가우스 함수 문제인데 어려워요.

[BlueStorm]

 다음과 같은 점화식으로 정의된 수열 a_n의 일반항을 구하는 문제인데, n에 관해 한번에 풀리지는 않습니다. n을 다른 정수에 대한 함수로 표현해서 a_n의 일반항을 구하는건데요, 풀이과정을 봐도 모르겠어요. 무슨 IQ테스트 문제같이 보이는데, 지금 제 IQ는 미달인가봅니다.--;

 a_0 = 1

 a_n = a_(n-1) + [√a_(n-1)] ; []는 가우스 함수기호.

(원래 문제는 여기까지이고, 다음이 풀이입니다.)

이걸 보면, a_0일때 1² 임을 알수가 있고, 만약 a_n = m² 이라할때,

다음과 같이 a_(n+1)부터 a_(n+2k+1)까지 m≥k 라는 전재하에

계속 써보면,

a_(n+1) = m²+m

a_(n+2) = m²+m+m ;k=1

a_(n+3) = m²+2m+m

a_(n+4) = m²+3m+(m+1) ;k=2

a_(n+5) = m²+4m+1+(m+1)

a_(n+6) = m²+5m+2+(m+2) ; k=3

a_(n+7) = m²+6m+4+(m+2)

a_(n+8) = m²+7m+6+(m+3) ; k=4

뭐 이런식으로 나가겠죠. 여기서 a_(n+2k)이후의 몇항을 보면 다음과 같이 나타낼수 있다는걸 알수 있습니다.

a_(n+2k) = m²+2km+2∑(0부터 k-2까지) + (k-1)

   = m²+2km+(k-1)²   ; 끝항이 k² 보다 작기에 다음항에도 m+k-1만큼더해지죠.

a_(n+2k+1) = a_(n+2k) + m+k-1 = (m+k)²+m-k ;이때 끝항이 m≥k이기 때문에, 다음항엔 m+k만큼 더해지죠. 왜냐하면 m이 아무리 크다한들 이 식은 (m+k+1)² 보단 작기 때문입니다.

a_(n+2k+2) = a_(n+2k+1) + m+k = (m+k)²+2m

이 되며, 처음 시그마에서 0부터 k-2까지의 정수의 합때문에 k가 0,1일때를 조사해보면, a_(n+2k)의 식은 이 경우 틀리지만,뒤에 나온 a_(n+2k+1)과 a_(n+2k+2)의 식은 m≥k≥0 에 관해 성립됨을 알수 있습니다.

따라서, k=m일때, a_(n+2m+1) = (2m)² 이 됨을 알수 있죠.

(여기까지가 제가 이해한 부분입니다.)

근데 이렇게 된다고 해서, 어떻게 a_n을 다음과 같이 나타낼수 있죠?

위와 같은 성질에 의해 a_n은 2^m + m ≤n ≤2^(m+1) + m + 1

일때 a_(n-1) = 2^m + [ { (n-m)/2 }² ] 이 된답니다. <---(1) ; 맨 바깥쪽 []은 가우스함수기호.

느낌같아선, a_(n-m)이 a_(n-1)로 잘못프린트된것도 같은데,

도대체 어떤 근거로 이런 결과가 나온건지 아무런 감도 잡질 못하겠기에, 잘못프린트가 안된거 같기도 하네요.--;

하여튼 식(1)같은게 무슨 수로해서 도출이 될수 있는지 모르겠습니다.

문제가 완전히 공식같은거 응용하는게 아닌, 두뇌회전을 통한 관찰력과 응용력으로 푸는거라서, 현재 IQ가 안되는 전 도저히 못알아채겠어영.--;