상대성 이론 E=MC2

[白山 김기수]

특수상대성이론에 의하면 물체의 길이는 이 물체에 대하여 정지해 있는 관성계에서 측정한 값보다 일정한 속도로 달리고 있는 관성계에서 측정한 값이 작다. 다시 말해 물체가 정지해 있을 때보다 달리면 길이가 짧아진다. 이러한 사실을 처음 제안한 사람은 아인슈타인이 아니라 네덜란드의 물리학자 로렌츠(Hendrik Antoon Lorentz, 1853~1928)였다.

1895년 로렌츠는 빛의 속도가 관측자의 상대속도와 관계없이 항상 일정한 값으로 측정된다는 마이컬슨과 몰리의 실험결과를 설명하기 위해 물체가 달리면 달리는 방향으로 길이가 줄어들기 때문이라고 설명했다. 아일랜드의 피츠제랄드(George Francis FitzGerald, 1851~1901)도 같은 주장을 했기 때문에 이것을 로렌츠-피츠제랄드의 수축이라고 부른다. 로렌츠는 서로 다른 관성계에서 전자기학의 법칙이 같은 형식으로 나타내지기 위해서는 관성계마다 다른 시간을 사용해야 한다고 생각하고 1899년 시간의 변환식을 길이의 변환식에 덧붙이고, 이것을 로렌츠 변환식이라고 부르게 되었다.    아인슈타인은 로렌츠의 수축이 단순히 길이가 줄어드는 것을 나타내는 것이 아니라 우리가 살고 있는 시공간의 특성과 관계된 좀 더 근본적인 성질을 나타내는 것으로 파악했다. 그는 상대적으로 운동하는 두 관성계에서 측정한 물리량을 상호 변환하는데 로렌츠의 변환식을 이용했다. 따라서 로렌츠 변환식은 특수상대성이론의 핵심적인 식이 되었다. 로렌츠 변환식을 이용하면 물체에 대하여 정지한 관측자가 측정한 길이, L0와 등속도로 운동하는 관측자가 측정한 길이, L사이에는 다음의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

네덜란드의 물리학자 로렌츠(Hendrik Antoon Lorentz, 1853~1928)

모든 속도는 빛의 속도보다 빠를 수 없으므로 근호 안의 값은 1보다 작다. 따라서 달리면서 측정한 길이는 정지해서 측정한 길이보다 짧아진다. 이것은 로렌츠가 예측했던 것과 같은 결과이다.

하늘에서 가장 밝은 별인 시리우스까지의 거리는 약 8.6광년이다. 그러나 이것은 우리가 지구에서 측정한 값이다. 만약 빛의 속도의 90%나 되는 빠른 속도로 달리는 로켓에 타고 달리는 사람에게는 이 거리가 약 3.75 광년으로 측정된다. 질량을 가진 물체는 빛의 속도로 달릴 수 없지만 만약 빛의 속도로 달리는 로켓이 발명된다면 그런 로켓을 타고 달리는 사람에게는 시리우스까지의 거리가 0으로 관측될 것이다. 무협소설에는 자주 축지법이 등장한다. 축지법을 사용하면 아주 먼 거리를 잠시 동안에 달려갈 수 있다. 축지법을 하기 위해서는 빨리 달려야 한다. 그러나 빨리 달리는 것은 축지법이 아니다. 축지법은 땅의 거리를 줄어들게 하는 방법이다. 축지법이라는 이름을 지은 사람은 빨리 달리면 거리가 줄어든다는 것을 이미 알고 있었던 것은 아닐까?

광속의 60%로 움직이는 무빙워크 위를 광속의 50%로 걸어가면, 그 속도는 광속의 약 85%!

움직이고 있는 무빙워크(수평에스컬레이터) 위에서 걸어가는 사람을 옆에서 보면 아주 빨리 가는 것처럼 보인다. 무빙워크의 속도에 사람이 걷는 속도가 합해졌기 때문이다. 아인슈타인의 상대성이론이 등장하기 전에는 무빙워크의 속도와 사람의 속도를 합한 것이 옆에서 측정한 사람의 속도라고 생각했다. 그러나 그렇게 되면 문제가 생긴다. 만약 무빙워크의 속도가 빛의 속도의 60%인 0.6c이고 사람의 속도가 빛의 속도의 50%인 0.5c라면 두 속도를 합하면 1.1c가 되어 빛의 속도보다 빠르게 된다. 그러나 상대성이론에 의하면 모든 속도는 빛보다 빠를 수 없다. 즉, 이런 단순한 더하기는 광속에 가까운 빠른 속도에서는 맞지 않는 것이다. 따라서 새로운 속도 더하기가 필요하다. 새로운 속도 더하기 역시 로렌츠 변환식으로부터 쉽게 유도할 수 있다. 새로운 속도 더하기에 의하면 무빙워크의 속도를 v라고 하고 에스컬레이터 위를 걷고 있는 사람의 속도를 u 라고 할 때, 옆에서 관찰하는 사람은 이 사람의 속도를 다음과 같이 관찰한다.

따라서 무빙워크의 속도가 0.6c이고 사람의 속도가 0.5c인 경우 이 식에 대입하여 계산하면 약 0.846c가 되어 빛의 속도보다 느린 것으로 관측된다. 심지어는 에스컬레이터의 속도가 빛의 속도와 같고, 사람의 속도가 빛의 속도와 같은 경우에도 두 속도를 합한 값은 빛의 속도가 될 뿐이다. 위 식의 v= c(광속)이고 u= c(광속)이라고 놓고 계산해보자. 그 결과는 c이다!

물체에 힘을 가하면 가속도가 생긴다. 다시 말해 속도가 빨라진다. 힘을 가하고 있는 동안에는 속도가 계속 증가하다가 힘을 더 이상 가해주지 않으면 같은 그 때부터는 같은 속도로 운동하게 된다. 이것이 뉴턴의 운동법칙의 핵심내용이다. 따라서 뉴턴역학에 의하면 아주 오랫동안 힘을 계속 가하고 있으면 물체의 속도는 빛의 속도보다 빨라져야 한다. 이 때 물체의 질량은 변하지 않는다.

물체에 힘을 가하여 물체의 속도가 빨라진 경우 우리는 물체에 에너지를 전해주어 물체의 운동에너지가 증가했다고 말한다. 물체에 힘을 가하는 동안 에너지가 물체로 이동했고 운동에너지라는 다른 형태의 에너지로 변한 것이다. 에너지는 이렇게 한 물체에서 다른 물체로 옮겨갈 수 있고, 형태를 바꿀 수도 있다. 그러나 에너지의 총량은 항상 일정해야 한다. 이것이 에너지보존법칙이다. 에너지 보존법칙은 운동량 보존법칙과 마찬가지로 가장 기본적인 자연법칙 중의 하나이다.

물체에 에너지를 가하면 물체의 운동에너지가 증가하는데, 아무리 많은 에너지를 전해 주어도 물체의 속도는 빛의 속도보다 빠를 수 없다는 것은 말이 안 된다. 아무리 많은 에너지를 가해주어도 결코 빛의 속도보다 빨라질 수 없다면 물체에 가해준 에너지는 어디로 간 것일까? 물체의 운동에너지는 ½mv² 이라는 식으로 나타내진다. 따라서 운동에너지가 커지는 방법은 두 가지가 있다. 하나는 속도가 빨라지는 것이고 하나는 질량이 증가하는 것이다. 뉴턴 역학에서는 질량은 변하지 않는 양이라고 생각했기 때문에 운동에너지가 증가하려면 속도가 계속 빨라져야 한다고 생각했던 것이다. 그러나 이제 질량이 속도에 따라 증가한다고 하면 운동에너지가 아무리 증가하더라도 물체의 속도는 빛의 속도보다 빠르지 않아도 된다.

다시 말해 물체에 가해 준 에너지의 일부는 물체의 속도를 증가시키는데 사용되고 일부는 질량을 증가시키는데 사용되는 것이다. 속도가 느린 경우에는 대부분의 에너지가 속도를 증가시키는데 사용되지만 속도가 빨라지면 거의 모든 에너지가 질량을 증가시키는데 사용된다. 그렇게 되면 속도가 빛의 속도 가까이 다가가면 물체의 질량은 무한대로 다가간다. 그것은 물체의 속도를 증가시키는데 무한대의 에너지가 필요하다는 것을 나타낸다. 따라서 아무리 많은 에너지를 가해주어도 빛의 속도보다 빨라지지는 않는다. 그것은 에너지가 질량으로 변할 수 있다는 것을 나타낸다. 만약 에너지가 질량으로 변할 수 있다면 질량이 에너지로 변하는 것이 가능하지 않을 이유도 없다. 그렇다면 에너지와 질량 사이의 관계는 어떻게 될까? 가장 중요한 역학 법칙 중의 하나가 운동량 보존법칙이다. 두 물체가 충돌하는 과정을 두 다른 관성계에서 관측한 충돌하는 물체들의 속도와 질량은 다를 수 있다. 그러나 충돌 전후의 운동량이 보존되어야 한다는 운동량 보존법칙은 똑같이 성립해야 한다. 두 다른 관성계에서 측정한 운동량이 보존되기 위해서는 질량이 속도에 따라 다음 식과 같이 변해야 한다.

속도가 빛의 속도에 가까워지면 질량은 급격히 증가하게 된다.

m₀는 정지한 관성계에서 측정한 질량이고, m은 상대적으로 v의 속도로 운동하고 있는 관성계에서 측정한 질량이다. 속도가 빛의 속도에 비해서 아주 느린 보통의 경우에는 근호 속의 값이 거의 1이 되어 질량은 거의 같은 값으로 측정된다. 그러나 속도가 빛에 속도에 다가가면 질량이 크게 증가하게 된다. 질량이 증가하는 것은 에너지가 질량으로 변하기 때문이다. 조금 복잡한 계산을 하면 운동량 보존법칙과 에너지 보존 법칙을 성립시키기 위해서는 에너지와 질량 사이에 다음과 같은 관계식이 성립해야 한다는 것을 알 수 있다.

이것은 물리 법칙 중에서 가장 널리 알려진 식이다. 이 식을 아인슈타인의 특수상대성 원리라고 생각하고 있는 사람들도 많다. 아주 틀린 것은 아니다. 이 식도 특수상대성이론의 결과 중 하나이기 때문이다. 이 식은 원자핵 폭탄과 원자력 발전의 이론적 기초가 되었고, 태양과 같은 별들이 어떻게 많은 에너지를 계속 낼 수 있는지를 설명할 수 있게 해 주었다. 이 식으로 인해 우리는 이제 에너지와 물질을 예전과는 다른 방법으로 이해하게 되었다.