100a+10b+c+250이 됩니다. 여기서 250을 빼면 100a+10b+c가 됩니다. 다시 말해서, 세 자리 숫자 abc가 되는 것이지요.
그리스 최초의 수학자이자 천문학자인 탈레스(Thaies, 기원전 624∼546?)는 청년 시절에 소금이나 기름을 거래하는 상인이었는데 그 덕분에 여러 나라를 다니면서 견문을 넓힐 수 있었고, 당시 문명 국가이던 이집트에서 선진 문물을 접할 수 있었다. 당시 이집트의 어느 사원에 아주 소중히 모셔 둔 문서가 있다는 말을 듣고 여러 번 찾아가 간곡히 사정하여 마침내 그 책을 볼 수 있게 되었다. 이 책들은 기하학과 천문학에 관하여 쓰여진 것을로 그 책을 본 탈레스는 깊은 감명을 받아 이집트의 승려들에게 기하학과 천문학을 배운 후 고향 이오니아에 돌아와서 젊은이들에게 가르쳤다. 이 학파를 이오니아 학파(또는 밀레토스 학파)라 하는데 이오니아 학파는 자연철학 학파의 시초가 되었다.
탈레스가 이집트에 갔을 때, 그 곳에는 이집트 왕의 무덤인 피라미드가 있었다. 사람의 몸은 때가 되면 죽지만 그 영혼은 영원히 살아 있으며 언젠가는 다시 돌아온다고 생각했던 이집트인들은 왕의 육신을 보존하기 위해 미이라를 만들고 그것을 돌무덤, 곧 피라미드 속에 안치했던 것이다. 피라미드는 기원전 2520년부터 지어졌는데 하나를 만드는 데에도 수 만명의 노예들이 몇 십년이라는 긴 세월을 보내야했다. 그 중 가장 높은 것은 기제에 있는 체옵스 피라미드인데 높이가 무려 146.6m에 이른다고 한다.
이렇게 큰 피라미드의 높이를 탈레스가 지팡이 하나로 재었다는 소식을 들은 이집트의 아마시스 왕은 매우 놀라워 했다고 한다.
이제 어떻게 탈레스가 피라미드의 높이를 지팡이 하나로 재었는지 알아보자.
탈레스는 우선 지팡이를 똑바로 땅에 세우고 지팡이의 그림자와 피라미드의 그림자를 관찰하였다. 그리고는 지팡이의 그림자와 피라미드의 그림자 끝이 일치되는 지점에 지팡이를 세웠다.
△ABC∽△ADE이므로
여기서 는 잴 수 있는 길이이므로 탈레스는 피라미드의 높이 를 구할 수 있었던 것이다. |
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자, 그러면 햇빛이 맑은 날, 운동장에 나가 짧은 자 하나로 교실 건물의 높이를 재어 보자.