古典力學(고전역학)

[시너먼]

  물체에 힘이 작용할 때, 물체의 운동에 관한 연구.

고전역학은

물리과학 중에서 가장 오래된 분야인데

전통적으로 정지해 있는 물체를 다루는 정역학 (靜力學)과

운동하는 물체를 다루는 동역학 (動力學)의 2부분으로 나누어진다.

동역학은

또다시 운동에 관련되어 있는 힘에 대해서는 고려하지 않는 운동학 (kinematics)과

힘과 운동의 상호관계를 연구하는 운동역학 (kinetics)으로 나뉜다(운동역학).

정역학의 기초는

기원전 3세기경에 그리스의 수학자인 아르키메데스에 의해 이루어졌는데

그는 지렛대의 평형공식과 중력중심에 대한 공식을 발견했다.

또한 동역학은

17세기에 이르러

이탈리아의 물리학자인 갈릴레오 갈릴레이가 기초를 확립했다.

아리스토텔레스와 같은 고대 그리스인들도

운동하는 물체의 동작을 설명하려고 노력했지만

거리와 시간을 측정할 수 있는 만족할 만한 도구가 없었고

따라서 공식을 증명할 수가 없었기 때문에

그들의 노력은 실패하고 말았다(아리스토텔레스주의).

더구나 그들은 운동의 방향이나 크기를 변화시키는 데

힘이 필요한 것이 아니라 운동을 유지하는 데 힘이 필요하다고 믿고 있었다.

갈릴레오의 공헌 중에 가장 두드러진 것은

낙하물체에 관련된 것인데

구체적으로

그는 무거운 물체가 더 빨리 떨어진다는 아리스토텔레스의 이론이 옳지 않음을 증명했다.

그는 경사진 면 위에서 둥근 공을 굴려서

물체가 낙하하는 거리가

시간의 제곱에 비례하며

질량에는 무관함을 보였다.

갈릴레오는

투사체의 운동방정식을 고안하여

공기의 저항을 무시하면

이 투사체의 운동이 독립된 2개의 운동,

즉 일정속도의 수평운동과 중력의 영향하에서 일정 가속도운동을 하는 수직운동으로

이루어짐을 보였다.

그의 업적 중 가장 중요한 것은

훗날 영국의 물리학자인 아이작 뉴턴에 의해서 확립된

관성의 법칙을 예언한 것일 것이다.

갈릴레오는

외력이 없는 상태에서

운동하는 물체는 일직선상을 일정속도로 운동한다고 말했다.

또한

외력을 결정하는 것이 물체의 속도나 위치가 아니라

가속도(속도의 변화율)임을 인식한 최초의 사람이었다.

뉴턴은 갈릴레오가 죽은 해

(1642)에 태어났으며

만유인력의 법칙,

미적분학,

광학분야에서의 연구와 같은 주요한 발견 이외에도

힘과 질량의 개념을 도입하여

운동에 관한 3가지 법칙을 확립함으로써

갈릴레오에 의해서 최초로 도입된 개념을 명확히 하고 의미를 확장했다.

운동의 제1법칙에 의하면

어떤 물체에 힘이 가해지지 않으면

그 물체는 정지해 있거나 일정속도로 운동을 한다.

운동의 제2법칙은

F〓ma로 쓸수 있는데

이것은 질량이 m인 물체에 작용하는 힘 F에 의해서 가속도 a가 생겨남을 나타낸다.

운동의 제 3법칙은

상호작용의 법칙으로 자주 인용이 되는데

2개의 물체가 서로 작용함으로써 생겨나는 힘은

항상 크기가 같고 방향이 서로 반대인 하나의 쌍으로서 나타난다는 것을 의미한다.

역학분야에서의 뉴턴의 공헌이 상당히 크기 때문에

고전역학을 뉴턴 역학이라고도 한다.

고전역학의 연구가 발전함에 따라

운동량, 운동 에너지, 위치 에너지와 같은 양들이 중요한 의미를 갖게 되었다.

물체의 운동량은

질량과 속도의 곱으로 나타나는데

물체에 외력이 작용하지 않으면 물체의 운동량은 보존된다.

물체의 운동 에너지는

질량에 속도의 제곱을 곱한 양의 1/2에 해당하는 양이고

위치 에너지는

단위 전하, 단위 자기 단극자, 단위 질량을 주어진

각각의 전기장, 자기장, 중력장 내의 어느 특정한 지점에서

또다른 지점까지 이동하는 데 필요한 일의 양을 나타낸다.

운동 에너지와 위치 에너지의 합은

외력이 없고 외부에서 가해지는 일이 없을 경우에는

어느 일정한 양을 갖게 된다.

고전역학이 발전하게 된 동기 중에서

상당부분이

천체의 운동을 연구하기 위해서였다.

뉴턴보다 1세기 전경에 독일의 천문학자인 요하네스 케플러는

실험적으로 천체 운항에 관한 3가지 방정식을 얻었다(케플러의 행성운동법칙).

첫번째 법칙은

태양계의 각 행성의 궤도가 타원을 그리며 타원의 초점 중의 하나에 태양이 있다는 것이다.

2번째 법칙은

태양과 행성을 잇는 직선은 동일한 시간에 동일한 면적을 쓸면서 지나간다는 것이다.

3번째 법칙은

어떤 행성의 공전주기를 제곱한 값은

그 행성과 태양까지의 평균거리를 세제곱한 값에 비례한다는 것이다.

케플러의 법칙은

네덜란드의 천문학자인 티코 브라헤가 관측하여 기록한

거대한 양의 기록에 기초를 두고 있으며

물리학의 기본법칙을 이용하면 간단히 유도할 수 있다.

케플러의 3가지 운동법칙의 핵심이

뉴턴의 만유인력 법칙에 포함되었는데

만유인력 법칙에 따르면

질량을 갖는 두 물체에는 인력이 작용하며,

이 인력의 방향은 두 물체를 서로 잇는 일직선상에 있고

힘의 크기는 두 물체의 질량을 서로 곱한 값에 비례하며

물체 사이의 거리의 제곱에는 반비례한다(뉴턴의 운동법칙).

이 법칙은

낙하하는 한 조각의 돌뿐만 아니라

태양 주위를 운행하는 행성에도 적용할 수 있다는 의미에서 보편적이다.

2개의 물체가

외력이 없는 상태에서

서로 중력이 작용하면서 운동할 때의 운동은

이에 해당하는 운동 방정식을 풀어서 계산할 수가 있는데

행성계의 경우에서는 해(解)가 타원이 된다.

좀 더 일반적으로 해를 구하면

타원·쌍곡선·포물선이 된다.

3개 이상의 물체가 상호작용하면서 운동하는 경우에도

이 법칙을 적용할 수가 있는데

이 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 불가능하다.

사실 천체역학 분야에서 풀리지 않는 유명한 문제로서

상호간에 중력이 작용하는 3개의 물체에 관한 문제가 있다.

뉴턴의 연구 이래로

천체역학분야의 진보가 급격히 이루어져서

힘에 관한 기본법칙과 이에 따른 방정식의 해를 구하는 강력하고 해석적인 방법이

그후 2세기 동안에 개발되었기 때문에

이를 실제로 적용하는 것이 가능하게 되었다.

동역학에서의 이론적인 접근법에 따르면

물체의 위치를

시간에 관한 양함수(陽函數)의 형태를 찾아서 운동방정식을 푸는 것이다.

하지만 이와 같이 명확한 형태의 정확한 값은

천체 역학에서는 아주 간단한 경우에만 구해질 수가 있다.

실제로는

연차근사(連次近似) 또는 급수해를 이용해야 하는데

불행하게도 급수해는

짧은 시간 간격에서만 성립한다.

또한 급수해로는 일반해의 특성을 알 수가 없다.

그럼에도 불구하고 운동의 근사적인 해를 구하는데

고전적인 급수해의 유용성은 의심의 여지가 없다.

컴퓨터의 등장으로

수치 해석적인 실험이 고전역학의 범주에 들어가게 되었다.

탁상용 계산기를 이용하면 평생이 걸렸을 계산을 컴퓨터를 이용하여

간단하게 수행하고 있으며

이로써 인공위성을 발사하는 것이 가능하게 되었다.

또한 아폴로 우주선의 우주인들을 월면에 착륙시킨 다음

안전하게 지구로 귀환하게 하기 위하여 우주선의 궤도를 계산하는 데도 컴퓨터를 이용했다.

위의 조건을 만족하는 우주선의 궤도가 여러 개 존재하므로

가장 짧은 비행시간,

최소의 연료소모와 가장 많은 짐을 실을 수 있는 최적 궤도를 선택하는 것이 가능하게 되었다.

컴퓨터는

고전역학에 대한 관심을 부흥시키는 데도 많은 공헌을 했다.

19세기에 프랑스의 수학자이자 물리학자인

앙리 푸앵카레의 효시적인 업적에 의해서

현대의 연구가들은

매우 간단한 계에서도 매우 혼돈스러운 현상이 발생할 수 있다는 것을 알게 되었다.

또한 이중 많은 수가 계의 초기 조건에 민감하게 의존하기 때문인 것으로 알게 되었다.

즉 초기의 작은 요동에 의해서 완전히 다른 결과가 생기게 된다.

이와 같은 민감성을

 '나비 효과'(butterfly effect)라는

 시적인 표현으로 부르기도 하는데

이것은 예를 들어 과테말라에 있는 나비의 날개짓에 의해서

베이루트의 날씨가 영향을 받을 것이라는 뜻이다.

고전역학의 문제가 점차 복잡해짐에 따라

혼돈적인 거동을 차치하고서도 문제의 운동방정식을 세워서

이 방정식을 푸는 것이 점차 어려워졌다.

어떤 계 내에 있는 입자에 작용하는 힘을 확실히 아는 것조차도 매우 힘든 경우가 많다.

이처럼 복잡한 계에 대한 운동방정식을 유도할 때

좀더 강력하고 일반적인 방법은 라그랑주 방정식과 해밀턴 방정식을 이용하는 것이다.

이 방정식은

새로운 이론을 나타내는 것은 아니지만

동역학을 새로운 방법으로 서술한 것이며

이 방정식에 의해서 유도되는 방정식은

뉴턴의 제2법칙에 의해서 유도되는 방정식과 동일한 것이다.

뉴턴 역학에서는

힘과 가속도가 기본요소이며

입자의 위치를 서술하는데는 거리와 각도만을 사용한다.

라그랑주와 해밀턴 방정식에서는

운동 에너지와 위치 에너지를 기본요소로 사용하며

좌표값이 일반화되어 있어서

거리와 각도뿐만 아니라

역학적 계의 상태를 나타내는 값은,

상호독립적으로 변하는 것이 가능하면 어느 것이라도 좌표로써 사용할 수가 있다.

역학의 응용분야로는

탄도학,

탄성체의 역학,

유체역학,

파동운동 등이 있다.

탄도학은

투사체의 현상과 법칙을 다루는 학문으로서

투사체의 추진·비행·충돌 등을 다루는 학문분야이다.

탄도학을 대포 등에 적용할 때는

위의 3가지 분야를 각각 내부, 외부 그리고 종단 탄도학이라고 한다.

탄도이론에는 다양한 과학적 연구방법이 있으며

탄도문제를 푸는 데는

항상 매우 복잡한 기술이 필요하기 때문에

새로운 연구방법이 생겨나게 되었다.

역학에서 비강체(nonrigid body)의 변형을 다루는 데는

(대부분 강체를 다루는 고전역학에서도)

몇 가지의 이유가 있다.

예를 들면

여러 가지 기계나 구조물을 강체의 정역학에 따른

방정식에 의해서 결정할 수 있는 힘의 개수에는 한계가 있으며

이들에 작용하는 모든 힘은 각 구성요소의 탄성적인 성질을 고려해 넣어야만

구할 수가 있다.

탄성률이라는 용어는

모든 물체가 다소간 탄성적이라는 사실을 인식하게 된 17세기에 만들어졌다.

일반적으로 어떤 물체가 복원력을 가지면

이 물체는 탄성을 가진다.

긴 강철띠는 오랜 시간 동안 구부러져 있더라도

제자리로 다시 돌아오게 된다.

반면에 납으로 된 띠는 제자리로 돌아오지 않는다.

19세기초에 영국의 물리학자이며 의사인 토머스 영 은

소위 영률 이라는 개념을 도입하여

탄성이라는 개념을 수량화했다(영).

크기가 F인 어떤 힘을

일정한 단면적 A를 갖는 막대에 적용하는 경우를 생각해보면

이때 이 막대는 F/A로 주어지는 변형력(응력 ) σ를 받게 되며

부분적인 신장(伸長), 즉 변형률 ε을 받게 된다.

이때 영률E는

변형력과 변형률 사이의 비례상수로서 주어진다.

즉 E〓σ/ε이다.

탄성이라는 개념이 생기면서

유동학(rheology)의 주제인 변형과 유동 이라는 주제도 자연히 생겨나게 되었다.

변형은

물체의 어느 부분이 다른 부분에 대해서 상대적으로 이동하여

물체의 크기와 형태가 변화하는 것을 말하며

유동은

물체의 형태가 시간이 지나면서 지속적으로 변화하는 것을 말한다.

이와 같은 운동을 다루는 역학으로는

연속체 역학(continuum mechanics) 또는 변형체의 역학이 있다.

변형의 예는

일상적인 생활에서 많이 찾아 볼 수 있는데

액체가 쏟아져서 흐르는 운동,

강에서의 물의 흐름,

바람이 불 때 펄럭이는 깃발,

늘여지는 고무줄,

진동하는 바이올린 현의 운동 등을 들 수 있다.

연속체 역학은

기술분야에 널리 응용되고 있는데

어떤 구조체를 설계할 때 부서지거나

과도한 변형이 일어나지 않게 적절히 설계된 재료를 선택하는 것이 중요하다.

또한 비행기를 설계할 때는

최고의 양력(揚力)과 효율을 얻기 위해서

날개에 작용하는 힘을 계산해야 한다.

유체의 흐름은

유체역학에서도 다루고 있는데

유체역학에서는

유체와 유체에 의해서 용기에 작용하는 힘과

유체를 정적인 상태로 유지하는 데 필요한 힘에 대해서 연구한다.

유체역학에는 여러 가지 분야가 있는데

이중에는 대기의 운동을 다루는 기상학·수리학(水理學)·

자기유체역학

(자기장과 전자와 양성자가 거의 같은 비율로 섞여 기체상을 이루고 있는

플라스마 상호간의 관계를 다루는 학문)·

저온학 등이 있다(자기유체역학).

유동의 예로 가장 친숙한 것은

아마도 바다의 조수일 것이다.

조수는 대략 하루의 주기를 가지는데

이 주기는 대륙의 해변이나 도서에서 거의 공통적인 값이다.

뉴턴에 따르면

조수운동은

천체의 회전운동에 의한 원심력과

천체 사이의 중력의 차이에 의해서 생겨난다.

이와 같이 조수를 발생하게 하는 가속도는

대기 입자에도 작용하여

해수뿐만 아니라 대기와 지구 자체도 일종의 조수운동을 하게 된다.

파동운동은

연못에 돌을 던졌을 때 퍼져나가는 물결과 같은 친숙한 현상인데

물 위에 떠 있는 잎의 운동을 보면

원래의 위치에서 오르락내리락하고

앞뒤로 운동하면서도 전체적으로 이동하지 않는다는 것을 알 수 있다.

또한 이곳에서 떨어진 위치에 있는 잎은

조금 늦은 시간에 같은 모양의 운동을 반복하는 것을 알 수 있다

(운동의 크기는 조금 작아지지만).

이와 같은 방법에 의해서

파동은 정보를 전달하게 된다.

물결파동은

파동의 한 가지 예에 지나지 않으며

일반적으로 파동은

어떤 형태의 교란이 매체를 이동하여 가는 것으로 정의할 수가 있다.

파동의 또다른 보기로는

음악당에서 악기의 소리가 퍼져나가는 현상과

먼곳에 있는 항성에서 지구에 도달하는 빛,

환자의 몸을 투과하는 X선,

텔레비전에서 방송되는 상업광고 등을 들 수 있다.

이경우 음파·광선·X선과 텔레비전 신호가 파동의 형태로 진행한다.

파동은

물리학의 여러 가지 기초분야에서 접할 수가 있어서

파동을 완전히 이해하는 데는

과학이 좀더 발전할 때까지 기다려야 했다.

현의 진동에 대한 연구는

역학적인 파동에 대한 이해가 발전하는 데 지대한 공헌을 했다.

기원전 6세기에 그리스의 철학자인 피타고라스는

현의 전체 길이를

간단한 정수의 비를 갖는 2부분으로 나누었을 때

듣기 좋은 소리가 난다고 말한 것으로 전해져 오고 있다.

갈릴레오는

현의 질량과 장력(張力)이 현의 진동수에 미치는 영향에 대해서 연구했다.

파동의 운동에 대한 확고한 기반은

뉴턴의 법칙과

이보다 200년 후에 영국의 물리학자인 제임스 클럭 맥스웰 에 의해서 형성된

전자기 법칙에 의해서

확고히 다져졌는데

이들에 의해서 파동현상과 고전역학을 이해하는 포괄적이며 정량적인 기초가 다져졌다.

파동을 분류하는 방법에는 몇 가지가 있는데

가장 간단한 방법으로는

파동이 전파하는 매질의 종류에 의해서 파동을 분류하는 것이다.

예를 들어

물결파는 물에서 전파하는 파를 말하며

음파는 대개 공기 중에 전파되는데 기체나 액체 또는 고체와 같은 매질에서도 전파될 수가 있다. 또한 광파·X선·전파·적외선 등은

전자기파를 이루는데 이와 같은 복사는 파동이 전파되는 매개물질을 필요로 하지 않아서

먼 곳에 있는 항성에서 나오는 빛의 경우에는 별과 별사이의 진공을 통과하여 지구에 도달한다.

초기에 과학자들은

광선이 전파하기 위한 매개물이 존재해야 한다는 필요성을 절실히 느껴서

에테르 (ether)라고 하는 가상의 매질을 상상해냈지만

미국의 과학자인 앨버트 A. 마이컬슨과

에드워드 윌리엄스 몰리가

1887년에 행한 유명한 실험에 의해서

에테르가 존재하지 않음을 알게 되었다.

이후 에테르의 개념은

전자기장의 개념으로 대체되었는데

전자기장은 진공 내에서 광속으로 전파가 되며

이 전기장이 존재한다는 것은

전자기장의 어느 지점에 전하(電荷)를 놓아봄으로써

직접적인 방법으로 검증할 수가 있는데

이때 전하는 전자기장에 의해서 운동을 하게 된다.

전자기장의 전파와 이에 따른 에너지의 공간상 분포에 의해서

전자기파가 구성된다.

전자기장의 세기는

물결파의 역학적인 변위에 해당하는 양이다.

모든 파동은

물체의 표면에서 반사가 되어

입자와 유사한 성질도 띠고 있는데

고전역학에서

입자와 구분되는 파동의 주요특성으로는

간섭과 회절을 들 수 있다.

어떤 파동이

구멍이 뚫려 있는 장벽에 도달하게 되면

파동은 구멍을 통과하여 장벽의 반대편으로 퍼져나가게 된다.

간섭은

동일한 공간에서 파동이 중첩되는 과정이다.

가장 간단한 간섭무늬는

평행한 광선을 2개의 평행한 슬릿이 있는 장벽에 비출 때 생긴다.

2개의 슬릿을 통과한 빛은

각각 퍼져나가서

장벽의 반대편에 있는 스크린에 도달하게 되며,

이때 두 빛들이 중첩되어 간섭무늬가 생기게 된다.

이때 스크린에 나타나는 간섭무늬는

밝은 부분과 어두운 부분이 교대로 나타나는 띠의 모양을 가지고 있다.

회절은

동일한 파동원에서 발생한 파동의 서로 다른 부분이 일으키는 간섭을 말한다.

회절의 간단한 보기로는

장벽에 있는 단일 슬릿을 들 수 있다.

고전역학과 양자역학은

그들의 밀접한 관계 때문에

전자에 이용된 개념들이 후자에서도 나타나지만

똑같은 개념이 크게 변화된 의미로 쓰인다.

이것은 초보자에게 혼동을 일으킬 수 있다.

시간과 공간은

비상대론적 이론 형식에서는 고전적으로 이해되며,

입자란 원자구성 입자로만 생각될 것이다.

입자의 운동은

위치를 나타내는 3개의 좌표(x, y, z)와

시간에 따라 좌표의 변화를 나타내는 속도와 가속도로 기술할 수 있다.

뉴턴의 법칙에 의해

운동량(입자의 질량×속도)의 변화는

그 입자에 가해진 힘과 같다.

여기서 3개의 미분방정식을 얻는다.

일반적으로 N개 몸체 문제에서

 3N개의 미분방정식을 얻고,

특수한 값을 갖는 6N개의 초기조건으로 모든 문제를 풀 수 있다.

 6N개의 초기조건은

대체로 3N개의 위치좌표와

3N개의 속도 성분으로 주어진다.

이렇게 결정된 특수해로써

그 입자의 정확한 위치를 원리상 예측할 수 있다.

그러므로 고전역학에서는

주어진 힘과 질량,

초기위치,

속도에 의해 모든 미래의 상황이 결정된다.

좀 복잡한 운동의 경우는

측정상의 문제가 있지만

충분히 노력하면 정밀하게 운동을 예측할 수 있다.

이런 과정을 통해 달과 지구 사이 인공위성의 궤도운동을 정확히 예측할 수 있었다.

이런 결정론적 성격이

결정론과 자유의지의 철학에 중요한 역할을 해왔다.

이는 특히 18세기의 프랑스 수학자 피에르 시몽 라플라스에 의해

다음과 같이 강조되었다

(이런 이유로 종종 라플라스의 결정론으로 불림).

우리는

우주의 현재상태가 과거에 있었던 상태의 결과이며

미래상태의 원인인 것으로 생각해야 한다.

어떤 한순간에

자연에 작용하는 모든 힘,

우주를 구성하는 모든 것의 순간적인 위치를 알 수 있는 사람이

모든 자료를 충분히 해석할 수 있다면

세상에 있는 가장 큰 물체의 운동과

가장 작은 원자 속에 있는 것도 이해할 수 있을 것이다.

불확실한 것은 없으며

미래와 과거 모두가 우리 눈앞에 나타날 것이다.