[사칙연산(+,-,×,÷)과 제곱근을 취하는 것을 유한번 시행하여 다항식의 해를 모두 구하는 것]을 대수적 해법이라고 합니다.
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1,2차 다항식의 대수적 해법은 중학교과정을 이수한 사람이라면 누구나 알고 있을 정도로 보편화되어 있습니다.
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3차 다항식의 일반해법을 찾아낸 것은 Niccolo Tartaglia 이고 이것을 출판한 사람은 Girolamo Cardano 입니다. Girolamo Cardano 가 3차 다항식의 일반해법을 자신의 저서인 "Ars Magna"에 출판하였기 때문에 3차 다항식의 해법을 "Cardano의 공식"이라고 하는 것입니다.
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4차 다항식의 일반해법을 찾아낸 것은 Cardano의 제자인 Lodovico Ferrari 입니다. 스승인 Cardano의 논문에 발표하였습니다.
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모든 수학자들은 어떤 이론이나 공식이 발표되면 그것을 검증하고 검증한 결과가 옳게 나오면 발표된 것을 일반화하려고 합니다.
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1차, 2차, 3차, 4차 다항식에 대한 일반해법이 존재하는 이상 수학자들이 가만히 있지는 않았겠죠? 게다가 다항식의 차수가 1부터 차례로 커짐에 따라 일반해법이 존재하기때문에 5차 다항식의 일반해법도 존재할 것이라는 추측은 자연스러울테니까요.
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즉, 3차, 4차 다항식의 일반해법이 갖는 수학사적 의의는 5차 이상의 다항식에 대한 일반해법을 찾도록 하는 게기를 만들어줬다는 것이죠.
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엄청난 시간동안 많은 수학자들이 5차 이상의 다항식에 대한 일반해법을 찾으려고 하였습니다. 그러나 모두 실패하고 말았죠. 왜냐하면 5차 이상의 다항식에 대한 일반해법은 존재하지 않기때문입니다.
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처음으로 5차 다항식에 대한 일반해법이 존재하지 않을거라고 예상한 수학자는 Paolo Ruffini 였습니다. 그리고 증명까지 했지요. 불행히도 증명은 틀린 것이었지만...
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Paolo Ruffini의 증명에 대한 오류들을 모두 해결하여 완벽하게 5차 다항식의 일반해법이 존재하지 않음을 증명한 수학자는 노르웨이의 천재수학자 Abel 입니다.
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무수히 많은 수학자들이 5차 다항식의 일반해법을 찾으로고 했지만 실패했고 그런 실패들을 바탕으로하여 Abel이 일반해법이 존재하지 않음을 증명한 것이죠.
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참고로. 아벨(Abel)하면 자동으로 따라오는 단어가 하나 있습니다. 바로 [가난]이죠. 아벨은 가난때문에 일찍 죽은(27세로 사망) 아까운 천재수학자였습니다.
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5차 이상의 다항식에 대한 일반해법이 존재하지 않는다는 것이 아벨에 의해 증명된 이후로 수학자들은 일반해법이 아닌 다른 방향으로 눈을 돌립니다.
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5차 다항식의 일반해법이 존재하지 않는다는 것은 모든 5차 다항식이 대수적으로 풀 수 없다는 것이 아니고 대수적으로 풀 수 없는 5차 다항식이 존재한다는 것을 의미하는 것입니다.
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그렇다면 대수적으로 풀수 있는 다항식과 대수적으로 풀수 없는 다항식을 어떻게 구별할 것인가?
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이 물음의 해답을 찾은것이 바로 프랑스의 천재 수학자 E.Galois 입니다.
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갈로아(Galois)는 주어진 5차 다항식이 대수적으로 풀 수 있는지의 여부를 판단할 수 있는 방법과 대수적으로 풀 수 있는 5차 다항식에 대한 일반해법을 찾아냈습니다.
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즉, 갈로아는 대수적 풀이가 가능한 5차 다항식의 일반해법(근의 공식?)을 찾아낸 것입니다. 근의 공식이라고 하기에는 엄청나게 복잡합니다. 도저히 설명이 불가능...
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참고로. 갈로아와 함께 다니는 단어가 있는데, 그것은 광기입니다. 갈로아는 어릴때부터 수학에 대한 천재성을 보였는데 그것을 인정받지 못하였고, 사회적인 문제로 21세의 나이에 여자때문에 결투에서 총을 맞고 죽었습니다.
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아벨과 갈루아에 의해 거의 400여년 동안 수학의 주제였던 다항식의 해법은 종지부를 찍었다고 해도 과언이 아니죠.
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