해석학 균등연속, 균등수렴 증명방법차이 궁금합니다.

[용용마마]

균등연속, 균등수렴 두개의 개념이 다르긴한데, 두 개념을 이용한 문제에서 제시된 구간에 따라 문제푸는 방법에 대한 질문입니다. 바틀책이랑 알기쉬운해석학책을 참고했습니다.

(비교될 문제가 많아서 사진이 너무많아 문제되면 편집하겠습니다.)

요약해서 핵심질문(궁금증)은 글 마지막에 써놨습니다.

[0,무한대) 에서 균등연속임을 보이려면 적당한 양수 a에 대해 [0,a]와 [a,무한대)로 나눠 균등연속임을 보여야 한다고 알고 있습니다. 그래서 이문제에서는 [a,무한대)에서 균등연속이 아니기 때문에 [0, 무한대)에서 균등연속이 아니다  

그래서 저는 [0, 무한대) 같은 구간에서는 쪼개서 그 성질 (연속,균등연속, 균등수렴등) 을 보여야 한다고 생각했습니다.

그런데, 함수항급수의 연속성에서는 실수 구간에 대해 [-M, M]에서 수렴보이고, [M,무한대)는 증명없이 그냥 넘어가네요...

M이 임의의 양수 로 생각해서 실수위에서 연속이라고 하는데,

그래서 다시 제생각에 균등수렴은 실수구간이나 [0,무한대)를 보일때 그냥 [0,M] (M>0)에서만 보이면 되는건가라고 생각했습니다.

그런데, 바틀연습문제보니깐 11번(또는 15번)에서는 같은 균등수렴문제인데 구간[0, a] (또는 [a,무한대) ) 에서는 균등수렴이긴 하지만 [0,무한대) (또는 [0, 무한대) )에서는 균등수렴이 아니라고 하네요 ㅠㅠ

◆제 질문이 비교될 문제도 많고 너무 길어서  간단한게 요약하면

[0,무한대), 실수구간 등에서 균등수렴,균등연속을 보이는 증명과정이 일관성이 없는거 같아요.

(예를들어, 균등연속은 적당한 양수 M 에 대해 [-M,M]에서 보이고 [M,무한대)도 증명하고,

균등수렴의 경우는 적당한 양수 M 에 대해 [-M,M]만 보이면 실수에서 균등수렴이 되고 또 어떤경우 [-M,M] 에서만! 균등수렴이 되는 경우가 있고 안되는경우가 있어요.)

문제,함수마다 일정한 틀이 없고 푸는방식이 제각각인거 같은데, 제가 어디를 놓치고 있는걸까요??  

[신선물고기]

선생님이 쓰신 포스트의 가장 윗부분에 있는 '... 해야 한다고 생각했습니다' 가 잘못되었습니다. 수학 문제는 그 어떠한 문제라도 특정한 어떤 방법으로 풀어야 하는 것이 없습니다.

[신선물고기]

다만 어떤 유형은 어떻게 잘 혹은 주로 풀린다하는 것은 있지요.

[신선물고기]

이제 답을 해 보겠습니다.
먼저 함수항급수의 극한함수가 연속임을 보이는 문제의 경우 정의역이 유계가 아닐 때.
임의의 유계영역에서 균등수렴을 보일 수 있는 경우가 많습니다. 그러면 극한함수는 연속입니다.

[신선물고기]

그런데 함수항 급수의 균등수렴 혹은 주어진 함수의 균등연속을 보이는 문제에 있어 임의의 유계영역에서 목적이 달성되었다고 해서 그 결론이 유계가 아닌 영역에서 성립한다는 보장이 없습니다.

[신선물고기]

이 둘이 차이가 나는 것이 이상해보인다는 질문이 맞나요?

[용용마마]

네 맞습니다 . 그러면 앞서 말씀하신 '함수항급수의 극한함수가 연속임을 보이는 문제의 경우 정의역이 유계가 아닐 때.
임의의 유계영역에서 균등수렴을 보일 수 있는 경우가 많습니다. 그러면 극한함수는 연속입니다.' 부분에 대해서 왜 임의의 유계영역에서 균등수렴을 보이면 극한함수가 연속인지 알 수 있을 까요?? 설명이 길어진다면 혹은 제가 교수님 교재는 없지만, 바틀책이나 기타 참고할만 한 자료 알 수 있을까요??

[신선물고기]

아뇨. 책을 펴보실 필요는 없습니다. 왜 그런지 지금 당장 생각을 해 보세요.

자. 임의의 유계영역에서 연속입니다. 균등수렴한다면 극한함수가 그렇지요? 그러면 극한함수는 전체 정의역에서 연속입니까?

[신선물고기]

즉 어떤 함수가 임의의 유계영역에서 연속입니다. 그러면 연속입니까?

[용용마마]

정의역 전체 구간에서 임의의 유계영역을 뺀 나머지 영역에서도 연속임을 보여야 하는 생각에 자꾸 드네요 ㅠ ㅠ

[신선물고기]

실변수 실가함수는 임의의 유계영역에서 연속이면 그냥 연속입니다. 이건 당연한 이야기에요. 이 부분이 이해가 안 가신다는 말씀이신거죠?

[용용마마]

정의역전체 구간이 (-무한대, 무한대) 라면 임의의 유계영역은 폐구간[-M, M'] 이니까 이것을 포함하지 않지 않나요??

[신선물고기]

참고로 우리나라말에는 중의성이 상당히 있습니다. [임의의 유계영역에서 연속] 이면 연속 이라는 말이지 [임의의 유계 영약에서] 연속이면 전 구간에서 연속 의 뜻이 아닙니다.

[용용마마]

네 맞아요 잘못된 방향으로 가고 있는데,,,,, 어디부터 손봐야 하는지,,, 모르겠습니다

[용용마마]

그러면 이부분을 먼저 공부해보고 다시 질문드리겠습니다

[용용마마]

네 연속이에요

[신선물고기]

오케이.

[신선물고기]

자 그러면. 분위기를 전환하기위해서. 보세요.

제가 자연슈 전체의 집합이 유한집합임을 증명해볼테니까 어디가 틀렸는지 찾아보세요.

자연수 집합의 임의의 유계 부분집합은 유한집합이다. 고로 자연수 전체 집합은 유한 집합이다.

[용용마마]

결론이 잘못된거 같아요 유한이 아니라 무한이요

[용용마마]

앞에는 맞는거 같은데요?

[신선물고기]

그러면 증명과정이 어디가 틀렸나요?

[신선물고기]

잘못되었다는것을 아시겠다는 뜻이죠? 정확히 이것이 임의의 유계구간에서 균등수렴하는 애가 전체에서 균등수렴한다고 말 못하는 것과 같은 이치입니다.

[용용마마]

네 맞아요!!

[신선물고기]

자 이제. 다른 예를 볼게요.

임의의 유계 영역상에서 자연수가 홀수 아니면 짝수임을 보였다고 칩시다 뭐 좀 당연한 이야기긴 하지만.
그러면 모든 자연수가 홀수 아니면 짝수라고 할 수 있겠죠?

[용용마마]

아니죠 하나만 보였다 해서 전체가 그걸 만족한다고는 볼 수 없죠

[신선물고기]

다시 처음부터 해야겠네요.

[용용마마]

죄송합니다 ㅠㅠ

[신선물고기]

임의의 유계 영역에서 함수 f가 연속이라고 합시다.
그러면 그 함수는 구간 [-1,1]에서 연속입니까?

[용용마마]

넵 맞아요 !!

[신선물고기]

임의의 유계 영역에서 함수 f:R->R가 연속이라고 합시다
그러면 그 함수는 연속입니까?

[용용마마]

유계니까 유계 바깥부분에서 연속임을 보여야 하지 않나요??

[신선물고기]

이거는 일부러 답 안하겠습니다.

[신선물고기]

임의의 유계 영역에서 함수 f:R->R가 연속이라고 합시다
그러면 그 함수는 x=1에서 연속입니까?

[용용마마]

네 연속 맞습니다

[신선물고기]

임의의 유계 영역에서 함수 f:R->R이 연속이라고 합시다.
그러면 그 함수는 x=999999999999999999999999 에서 연속입니까?

[용용마마]

아 아아아 저 진짜 알겠어요 임의의 유계 영역에서 뜻이요

[용용마마]

연속맞고 위에 제가 잘못 답한 유계니까 이부분도 바꿔야 겠어요

[신선물고기]

좋아요^^

[신선물고기]

이제 좀 이해가 달라지신 것 같으니까. 한 번 더 답을 시도해 볼게요.

연속이라는 것은 사실 local 한 성질입니다. 그래서 임의의 유계영역에서 연속이라고 할 때 유계영역을 키우면서 한 번이라도 훝고 지나간 자리는 다 연속이 되어버리는 겁니다.

그런데 균등 연속이나 균등 수렴의 경우에는 그것이 local한 성질이 아닙니다. 곧 각각의 지역에서 서로다른 N이나 delta 를 요구하게 되죠. 각각의 구역에서 N이나 delta 가 존재했다고 하더라도 그 모든 영역을 다 합치려고 할 때는 필요한 N이 너무나 크거나 delta 가 너무나 작거나 그렇게 되어버리는겁니다.

[용용마마]

아.. 너무 기초적인 것 이지만 저한텐 이해의 전율이 돋습니다..
이해한되서 계속 문제푸는데 헷갈리더라고요ㅜㅜ

[용용마마]

질문 이해시킬때까지 끝까지 답변주셔서 정말 감사합니다