<수업보조자료 6차시> 멱집합의 성질(1)

[mathmania]

멱집합의 성질

멱집합(power set)이란 무엇인지 정확한 정의부터 알고 가자.

집합 X의 모든 부분집합의 집합을 집합 X의 멱집합이라고 하고, 2^X 또는 P(X)로 나타낸다.

그런데 이 멱집합에는 아주 중요하고 재미있는 성질이 있다. 무한집합에서의 성질을 이해하는 데에는 당장은 어려우므로 유한집합에서부터 차근히 풀어가기로 하자.

우선 {a, b}의 부분집합을 모두 구해보자.

구하는 방법은 여러 가지가 있다.

그 중에서 두 가지를 소개하겠는데 특히 나중에 나오는 방법은 이후로 계속 쓰이므로 주의해서 보아주기 바란다.

첫 번째 방법은 부분집합의 원소의 개수에 따라서 부분집합을 찾는 방법이다.

원소의 개수가 0개인 경우: Φ

원소의 개수가 1개인 경우: {a}, {b}

원소의 개수가 2개인 경우: {a, b}

원소의 개수가 0개인 경우는 a, b 중에서 한 개도 선택하지 않는 방법으로 그 개수는 ₂C₀=1이다.

원소의 개수가 1개인 경우는 a, b 중에서 한 개만 선택하는 방법으로 그 개수는 ₂C₁=2이다.

원소의 개수가 2개인 경우는 a, b 중에서 두 개를 선택하는 방법으로 그 개수는 ₂C₂=1이다.

따라서 모든 부분집합의 개수는 이항정리에 의하여 ₂C₀+₂C₁+₂C₂=2²=4이다.