풀이&답 Re:적분값이 (Pi/2)*exp( |t| )라는데...왜 그런지..

[puzzlist]

오랜만에 복소 계산이나 한번...

먼저 cos은 짝함수니까, t>=0 으로 가정해도 됩니다.

exp(iz) = cos z + i sin z 니까,
cos(tx) / (1+x^2) 을 적분하는 대신 exp(itx) / (1+x^2) 를 적분한 다음 실수부만 구하면 됩니다.

contour C를, (-R,0)-->(R,0)의 직선과 1,2 사분면을 지나는 반원(C_R)으로 잡으면,
int_C exp(itz) / (1+z^2) dz = 2pi i Res(exp(itz)/(1+z^2),i)가 됩니다.
exp(itz)/(1+z^2) 는 z=i에서 simple pole을 가지니까, Res(exp(itz)/(1+z^2),i) = exp(-t)/2i.

따라서, int_C exp(itz) / (1+z^2) dz = pi exp(-t).

|int_{C_R} exp(itz) / (1+z^2) dz | <= int_{C_R} | exp(itz) / (1+z^2) | |dz|

z = R exp(is), 0<=s<=pi 니까, |exp(itz)| = exp(-tRsin s) <= 1.

따라서, |int_{C_R} exp(itz) / (1+z^2) dz | <= int_{C_R} pi R / (R^2-1) -> 0 as R -> oo.

그러므로 int_C exp(itz) / (1+z^2) dz -> int_[-R,R] exp(itx) / (1+x^2) dx as R->oo 가 됩니다.

sin이 홀함수니까 적분하면 0이 되고 남는 것은 cos(tx) / (1+x^2) 부분뿐이고 cos이 짝함수니까,
int_C exp(tz) / (1+z^2) dz -> 2 int_[0,R] cos(tx) / (1+x^2) dx as R->oo.

int_C exp(tz) / (1+z^2) dz = pi exp(-t) 라고 했으니까,
int_[0,oo) cos(tx) / (1+x^2) dx = pi/2 exp(-t).


--------------------- [원본 메세지] ---------------------
복소이론에서

cos(tx) / (1+x^2) 을 x에 대해 0에서 ∞까지 적분하면 (Pi/2)*exp( |t| )

라고 하는데 왜 그런지 설명 좀 부탁드립니다.