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수학(Mathematis)의 일부????????
대수기하학(Algebraic Geometry )
요약: 대수에 의한 기하적 대상에 대한 연구로서 2차곡선 ·2차곡면을 주요대상으로 하는 현대수학의 한 분야이다
대수에 의한 기하적 대상에 대한 연구로서 2차곡선 ·2차곡면을 주요대상으로 하는 이른바 해석기하학(解析幾何學)과 사영(射影)기하학의 자연스런 발전의 소산이다. 그러나 오늘날 말하는 대수기하학은 대수적으로 정의된 다양체(多樣體), 즉 대수다양체를 주된 연구 대상으로 하고, 호몰로지대수 ·국소환(局所環) 등의 대수적 방법, 함수론(函數論) ·미분방정식 등의 해석적 방법 등을 종합적으로 구사하여 상세히 연구하는 것으로 수론(數論) ·해석다양체론(解析多樣體論)과의 관련성도 매우 긴밀하다. 따라서 현대수학의 유력한 분야인 동시에 활발한 분야이다.
해석기하학[analytic geometry, 解析幾何學]
요약: 기호(記號)의 학문으로서의 대수학과, 도형의 학문으로서의 기하학을 하나로 묶은 수학의 한 분야로, 고대 그리스 수학자들의 생각 중에서도 그 싹이 있었는데 17세기에 들어와서 P.페르마가 이것을 알기 쉽게 자세히 설명하였고, R.데카르트에 의해 만들어졌다
즉, 공리(公理)와 정리(定理)를 적용하는 대신 좌표라고 하는 한 짝의 수를 변수로 하는 방정식의 형태로서 도형의 성질을 연구하는 학문이다. 고대 그리스 수학자들의 생각 중에서도 그 싹이 있었는데 17세기에 들어와서 P.페르마가 이것을 알기 쉽게 자세히 설명하였고, R.데카르트에 의해 만들어졌다.
즉, 페르마는 아폴로니오스의 《원뿔곡선론》을 상세히 연구하여 이것에 바탕을 두어 좌표의 개념을 확립했고, 데카르트는 1637년에 《기하학》에 의해 학문으로서의 체계화를 완성시켰다. 해석기하학의 창시는 미적분학의 확립과 때를 같이하는데 이 둘은 연결되어, 이에 이어지는 수학의 발전에 큰 역할을 하고 있다.
사영기하학[projective geometry, 射影幾何學]
요약: 기호(記號)의 학문으로서의 대수학과, 도형의 학문으로서의 기하학을 하나로 묶은 수학의 한 분야로, 고대 그리스 수학자들의 생각 중에서도 그 싹이 있었는데 17세기에 들어와서 P.페르마가 이것을 알기 쉽게 자세히 설명하였고, R.데카르트에 의해 만들어졌다.
역사적으로는 투시도법의 생각이 그 발단이 되었다. 점·직선·평면을 기초도형으로 하여 이들의 결합관계를 연구하고 도형의 양적인 성질은 문제로 삼지 않는다. 사영변환을 차차 특수화함으로써 아핀변환, 유클리드의 합동변환 등이 얻어지고 이에 부응하여 아핀기하학·유클리드기하학 등이 구성된다. 물론, 비유클리드기하학도 사영변환을 특수화함으로써 사영기하학에서 구성될 수 있다.
이런 의미에서 사영기하학은 유클리드기하학과 비유클리드기하학을 포괄하고, 보다 일반적인 기하학이라 할 수 있다. 프랑스의 건축기술자 G.데자르그와 천재적인 수학자 B.파스칼에 의하여 시작되었고, 약 2세기 후에 나폴레옹의 러시아원정 때에 종군하였다가 포로가 된 독창적인 수학자 J.V.퐁슬레가 포로수용소에서 도형의 사영적 성질에 관한 연구를 시작하여 귀국 후 1814년 발표함으로써 수학의 한 분과로서 체계를 세우게 되었다. 그후 순수기하학적인 공리군에서 출발하여 사영기하학을 구성한 사람들은 F.클라인, 슈타우트, 버코프 등이다.
대수학 [algebra, 代數學]
요약: 수학의 한 분야로 수 대신의 문자를 쓰거나, 수학법칙을 간명하게 나타내는 것이다. 방정식의 문제를 푸는 데서 시작되었다.
영어의 algebra는 al-jabr라는 아라비아어에서 유래하며, 방정식(方程式)의 이항을 의미한다. 우리말의 대수학은 중국어로 번역한 것을 답습하여 쓰고 있으며, 수 대신 문자를 써서 문제 해결을 쉽게 하고, 또 수학적 법칙을 일반적으로 또 간명하게 나타내는 것을 뜻한다. 어쨌든 방정식을 푸는 것이 이 분야의 출발점이었으나, 오늘날의 대수학은 그것에 그치지 않고 널리 수학 일반의 기초 분야가 된다.
관련과학자:
디오판투스 (고대 알렉산드리아), 알크와리즈미 (Al-Khwarizmi, 아랍), 슈퀘 (Nicolas Chuquet, 프랑스), 루카 파치올리 (이탈리아), 레코드 (Robert Recorde, 영국), 페로 (Scipione del Ferro, 이탈라아), 페라리 (Ludovico Ferrari, 이탈리아), 비에트 (Francois Viète, 프랑스), 데카르트 (Réné Descartes, 프랑스), 해밀톤 (William Rowen Hamilton), 반데르 밸든 (B. L. van der Waerden)
수학사 전반에 걸쳐서 대수학에서 다루었던 주제들은 수와 수 체계, 다양한 수치 해법 또는 대수방정식(algebraic equations), 방정식의 집합 문제와 같은 것들이었다. 방정식을 일반적으로 표현한다면 다음과 같다.
여기서는 알려진 수로서 정수(integral=integer), 유리수(rational), 실수(real), 복소수(complex number)일 수 있다; 는 미지수로서 풀어야 되는 수이다. n은 정수로서 차수(degree)이다. 더 일반적인 식은 여러 미지수를 포함하고 있다. 개략적으로 1800년경부터 수와 방정식의 영역을 넘어서 보다 일반적인 이론으로 발전하게 된다.고대 이집트와 바빌로니아(기원전 1700년경)에 출현한 몇몇의 계산 방식은 여러 가지의 방정식을 풀기 위한 시도로 볼 수 있다. 이집트인들은 제한적인 것이었지만 고유한 수 체계를 갖고 있었으며 주로 1차 방정식(n=1)을 다루었다.
이에 비해 바빌로니아인들은 보다 다루기 쉬운 수 체계를 가지고 있어서 이차방정식(quadratic equation, n=2)과 몇몇의 고차방정식도 풀 수 있었다. 그 후 그리스인(기원전 500-300년경)들은 일종의 ‘기하 대수(geometrical algebra)’라고 볼 수 있는 넓이의 변환 기술을 개발하였다. 고대 후기에 이르러서 알렉산드리아의 디오판투스(250년경)는 계산술(Arithmetica)에서 대수학을 이용함으로서, 이후의 수학자들에게 큰 영향을 미쳤다.중국인들도 대수학을 탐구하였으나 중국의 대수학은 서양에 거의 영향을 미치지 못하였다. 인도의 수와 대수는 서구에 영향을 미쳤는데, 십진 체계(decimal system)와 기수법(positional number systems)을 서구에서 받아 들였기 때문이다.아랍인들은 인도와 힌두의 수 체계를 서구에 전해 주었고, 대수학을 폭넓게 발전시켰다. 대표적인 인물이 알크와리즈미(Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, 800-850년경)로서 서구에 영향을 끼쳤다.
그의 무카발라(Al-jabr wa'l muqabala; Completion and Balancing)는 기초 대수 기술을 포함하고 있었다. 대수학(Algebra)라는 용어는 그의 알 자브르(al-jabr)에서 유래하였고, 이항(移項)을 의미하며, muqabala 는 이항의 결과를 간략화 한 것을 말한다. 알고리즘(algorithm)은 그의 이름과 지명을 의미하는 Al-Khwarizmi 가 변한 것이라고 한다.르네상스 기간 중 서유럽에서 대수학은 크게 번성하였다. 서유럽이 힌두와 서유럽의 수 체계를 받아들임으로서 대수기호의 표준화와 기법이 발전되었다. 프랑스의 슈퀘(Nicolas Chuquet, 1500년경)는 큰 영향은 못 미쳤지만, ‘수의 과학 3부(Triparty en la Sciences des Nombres, 1484)에서 중요한 대수학의 개념을 다루고 있었다. 이탈리아의 루카 파치올리(1445-1517)가 쓴 수마(Summa de Arithmetica, proportioni et proportionalita, 1494)는 초기의 대수학 수준을 능가하면서 큰 영향을 미치게 된다.
독일 수학자들은 기예(art) 발전시켰고, 이에 비해 영국의 레코드(Robert Recorde, 1510-1558)는 휘트의 타산지석(whetstone of Witte, 1557)에서 대수학을 다루었다. 이탈리아의 페로(Scipione del Ferro, 약1465-1526)와 페라리(Ludovico Ferrari, 1522-1565)는 일반 3차방정식(차수 n= 3)과 4차방정식(차수 n= 4)의 해법에 중요한 공헌을 하였다. 카르다노(Girolamo Cardano, 1501-1576)는 그의 위대한 예술(Ars magna, 1545)에서 이들의 업적들을 기술하고 있다.16세기 후반 프랑스의 비에트(Francois Viète, 1540-1603)는 해석술의 입문(In Artem Analyticem Isagoge, 1591)에서 대수이론과 기호법에 관하여 다루었다.데카르트(Réné Descartes, 1596-1650)는 기하학(La Géométrie, 1637)에서 기하문제[해석기하]를 푸는데 있어서 대수의 이용이 대단히 편리함을 보여주었다. 또한 대수학에 새로운 기호를 추가로 도입하였다. 데카르트의 활동 시기를 전후해서 초등 대수학의 표준기호가 거의 대부분 도입되었다.음의 값을 갖는 근이나 복잡한 근 또는 방정식의 해들이 실제로 받아들여지기 까지는 상당한 기간을 요하였다. 18세기 후반부에 와서 수학자들은 n 차 방정식의 근의 존재를 확증하기 위해서 대수학의 기초 이론을 증명할 필요성을 깨닫고 있었다. 증명은 실제로 대수학 자체의 넘어서는 것이었다.19세기 중 수학자들은 대수학에 대한 보다 일반적인 접근을 위해서, 수론과 방정식의 이론 영역을 넘어서게 되었다. 5차 방정식 이상의 문제를 해결하기 위해서 군(group)론, 체(體, field)론, 갈루아 이론이 새로 나왔다. 해밀톤(William Rowen Hamilton, 1805-1865)은 1843년부터 사원수론(四元數論, quaternions)을 만들었다. 이어서 벡터이론이 나왔다. 19세기 동안에 행렬식과 행렬은 대수학적 중요 도구가 되었다. 19세기말 대수 구조가 폭넓은 다양성을 갖춤으로서 보다 강력한 응용성을 갖게 되었다.20세기 초에 수학자들은 추상적이고 공리적인 관점에서 대수학의 구조를 주시하게 되었다. 반데르 밸든(B. L. van der Waerden)은 1930-1931에 ‘현대대수학(Modern Algebra)’을 출간했는데 군(群, groups), 환(環, rings), 체(體, field), 격자(格子, lattices)와 벡터공간(vector spaces)등과 같은 추상적인 구조의 연구에 의한 발전은 대수학 전반에 걸쳐 주목할 만한 점들이었다. 수학자들은 대수학의 연구에 있어서 현대에 들어오면서 일반적으로 추상적인 접근 방식을 취하게 되었다.
위상수학[topology, 位相數學]
관련 과학자: 오일러 (L. Euler), 리스팅 (J. Listing), 프엥까레 (H. Poincaré,), 칸토르 (G. Cantor), 브라우워 (L. E. J. Brouwer), 리만
위상수학은 연속적인 일대일 변환으로서 기하학적 도형의 불변(invariant)에 대한 성질을 연구하는 학문. 위상수학에는 조합위상수학(combinatorial topology)과 점집합 위상수학(point-set topology)의 두 분야가 있다. 오일러(L. Euler, 1707-1783)는 토폴로지의 일부유형(=꼴, type)을 다루었고, 이것이 조합위상수학으로 발전이 이루어 졌는데, 흔히 고무판 기하학이라고도 부른다. 그러나 위상수학라는 용어는 리스팅(J. Listing, 1808-1882)이 처음으로 1847년부터 쓰기 시작하였다. 프엥까레(H. Poincaré, 1854-1912)는 그의 논문 ‘Analysis situs(위치해석=위치의 기하학=위상기하, 라이프니츠가 처음 쓴 표현임)’에서 최초로 위상기하학을 체계적으로 발전시켰다. 리만(1826-1866)의 위상수학에 대한 핵심은 복소함수론(complex function theory)에 있다.점집합 위상기하는 원래는 칸토르(G. Cantor, 1845-1918)에서 유래된 것으로 기하학의 도형을 구조적 공간의 부분집합(subsets)으로 간주하였다. 하우스돌프(F. Hausdorff, 1868-1942)는 이것을 완성했고, 근방에 대한 본질적인 개념이 계량없이 공간에서 표기 가능함을 보였다. 브라우워(L. E. J. Brouwer, 1881-1966)는 조합위상수학과 점집합위상수학을 결합하였고, 오늘날 위상수학은 거의 모든 수학에서 쓰인다.
위상기하학[topology, 位相幾何學]
요약: 공간의 일 대 일, 연속 그리고 그 역도 연속인 사상(寫像)에 대하여도 불변인 성질, 즉 위상적 성질을 연구하는 기하학으로 20세기 수학의 특징인 대역적(大域的)인 성격을 단적으로 나타내고 있다는 의미에서 현대수학을 대표하는 것으로서 다른 여러 분야에도 큰 영향을 미치면서 더욱 다채로운 차원(次元)으로 발전하고 있다.
공간의 일 대 일, 연속 그리고 그 역도 연속인 사상(寫像)에 대하여도 불변인 성질, 즉 위상적 성질을 연구하는 기하학이다. 이를테면 구면(球面)과 위상동형인 2차원 폐다면체(閉多面體)의 꼭지점의 수 V, 변의 수 E, 면의 수 F 사이에는 V-E+F=2라는 관계가 성립한다는 오일러의 정리는 전형적인 문제인데, 이는 위상기하학의 출발점이 되었다.
이 밖에 이른바 한붓그리기의 문제를 포함하는 이론을 비롯하여 여러 이론이 알려져 있다. 그러나 수학의 추상화에 따라서 그 대상도 구체적인 공간에서 추상적인 공간에까지 확장되었다. 이와 같이 추상공간(抽象空間)을 위상공간이라고 하며, 위상적 방법과 대수적 방법을 병용함으로써 수학해석처리를 하는 부분이 탄생하게 되었다.이러한 방법에 의한 수학, 즉 위상기하학을 비롯하여 위상공간론·위상해석학 등이 위상수학의 대종을 이루고 있다. 이상과 같이 위상기하학은 20세기 수학의 특징인 대역적(大域的)인 성격을 단적으로 나타내고 있다는 의미에서 현대수학을 대표하는 것으로서 다른 여러 분야에도 큰 영향을 미치면서 더욱 다채로운 차원(次元)으로 발전하고 있다.
대수적 위상수학 [algebraic topology, 代數的位相數學]
요약: 추상대수학의 방법을 사용하여 위상다면체, 그 단체분할(單體分割)에 의한 복체(複體), 대수적 복체 등을 대상으로 하여, 그것들의 위상적 성질을 연구하는 위상수학의 한 분야이다.
대수적 위상기하학 또는 조합적(組合的) 위상기하학이라고도 한다. 대수적 위상수학에서는 호몰로지 및 호모토피의 이론이 주된 연구영역이다. 이를테면, 호몰로지 이론에서는 곡면을 기호로 나타낸 유한개의 작은 조각으로 나누어 생각하는데, 이렇게 함으로써 여러 조각 사이에 대수적으로 다룰 수 있는 관계가 생기기 때문이다. 또 대수적 위상수학은 L.E.J.브로워의 부동점(不動點)정리를 도출하는 등, 수학의 다른 분야에서도 중요한 뜻을 지니고 있다.
추상대수학[abstract algebra, 抽象代數學]
요약: 수의 사칙연산(四則演算)을 추상하여 집합의 원소 사이에 연산을 정의(定義)함으로써 완전히 추상적으로 이론을 전개해 나가는 대수학이다. 방정식의 해법(解法)에서 출발하였다.
즉, 군(群)·환(環)·체(體) 등의 개념을 총칭하여 대수계(代數系)라고 하는데, 추상대수학에서는 각각의 공리(公理)로부터 출발하여 이들 대수계의 이론을 다룬다. 방정식의 해법(解法)에서 출발하여 N.H.아벨, E.갈루아, E.슈타이니츠 등이 크게 공헌하였고 또한 A.E.뇌터 등에 의해서 그 기초가 구축되었다. 체덧셈·곱셈의 두 종류의 연산을 정의하고, 다음의 조건을 만족시키는 집합 K를 체라고 한다. ① K는 가군(加群:덧셈에 관하여 군)이다. ② 0 이외의 원소는 곱셈에 관해 군이다. ③ a,b,c를 K의 원소라고 하면 다음 분배법칙이 성립된다. (a+b)c=ac+bc, a(b+c)=ab+ac 체(體)는 곱셈에 관하여 가환이다. 가환환인 나눗셈환을 체로 정의하기 때문이다. 가환환이 아닌 나눗셈환은 사체(斜體)라고 한다. 유리수 전체, 실수 전체, 복소수 전체는 사칙연산에 관해서 가환이며 체를 이룬다. 또한, a,b,c를 실수라 하고, i,j,k에 관해서 i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j 로 정의할 때, α=a+bi+cj+dk 전체는 사체가 된다. 이것을 4원수체(四元數體)라고도 한다. 환덧셈·곱셈이 정의되고 다음 조건을 만족시키는 집합 R를 환이라고 한다.① R는 가군이다. ② 곱셈에 관해서는 결합법칙 (ab)c=a(bc)가 성립된다. ③ 덧셈·곱셈 사이에 분배법칙이 성립된다. 정수(整數) 전체는 덧셈·곱셈에 관해서 환을 이룬다. 짝수 전체, 3의 배수 전체 등도 보통의 덧셈·곱셈에 의해서 환이 되나 곱셈에 관해서는 단위원소(單位元素)는 존재하지 않는다. a≠0, b≠0을 R의 원소라 하고, ab=0이 될 때 a,b를 각각 좌영인자(左零因子)·우영인자라고 한다. 영인자를 가지지 않은 환을 정역(整域)이라고 한다. 체는 환이며, 또한 영인자를 가지지 않으므로 정역이다. 또 환에 관해서도 이데알이나 다원환(多元環) 등의 이론도 연구되어 있다.
해석학 [analysis, 解析學]
관련과학자: 유독스 (Eudoxus), 아르키메테스 (Archimedes), 뉴튼, 라이프니츠, 테일러 (Brook Taylor), 드 므와브르 (A. De Moivre), 오일러 (Leonhard Euler), 가우스 (C. F. Gauss), 코시 (A. L. Cauchy), 푸리에 (J. B. J. Fourier), 디리킬레 (P. G. L. Dirichlet), 리만 (B. Riemann), 로빈슨 (Abraham Robinson), 맥로린 (Colin MacLaurin), 베르누이가 (Bernouillis), 요한 (Johann), 자곱 (Jacob), 오피탈 (G. de l'Hospital), 바리뇽 (P. Varignon), 리카디 (J. Riccati), 르벡 (H. Lebesque), 덴조이 (A. Denjoy), 스티엘체 (T. Stieltjes), 칸토르 (G. Cantor), 디드킨트 (R. Dedekind), 리츠 (F. Riesz), 조르단 (C. Jordan), 피아노 (G. Peano), 디니 (U. Dini), 라돈 (J, Radon), 발레-푸셍 (C. de la Vallée-Poussin), 후레셰 (R. M. Fréchet), 킨친 (A. J. Kintchine), 페론 (P. Perron), 루신 (N. Lusin), 어핀스키 (W. Sierpinski,), 프엥카레 (H. Poincaré), 피카르 (E. Picard), 펭르베 (P. Painlevé), 라그랑즈 (J. L. Lagrange), 볼트라 (V. Volterra), 하다마르 (J. Hadamard), 레비 (P. Lévy)
수학에서 무한과 무한소를 미적분과 같은 계산에서 다양한 형식으로 발전시킨 것을 말한다. 해석학의 뿌리는 고대로 거슬러 올라갈 수 있다. 유독스(Eudoxus, 기원전 400-347년경)는 무한 소멸법(실진법((悉盡法)=착출법, method of exhaustion)을 만들었는데, 이 방법은 아르키메테스(Archimedes, 기원전 287-212년경)가 발전을 시켰고, 아르키메테스는 포물선과 같은 곡선형의 면적등의 계산법을 발견하였고, 나선의 접선을 구하였다.17세기는 현대 해석학의 초기 모습이 나타나기 시작한다. 뉴튼(1642-1727) 과 라이프니츠(1646-1716) 에 의해서, 동시에 그리고 독립적으로 발견된 미적분은 해석학적인 측면에서 빠른 발전을 하였다. 영국인으로서 뉴튼의 유율법(Method of fluxions)을 선호했던 테일러(Brook Taylor, 1685-1727)는 테일러 급수를 도입하였고, 멱급수(power series) 형태로 이 함수를 연구하였다. 드 므와브르(A. De Moivre, 1667-1754)는 프랑스의 신교도로서 영국에 망명하여 삼각함수를 연구하였고, 다음의 식으로 유명하다:
(cos x + i sin x)m = cos mx + i sin mx
맥로린(Colin MacLaurin, 1698-1746)은 유율법 처리(Treatise on Fluxions, 1742)에서 뉴턴의 업적을 일반화하고 확장하였으며, 급수의 수렴과 발산에 특별한 관심을 보였다. 유럽 대륙에서는 베르누이가(Bernouillis 家) 중에서, 요한(Johann, 1667-1748)과 자곱(Jacob, 1654-1705)이 처음으로 라이프니츠의 미적분을 응용하기 시작하였다. 오피탈(G. de l'Hospital, 1661-1704)공작은 ‘무한소 해석(L' Analyse des infiniment petits, 1696)’ 이라는 새로운 형식의 교재를 만들었다. 바리뇽(P. Varignon, 1654-1722)과 리카디(J. Riccati, 1676-1754)는 이런 방식의 해석을 선호 하였다.사실상 18세기 수학의 성공은 해석 기하와 무한소법에 의한 미적분법의 성공적인 발전에 기인한다고 볼 수 있다. 여기에는 함수와 연속성의 개념이 새롭게 부각되기 시작하였다. 18세기와 19세기 해석학의 역사는 이런 개념들에 대한 정의와 명료한 해석의 역사라고 볼 수 있고, 새로운 기법, 심오한 결과와 높은 차원의 엄밀성이 나타났다.1748년에 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)는 2권으로 된 무한해석입문(Introductio in analysin infinitorum)을 출간했는데, 곡선 대신에 함수가 중심적인 역할을 한 첫 번째 저서라고 볼 수 있다. 함수에 대해서 오일러의 처음에 내린 정의는 해석식에 제한이 되었었는데, 해석식들(analytical expressions)이란 대수식과 방정식을 의미했다.
오일러는 미적분학 강론(Institutiones calculi differentialis, 1755)에서 현대적인 의미로서 함수를 정의하는데, 함수란 임의로 어떠한 변수(variables)를 취하든 간에 하나의 함수 값이 정해져야 한다는 것이다.의심할 여지없이 18세기에 해석학 발전에 가장 큰 동기를 준 것은 수리물리학에서 이었고, 유한 급수법은 현의 진동 문제 해결에 응용되었다[음향학, 물리의 수학화]. 여기서 함수의 현대적인 개념, 연속성과 기초론에 대한 비판적인 문제들이 제기 되었다.1812년 가우스(C. F. Gauss, 1777-1855)는 삼각급수의 수렴성을 연구 하였다. 그러나 엄밀성을 바탕으로 한 수학적 증명의 가장 큰 공헌은 코시(A. L. Cauchy, 1789-1857)의 해석학 강의(Cours d'Analyse, 1821)에서 볼 수 있다. 코시는 미적분의 변화에 가장 큰 공헌을 했는데, 코시의 적분에서는 확장된 개념의 극한에 기초한다고 볼 수 있고, 합(sums)에 대한 극한의 적용으로서 정적분에 대한 새로운 개념은 불연속적인 함수까지도 응용 할 수 있게 되었다.
게다가 푸리에(J. B. J. Fourier, 1768-1830)는 열에 대한 중요 업적을 남겼는데, 그는 임의로 주어진 불연속적인 함수는 삼각급수로 나타낼 수 있음을 증명하였다. 이것은 코시가 연속성의 정의를 새롭게 내리도록 도왔으며, 해석학의 역사에서 한 전환점을 이루는 계기가 되었다. 1년 후 푸리에는 열 해석 이론(Théorie analytique de la chaleur)를 출간하였다. 이 책에서 푸리에는 해석학상에 있어서 불연속함수의 도입을 분명히 할 것을 주장하고, 삼각함수의 일반 이론을 만들어 냄으로서 함수의 개념은 일반적인 형식을 취하게 되었다. 디리킬레(P. G. L. Dirichlet, 1805-1859)는 삼각급수를 연구하면서, 정의역 어느 곳에서나 불연속적인 함수를 정의 하였다.리만(B. Riemann, 1826-1866)은 이것을 한 단계 더 발전시켜 나갔다. 1850년 리만은 코시의 적분 개념을 일반화 했는데, 모든 족(classes)의 불연속함수까지도 망라하여, 무한히 많은 진동과 불연속을 함수로 여기게 되었다. 리만은 또한 미분 가능한 연속함수의 실 예를 소개하였다. 결국 새로운 세대의 적분은 르벡(H. Lebesque, 1875-1941), 덴조이(A. Denjoy, 1884-1974), 스티엘체(T. Stieltjes, 1856-1894)등에 의해서 이루어 졌다.리만은 도함수 없이 연속함수의 존재성을 발견한 바 있는데, 이것은 직관성의 불충분함을 보여 줌으로서 이 역시 해석학상의 엄밀성을 필요로 하게 되었다. 바이어스트라스는 기하학이나 운동의 도움 없이, 극한의 개념을 이용해서 이 연구를 하였는데, (epsilon-delta)식 접근 방법을 통하여 극한을 실수(real numbers) 만을 포함하는 식으로 환원시켰다. 바이어스트라스의 목적은 해석학을 산술화(arithmetize)함으로서 수학의 한 분과로 독립시키는 것이 목적이었다.코시-바이어스트라스의 미적분에 대한 산술화적 접근은 연속성과 극한의 문제가 실수의 연속체(continum)와 밀접히 관련되어 있음을 보여 주었고 이 문제를 칸토르(G. Cantor, 1845-1918)와 디드킨트(R. Dedekind, 1831-1916)가 상세히 연구하였다. 칸토르(G. Cantor, 1845-1918)의 초기 연구는 실수론에서 공식을 찾는 것 이였는데 이것은 유리수의 기본열(基本列)에 기초하고 있다.
칸토르는 실수란 더 이상 조갤 수 없는 수라는 것을 발견했는데, 결국 초월 집합론을 만들게 되었다. 집합 이론은 계속 발전이 되었고 20세기 해석학 혁명의 기초가 되었다.20세기에 들어서서 가장 중요한 진보는 프랑스 학파에 의해서 이루어 졌다. 르베크는 측도론을 만들었고, 덴조이(Denjoy)이론처럼 보편타당한 이론으로서 적분 과정(totalization)을 취함으로서 가장 보편타당한 수준에서 적분의 연구를 발전시켰다. 집합론에 각별한 주의를 기울여서 공헌한 사람을 열거한다면 다음과 같다: 리츠(F. Riesz, 1880-1956), 조르단(C. Jordan, 1838-1922), 피아노(G. Peano, 1858-1932), 디니(U. Dini, 1845-1918), 라돈(J, Radon, 1881-1956), 발레-푸셍(C. de la Vallée-Poussin, 1866-1962), 후레셰(R. M. Fréchet, 1878-1973), 킨친(A. J. Kintchine, 약1894-1959), 페론(P. Perron, 1880경). 루신(N. Lusin, 1883-1950), 시어핀스키(W. Sierpinski, 1892-1969)등이다. 현대 해석학에서는 미분방정식에도 큰 관심을 보였는데 프엥카레(H. Poincaré, 피카르(E. Picard, 1856-1941), 펭르베(P. Painlevé, 1863-1933)등이 있다. 함수 해석에서 살펴본다면, 라그랑즈(J. L. Lagrange, 1736-1813)는 처음으로 변분법을 만들었고, 볼트라(V. Volterra, 1860-1940), 하다마르(J. Hadamard, 1865-1963), 레비(P. Lévy, 1886-1971)등이 실질적으로 함수 해석의 발전에 공헌한 사람들이다.
해석학의 중요 논제는 다음과 같은 것 들이 있다: 조화해석(harmonic analysis), 함수족(families of functions), 적분방정식, 발산과 점근 급수, 총합가능성(summability), 복소 변수의 함수 연구상 확장된 영역, 해석과 준해석 함수론. 프랑스의 부르바키(Bourbaki)그룹 수학자들의 뛰어난 공헌은 “단순에서 복잡으로, 일반에서 특수로‘ 전개시키는, 이른바 수학의 관점을 정돈된 구조의 계급으로서 보려고 했다는 것이다. 부르바키학파는 20세기에 힐버트(David Hilbert, 1862-1943)와 같은 정신으로 수학의 통합을 시도한 바 있는데, 구조, 관계와 공리등으로 해석학에서 고도의 추상성을 기초로 삼았으며, 사실상 해석학 뿐 만이 아니라 수학의 전 분야[현대논리]에도 같은 방식을 취했다.그 후의 해석학은 비표준해석학의 접근을 시도함으로서 심화 이론으로 발전이 되었고, 로빈슨(Abraham Robinson, 1918-1974)이 주로 만들었으며, 무한소가 엄밀히 정의되고 미적분학의 발전에 극한 대신에 교대기저(alternative basis)가 사용되었다.
응용수학[applied mathematics, 應用數學]
요약: 자연과학·사회과학의 각 분야에서 이용되는 수학의 모든 분과의 총칭으로 응용수학에 대한 분야가 정해져 있는 것이 아니고, 보통 자연과학·사회과학에의 응용의 색채가 강한 부문을 모아서 말하는 것이므로 시대에 따라서도 일정하지 않다.
응용수학으로서는 오차론·최소제곱법·보간법·수치계산법·도식계산법 등이 있다. 이 외에 수학기초론·기호논리학, 각종 추상해석학이나 기하학 등도 응용 분야에 포함되게 되었다. 응용수학에 대한 분야가 정해져 있는 것이 아니고, 보통 자연과학·사회과학에의 응용의 색채가 강한 부문을 모아서 말하는 것이므로 시대에 따라서도 일정하지 않다.
이를테면, 확률론이나 통계론 등도 응용수학에 포함시킨 때도 있었으나, 지금은 독립된 분야로 보는 것이 보통이며, 넓은 뜻으로의 응용수학의 분야에 포함시키고 있을 정도이다. 하여튼 응용수학의 뚜렷한 특징의 하나는 수치계산까지 해낼 수 있도록 추론해 가는 것이고, 특히 수치계산을 주(主) 대상으로 하는 수학을 실용수학(實用數學)이라고 할 때도 있다. 이와 같이 응용수학은 실용수학을 포함하는 광범위한 것으로, 근래 과학의 발전과 더불어 거의 수학 전반의 이론이 응용되고 있으므로 응용수학과 일반적인 수학과의 구별은 점차 사라지고 있는 실정이다.
산수[算數, arithmetic]
수학교육의 내용 중 초등학교 수준의 내용으로서 기초적인 셈법을 가르치는 학과목. 정수·분수·소수 및 양에 관한 모든 관계를 계산을 중심으로 가르치는 수학교육의 한 부분으로서, 산수는 일상생활을 영위하는 데 필요한 계산을 정확하고 빠르게 하며 이를 생활에 적용하는 기능과 태도를 기르기 위한 것이다. 단순한 계산능력을 습득함은 물론 합리적인 생활능력을 키우는 데 공헌할 수 있는 교과로서, 대통령령 제14537호(1995. 3. 1)에 따라 1995년 수학으로 명칭이 변경되었다