[acoustic] 정상파 standing wave

[Brian Lee]

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정상파

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학습목표 ㅇ 정상파를 설명할 수 있다.

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정상파

진폭과 진동수가 같은 두 파동이 서로 반대방향으로 진행하여 중첩되어 나타나는 모습을 보면 마치 파동이 이동하지 않고 제자리에서 진동하는 것처럼 보인다. 중첩된 이러한 파동을 정상파라고 한다. 정상파를 보면 진동하지 않는 점(이 점들을 마디라고 한다.)들이 있는 가 하면 진폭이 두배가 되는 점(이 점들을 배라고 한다.)들이 있다.

파동이 다른 매질을 만났을 때 그 경계면에서 반사율이 좋으면(반사파의 진폭이 입사파의 진폭과 거의 같으면 ) 입사파와 반사파가 중첩되어 정상파가 생긴다. 　 이 때 경계면이 고정단이면 그 경계면에서 입사파와 반사파의 위상이 서로 반대(또는 180도)가 된다. 즉,중첩의 원리에 의 경계면에서입사파와 반사파는 상쇄되어 그 곳에서는 정상파의 마디가 생긴다.

그러나 경계면이 자유단이라고 하면 입사파와 반사파의 위상이 같아 중첩될 때 진폭이 두배가 되어 진동하게 된다. 즉 경계면에서는 정상파의 배가 생기게 되는 것이다.

현의 진동

기타, 바이올린,피아노등은 양쪽을 고정시킨 줄을 진동시켜 줄에서 생기는 정상파를 이용한 것입니다. 즉 줄에서 생긴 정상파들이 파원으로 소리를 만들어내는 것이다. 그러면 양쪽이 고정된 줄에서 생길 수 있는정상파는 어떤 것이 있을 까?

줄의 양끝은 고정단이므로 양끝에서는 정상파의 마디가 생겨야 한다. 그러한 경우는 줄의 길이가 반파장의 정수배가 되는 파동뿐이다.

공기 기둥의 진동

섹스폰,트럼펫과 같은 관악기 등은 공기 기둥을 진동시켜 공기 기둥에서생기는 정상파를 이용한 것입니다. 그러면 양 쪽이 열린 관과 한 쪽만 열린 관속에 있는 공기 기둥에서 생길수 있는 정상파는 어떤 것이 있는가? 　　

관이 열린 쪽은 자유단으로 배가 생겨야 하고 닫힌 쪽은 고정단으로 마디가 생겨야 한다. 따라서 한 쪽만 열린관은 반파장의 정수배에 파장/4을 더한 경우만 생길 수 있으며 양쪽이 열린 관에서는 반파장의 정수배인 경우만 정상파를 만들 수 있다.

기주의 공명

진동수 f인 파동(종파 혹은 횡파)의 공기 중에서의 파장을 λ라 하고, 이 파동이 공기 중에서 전파하는 속도를 v라 할 때, 다음 관계식이 만족된다.

v = fλ------------------------------ (1)
진동수가 알려진 소리굽쇠를 진동시켜 한쪽 끝이 막힌 유리관 속에 들어 있는 기주를 진동시키면, 기주 속에는 방향이 반대인 두 개의 파가 진행하면서 현의 진동 때와 같은 정상파가 생긴다.
이 때, 기주의 길이가 어느 적당한 값을 가질 때 두 파의 간섭으로 공명이 일어나게 된다.
따라서, 소리굽쇠가 공기중에서 발생하는 음의 파장 λ는
λ = 2 (y_n+1 - y_n) ---------------------- (2)
이다. 식 (1)에 식 (2)를 대입하면
v = 2 f(y_n+1 - y_n) ---------------------- (3)
이 된다. 여기서 y₀, y₁, y₂, ……, y_n 들은 유리관 내의 공명 위치를 나타낸다. 관 끝에서 첫 번째 공명 위치 y₀까지의 길이는 λ/4에 가까우나 실제는 이 값보다 조금 작다.

이는 첫 번째 정상파의 배가 관의 모양, 크기 등에 따라서 관끝보다 조금 위쪽에 위치한다는 것을 의미하며, 원주형의 관인 경우에는 관끝에서부터 배까지의 거리 δ와 관의 내반경 r과의 비(끝 보정), 즉 δ/r는 약 0.55 ∼ 0.85이다.

공기중의 또는 어떤 기체중의 음속은 다음 식에 의하여 매질의 물리적 성질에 관계된다.

여기서 압력 P와 밀도 d는 절대단위이고, k는 정압비열 대 정적비열의 비인 상수이다(공기에 대해 k = 1.403이다).

P가 dyne/cm², d가 g/cm³일 때 v는 cm/sec이다. 기체의 밀도는 온도의 상승에 따라 감소하므로 온도가 높아질수록 음속이 커지는 것은 명백하다.

기체의 팽창법칙을 적용하면 다음과 같이 된다.

여기서 v_T는 온도 T℃에서의 음속, v₀는 0℃에서의 음속, α는 기체의 팽창계수로서 ¹/₂₇₃ 이다.

물음 10. 길이 12cm의 줄에 그림과 같은 정상파가 형성되었다. 이 정상파의 파장은 몇 cm인가?

정답	① 6cm ② 8cm ③ 12cm ④ 24cm