적분법과 도함수

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전채만 추천 0 조회 254 12.06.29 23:46 댓글 2

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적분법 [intergration, 積分法]

도함수 Dg(x)가 주어진 함수 f(x)와 같아지는 함수 g(x)를 찾는 기법.

이것은 적분기호 '∫'를 사용하여 ∫f(x)로 나타내며 함수의 부정적분이라고 부른다. 기호 dx를 함께 쓰는데, 이것은 단지 적분변수가 x임을 나타낸다. 정적분은

로 쓰며, a와 b는 적분구간의 경계이고 Dg(x)〓f(x)일 때 g(b)－g(a)와 같다.

몇몇 역도함수는 어떤 함수가 주어진 함수를 도함수로 갖는지를 생각하면 계산될 수 있지만, 적분법은 대부분 한 함수를 여러 가지로 조작하여 그 역도함수를 쉽게 알 수 있는 꼴로 분류하는 과정을 포함한다. 예를 들어 도함수를 잘 알고 있다면 함수 1/(x＋1)은 log_e(x＋1)의 도함수임을 쉽게 알 수 있지만 (x²＋x＋1)/(x＋1)의 역도함수는 쉽게 알 수 없다. 그러나 이 함수를 x(x＋1)/(x＋1)＋1/(x＋1)=x＋1/(x＋1)로 바꾸어 쓰면 x²/2＋log_e(x＋1)의 도함수임을 알 수 있다. 적분법에서 유용한 것 중 하나는 부분적분(部分積分)이라고 하는 정리이다. 기호로는

이며, 한 함수가 서로 다른 두 함수 f와 Dg(g의 도함수)의 곱으로 되어 있으면 곱 gDf를 적분하여 풀 수 있다. 예를 들어 f〓x, Dg=cosx이면

가 된다. 역도함수는 면적·부피·일 등의 양과, 일반적으로 곡선으로 둘러싸인 면적 등을 구하는 데 사용된다.

도함수 [derivative, 導涵數]

변수에 대한 함수의 변화율 또는 순간속도.

도함수

도함수[derivative, 導涵數]

기하학적으로 함수의 도함수는 함수 그래프의 기울기이며 좀더 정확하게는 한 점에서 접선(tangent line)의 기울기이다. 이 값은 직선의 기울기 공식으로 계산하지만 곡선의 기울기는 극한을 사용한다. 직선에 대한 기울기 공식은 (y₁－y₀)/(x₁－x₀)이고, (x₁－x₀)대신 h를, y 대신 f(x)를 사용하면, [f(x₀＋h)－f(x₀)]/h이다(그래프 1). 곡선은 각 점에 따라 기울기가 다르므로 곡선에 대한 이 비율은 선택한 점에 따라 다르다. 곡선 위의 어떤 점에서 기울기를 구할 때 2번째 점을 잡기가 어려운데, 일반적으로 두 점 사이가 멀 경우에는 어느 한 점에서의 기울기가 아니라 두 점 사이에 있는 곡선의 모든 점에 대한 평균기울기가 되기 때문이다(그래프 2). 이런 어려움 때문에 2번째 점을 고정하지 않고 직선의 기울기에서 처럼 h로 지정한 뒤 극한을 취한다. 이경우 극한 을 구한다는 것은 h가 0으로 접근함에 따라 이 비율(차분몫이라고도 함)이 어디로 접근하는지를 찾는 과정이다. 따라서 극한비는 주어진 점에서의 실제 기울기를 나타낸다.

몫(quotient) [f(x₀＋h)－f(x₀)]/h는 h가 0으로 접근하면, 극한을 바로 구할 수 있는 식으로 다시 고쳐야 한다. 예를 들어 x=2에서 x²의 미분계수를 구할 경우 몫은 [(2＋h)²－2²]/h이다. 분자를 전개하면 몫은 (4＋4h＋h²－4)/h=(4h＋h²)/h가 된다. 이때 h는 0은 아니지만 0에 매우 접근하며, 분모·분자는 여전히 0으로 접근하지만 h로 나누어져 4＋h만 남게 되고, h가 0에 접근하므로 이 식은 4로 수렴한다.

이를 요약하면 x₀에서 f(x)의 미분계수는 f(x₀), (df/dx)(x₀), 또는 Df(x₀)로 쓰며, 극한이 존재하면

로 정의한다. 도함수를 계산하는 미분법은 기본정의를 거의 사용하지 않고, 대신 3가지 기본 도함수, 사칙연산(＋, －, ×, ÷), 그리고 함수를 변형시키는 방법으로 도함수를 구한다(→ 미분법 ).

도함수는 미적분학과 미분방정식에서 사용되며 속도·극대·곡선해석·근사 등의 문제에 응용된다.

극한(limit, 極限)

접근개념을 바탕으로 하는 수학적인 개념.

함수값이 정의되지 않는 점에서 그 점 부근의 함수값과 모순되지 않는 값을 얻기 위해서 주로 사용한다. 예를 들어 함수 (x²－1)/(x－1)은 x=1일 경우에는 0으로 나누게 되어 연산이 불가능하므로 함수값이 정의되지 않는다. 다른 모든 x값에서는 분자를 인수분해한 뒤에 (x－1)로 나누면 (x＋1)을 갖는다. 이것은 1을 제외한 모든 x값에 대한 앞의 분수식과 같으며, x=1일 때 값이 정의되지 않았던 것과는 달리 함수값은 2가 된다. 2라는 값은 함수 (x²－1)/(x－1)에서 x=1일 때의 값이 아니고 x가 1에 가까워질 때의 극한값이다.

점 x₀에서 함수 f(x)의 극한은 f(x)로 쓰며 정의하는 방법은 다음과 같다. 점x₀를 제외하고 x₀를 포함하는 어떤 구간에서는 g(x)=f(x)이고 끊어지지 않은 연속함수 g(x)가 있다면, f(x)=g(x₀)이다. 극한에 대한 더 근본적인 개념을 연속성 개념에 관계없이 f(x)=L이라 정의할 수 있다. 즉 원하는 접근정도 ε에 대해 x₀주변에서 구간을 찾아 그 구간 안에서 계산한 모든 f(x)의 값과 L과의 차이는 ε보다 작게 되어야 한다. 즉,│x－x│＜δ일 때 │f(x)－L│＜ε이다. 후자의 정의는 주어진 수가 실제로 극한값인가 아닌가를 가려낼 수 있으나, 처음 정의는 극한값을 찾는 방법을 준다. 극한, 특히 분수식의 극한을 계산할 때는 더 명백하게 쓰기 위해 대부분 함수를 변형하는데, 앞의 (x²－1)/(x－1)이 그 예이다.