브룅3권9장A: 미분소 계산의 발견: 고대 [주석과 인명]

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장 플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A. 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

[1절] 모방과 참여 Imitation et Participation 43 §24

[2절] 무리수들의 발견물 La découverte des irrationnelles 45 §25 §26

단원 B. 플라톤주의 방법 La méthode platonicienne 49

[3절] 분석적 역진 [소급] La régression analytique 49. §27 §28

[4절] 종합적 변증법 La dialiectique synthétique. 55 §29 §30, §31, §32, §33,

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편 Les livres M et N de Metaphysique 61 §34,

[5절] 이상적 수들, Les nombres idéaux 63 §35, §36,

[6절] 이상적 큼들 Les grandeurs idéales 66 §37,

[7절] 플라톤 이후 플라톤주의 Le platonisme après Platon §38, §39,

제5장 형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

[1절] 아리스토텔레스와 플라톤 변증법의 비판 Aristote et critique de la dialectique platomocienne 71 §40,

[2절] 논리학의 생물학적 기원 Origine biologique de la logique 72 §41, §42,

[3절] 삼단논법의 기본적 전형들 Type élémentaires du syllogisme 75 §43, §44, §45, §46, §47, §48,

제6장 유클리드 기하학 La Géométrie euclidenne 84 §49, §50,

[1절] 유클리드의 정의들 Les definitions d’Euclide 86 §51,

[2절] 공리들 Les axomes 87 §52,

[3절] 전제들 Les postulats 89 §53, §54,

[4절] 󰡔원론들󰡕의 철학적 범위 La portée philosophique des 󰡔Eléments󰡕 93 §55, §56, §57,

제7장 분석 기하학 La Géométrie analytique 99 §58,

단원 A. 페르마 Fermat 100

[1절] “입문: 평면과 입체 장소에 대한” 󰡔Isagoge ad locos planos et solidos󰡕("Pour les lieux plans et solides"). (평면과 고체[입체]의 장소에 관한 입문) 100 §59,

[2절] 󰡔Isagoge󰡕(입문)의 기원들 101 §60, §61, §62, §63, §64,

단원 B. 데카르트의 보편수학과 물리학 La mathématique universelle de Descartes et la Physique 105

[3절] 보편 수학의 관념 L’idée de la mathématique univerelle 105 §65, §66,

[4절] 󰡔규칙들󰡕 속에서 공간의 잡다한 기능들 - Les diverses fonctions de l’espace dans les “Regulae” 107 - §67, §68, §69, §70 ,

단원 C. 1637년의 󰡔기하학󰡕 La Géométrie de 1637 113

[5절] 󰡔규칙들󰡕과 󰡔기하학󰡕 Les “Regulae” et la “Géometrie” 113 §71, §72,

[6절] 데카르트의 분석 L’analyse cartésienne 116 §73, §74, §75,

[7절] 데카르트 기하학의 범위 La portée de la géométrie cartésienne 119 §76, §77, §78,

제8장 데카르트학자들의 수학적 철학 La Philosophie mathématique des cartésiens 124

단원 A. 데카르트 주의의 문제들 Les problemes du cartésienisme 124

[1절] 데카르트 작품 속에서 󰡔기하학󰡕의 위치 La place de la “Geométrie” dans l’oeuvre de Descartes, 124 §79,

[2절] 󰡔기하학󰡕의 주석가들 Les commentateurs de la “Geométrie” 126

§80, 데카르트 계승자들은 주로 󰡔기하학󰡕에서 모자라는 부분을 보충하려 한다.

[3절] 데카르트주의의 난점들 Les difficultés philosophiques du cartésianisme

§81, 수학사의 역사가들, 역학의 역사가들, 형이상학의 역사가들: 이 셋째 역사가들은 사유하는 존재와 연관을 생각할 것이다. 이들은 욕구들(appétition)과 정념(passions)의 내부운동, 관념들에 의해 생산된 인상들(les impression), 기억 속에서 관념들의 잔여정체(停滯)(rétention, 정체[크리스탈]) 즉 흔적(l’empreinte, [추억들])

§82, 말브랑쉬와 스피노자는 l’équation personnelle(인간적 방정식, [도덕형이상학])에 관심을 갖는다.

단원 B. 말브랑쉬의 수학적 철학 La philosophie mathématique de Malebrache 130

[4절] 세는 수들과 지성적 길이 Les nombres nombrants et l’étendue intelligible 130, §83,

[5절] 대수학의 세기 La période de l’algèbre 133 §84, §85,

[6절] 알 수 있는 길이와 실재적 길이 L‘étendue intelligoble et l’étendue réelle 134. §86.

[7절] 말브랑쉬의 이원론 Le dualisme de Maleberanche 136 §87.

단원 C. 스피노자의 수학적 철학 La philosophie mathématique de Spinoza 130

[8절] 스피노자의 직관과 데카르트의 직관 L’intution spinoziste et l’intution cartésienne 138 §88, §89,

[9절] 진리에 대한 스피노자의 개념작업 La conception spinoziste de la vérité 141 §90,

[10절] 기계주의에서 수학주의로 이행 Le passage du mécanisme au mathématisme 143 §91, §92,

[11절] 스피노자의 일원론 Le monisme de Spinoza 146 §93,

[12절] 스피노자주의의 기술적 한계 (La limitation technique du spinozisme) 148 §94,

제3권 미분소 분석 Analyse infinitésimale 153

제9장 미분소 계산의 발견 La découverte du calcul infinitésimal 153

단원 A. 고대 L’antiquité 153

   1절 엘레아학파의 제논과 아리스토텔레스 Zénon d’Elée et Aristote 153 §95, §96

  [과학과 달리, 참여(나눔)을 다룸에서 형이상학의 사변들에서는 내용과 무한의 잠재성이 보존되어 있다. - 형이상학이 아리스토텔레스의 자연학(항목)에서 뿐만 아니라, 수학의 분할에서도 산술학(수)과 기하학(점)에서 달리 분화하였다. 데모크리토스의 원자는 항목의 규정보다 수의 규정에 가깝다. 그러나 형이상학에서 자연의 기원과 근원에 스토아학파가 생각했던 세계 영혼(프쉬케)의 이미지가 있다. 수, 점, 원자(항목)은 자연을 외적으로 다루는데 비해 자연의 내적으로 다루는 것은 프쉬케(아니마, 에스프리, 망딸, affect)로 이어질 것이다. (58UMA)]

   [2절] 아르키메데스 Archimède 156 § 97 § 98

 단원 B. 나눌 수 없는 것들의 기하학과 라이프니츠의 연산법. La géométrie des indivisibles et l’algorithme leibnizien 163

   [3절] 비에뜨 와 케플러 Viète et Kepler 160 § 99

   [4절] 카발리에리 Cavalieri 162 §100, §101

  [5절] 파스칼 Pascal. 167. §102 §103

  [6절] 라이프니츠의 발견 La découverte leibnizienne 171 §104. §105.

 단원 C. 페르마로부터 뉴턴으로. De Fermat à Newton 177

  [7절] 접선들의 위한 방법들 Les Methodes pour les tangentes 177 §106, §107. §108.

  [8절] 무한 급수 Les séries infinies 182 §109, §110, §111,

  [9절] 뉴턴의 분석, L’analyse Newtonienne 188 §112, §113 §114 §115

제10장 라이프니츠의 수학 철학 La philosophie mathematique de Leibniz 197.

단원 A. 토대 Le fondement 197

§116

# 인명록 ***

1869 브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), 프랑스 과학 철학자, 관념론 철학사가. Les étapes de la philosophie mathématique, 1912.

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580 퓌타고라스(Pythagore, Πυθαγόρας, 전580-495, 85 ans) 고대 그리스 철학자. 사모스섬 출생, 이탈리아 남부의 메타폰티온(Métaponte, Μεταπόντιον)에서 세상을 떴다. - 메템프쉬코시스(métempsychose, μετεμψύχωσις) 영혼의 이동, 이전, 윤회 사상을 가졌다.

480 안티폰(Antiphon, Ἀντιφῶν, 전480-410), 연설가, 정신 치료사, 수학에서 원의 사각형화(la quadrature du cercle)의 문제를 다루었다.

490 제논(Zénon d'Élée, Ζήνων, 전490경-430경) 고대 그리스 철학자, 파르메니데스 제자. 파라독사(paradoxes: παράδοξος, « contraire à l'opinion commune ») 또는 아포리아(aporie, ἀπορία, « absence de passage », « difficulté », « embarras »).

460 데모크리토스(Démocrite d'Abdère, Δημόκριτος « choisi par le peuple », 전460-370년) 그리스 철학자. 유물론자, 우주는 원자들과 빈 것으로 되어 있다.

420? 브뤼손(Bryson d'Héraclée, Βρύσων Ἡρακλεώτης, 전5세기후반-전4세기), 고대 그리스 수학자. 원의 사각형화(la quadrature du cercle)를 해결하고자 시도했다. - 전5세기 원의 사각형화: Hippocrate de Chios(전470-410), 안티폰(Antiphon Ἀντιφῶν(전480-410) / 브뤼손(Bryson d’Héraclée, 히피아스(Hippias d'Élis, Ἱππίας. 443-399)

408 에우독소스(Eudoxe de Cnide, Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, 전408–355), 그리스 천문학자, 의사, 철학자. 아르키메데스가 그의 작품을 알렸다.

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕 기원전 335년에 뤼케이온을 설립(플라톤 별세후 13년만에) 알렉산드로스 사후에 아테네의 반마케도니아 운동을 피해, 어머니의 고향인 칼키스(Χαλκίς)로 갔다. 거기서 그의 시신은 마케도니아의 스타게이로스로 옮겨졌다고 한다. - 로도스 섬에서 부흥은 안드로니코스의 아리스토텔레스 편집덕분이라 한다.

287 아르키메데스(Archimède de Syracuse, Ἀρχιμήδης, 전287경-212경), 고대 시실리에서 활동한 라틴 물리학자, 천문학자, 수학자, 기술자.

O

1584 생 벵상(Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667) 플라망드 출신 제수이트, 수학자, 기하학자. 선분의 길이의 로가리즘.

1598 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri, lat. Cavalerius, 1598-1647) 수학자, 기하학자, 천문학자, 피사와 볼로냐 대학 교수. 갈릴레이의 제자이자 서신교환으로 학문적 동료.

1608 토리첼리(Evangelista Torricelli, 1608-1647) 이탈리아 물리학자, 수학자, 기압계(baromètre) 발명. 󰡔Opera Geometrica, 1644󰡕(De dimensione parabolae in Opera geometrica.)

1644 푸셰(Simon Foucher, 1644-1696), 신부, 프랑스 철학자. 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)와 서신교환.

1646 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), 독일 철학자, 수학자, 논리학자, 외교관, 역사가, 사서. 문헌학자. 󰡔Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704󰡕(1765 출판)는 로크의 󰡔Essai sur l'entendement humain, 1689)󰡕에 대한 반박문이다.

1647 벨(Pierre Bayle, 1647–1706), 프랑스 철학자, 작가, 사전편찬자.

1725 몽뛰클라(Jean-Étienne Montucla, 1725-1799), 프랑스 수학자. 󰡔Histoire des mathématiques, 1758󰡕(1758년 2권으로, 1799-1802년에는 4권으로 출판) 여기 인용은 1799판본이다.

1765 라크르와(Sylvestre-François Lacroix, 1765-1843), 프랑스 수학자, 󰡔차이계산과 적분계산(Traité du calcul différentiel et du calcul intégral)󰡕

1790 브란디스(Christian August Brandis, 1790-1867), 독일 언어학자, 철학자. 정치가-상원의원, 프러시아 왕립아카데미 회원. Scholia in Aristotelem (1836)

1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899), 독일 수학자, 라이프니츠 작품들 편집자.

1829 칸토어(Moritz Cantor, 1829–1920), 독일에서 첫 수학사 교수.

1839 조이텐(Hieronymus Georg Zeuthen, 1839–1920), 덴마크 수학자. 코펜하겐 대학 교수. 열거 기하학(the enumerative geometry of conic sections, algebraic surfaces, and history of mathematics.)

1854 하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854-1928, 덴마크 수학사가, 문헌학자. Euclidis Opera omnia, 9 Bände, 1883 bis 1916, mit Heinrich Menge

1855 로젤(Léonce Laugel, Armand Louis Léonce Henri Philippe Auguste Laugel, 1855-1925), 프랑스 수학자, 번역가.

1858 밀오(Samuel Milhaud, Gaston Milhaud, 1858-1918), 프랑스 철학자, 과학사가. 수학자.

1860 레나쉬(Théodore Reinach, 1860-1928) 프랑스 고고학자, 법률학자, 문헌학자. 금석학자, 역사가, 음악학자, 정치가.

1862 힐버트(David Hilbert, 1862-1943) 독일 수학자. 수학의 형식주의자 Grundlagen der Geometrie 1899 (Les fondements de la géométrie)

1870 쇠네(Hermann Schöne, 1870–1942), 독일 고전문헌 학자, 고교 교사. 학위논문: De Aristoxeni Peri tes Herophilu aireseos: libro tertio decimo a Galeno adhibito. Dissertation. Bonn 1893.

1872 마스까르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자.

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아킬레우스(Achille Ἀχιλλεύς) 트롱이 전쟁에서 전설의 영웅. fils de Pélée, roi de Phthie en Thessalie, et de Thétis, une Néréide (nymphe marine). Il est fréquemment appelé « Péléide »[1] ou « Éacide », épithètes qui rappellent son ascendance.

*-*-* 153

153, 주1) Cf. Un traité de géométrie inédit d’Archimède, trad. Th. Reinach, préambule, Rev. Gén. des Sciences, 30 nov. 1907, p. 614.

1860 레나쉬(Théodore Reinach, 1860-1928) 프랑스 고고학자, 법률학자, 문헌학자. 금석학자, 역사가, 음악학자, 정치가.

153, 주2) πρῶτον [λόγος] ὁ περὶ τοῦ μὴ κινεῖσθαι διὰ τὸ πρότερον εἰς τὸ ἥμισυ δεῖν ἀφικνεῖσθαι τὸ φερόμενον ἢ πρὸς τὸ τελός.

Aristote, Physics, VI, 9, 239b 11. tr. fr. « Le premier est celui qui prétend que rien ne se meut, car il faut d'abord que le mobile soit arrivé à la moitié de son parcours avant d'arriver au but ». [제논의 이분법 Zeno's paradoxe]

["πρῶτον ὁ περὶ τοῦ μὴ κινεῖσθαι διὰ τὸ πρότερον", translates to "first, the one about not being moved because of the prior"]

153, 주3) Histoire des mathématiques dans l’antiquité et le moyen âge, trad. Mascart, p. 54.

1872 마스까르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자.

[조이텐(Hieronymus Georg Zeuthen, 1839–1920)]

*-*-* 154

154 주1) Philos. Schr., Gerhardt (이다음에 G로 표기), t. IV, p. 570.

Lettre à Foucher, de janvier 1692 (G., I. 403)

1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899),

1644 푸셰(Simon Foucher, 1644-1696), 신부, 프랑스 철학자. 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)와 서신교환.

1584 생 벵상(Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667) 플라망드 출신 제수이트, 수학자, 기하학자. 선분의 길이의 로가리즘.

Cf. Opus geometrcum quatrturae circuli et sectionum coni, Anvers, 1674. Lib. II, De progressionibus geometricis, Scholie de la prop. 87, p. 101 et suiv.

*-*-* 155

155, 주1) Bibliothèque du Congrès internatioal de Philosophie, t. III, 1901, p. 6. Cf. Cantor, I3 p. 204.

칸토어(Moritz Cantor, 1829–1920), 독일에서 첫 수학사 교수.

*-*-* 156

156, 주1) Brandis, Scholia in Aristotelem (1836), 211b 9 et suiv. et 306a 5. Cf. Cantor, I3 p. 203.

[1790 브란디스(Christian August Brandis, 1790-1867) 독일 언어학자, 철학자. 정치가-상원의원, 프러시아 왕립아카데미 회원. Scholia in Aristotelem (1836)]

*-*-* 157

157, 주1) Cf. Heiberg, Euclidis Elementa, t. III, 1886, p. 4.

1854 하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854-1928, 덴마크 수학사가, 문헌학자. Euclidis Opera omnia, 9 Bände, 1883 bis 1916, mit Heinrich Menge

멘게(Heinrich Menge, 1838-1904) 독일 고교교사, 수학자, 수학사가, 고전문헌학자. Die Parabel-Quadratur des Archimedes. 1863

1862 힐버트(David Hilbert, 1862-1943) 독일 수학자. 수학의 형식주의자 Grundlagen der Geometrie 1899 (Les fondements de la géométrie)

157, 주2) le “groupe V d’axiomes: axiomes de la continuité (axiome de Archimède),” Les principes fondamentaux de la géométrie, trad. Laugel, 1900, p. 24.

1855 로젤(Léonce Laugel, Armand Louis Léonce Henri Philippe Auguste Laugel, 1855-1925), 프랑스 수학자, 번역가.

* 본문에서, λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.

[« λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν » se traduit du grec ancien par : "On dit que des grandeurs ont un rapport l'une avec l'autre lorsqu'elles peuvent, en étant multipliées, se dépasser mutuellement". Euclide, Éléments, V. déf. 4.]

157, 주3) Déf. IV, ibid. t. II, 1884, p. 2. [본문의 인용문이 Éléments, V. déf. 4.라고 하는데 주3)의 내용과 같지 않고, 같은 책(ibid. t. II, 1884)이란 하이베르크(Heiberg)의 편저(Euclidis Opera omnia, 9 Bände, 1883 bis 1916)의 둘째 권을 지칭하는 것 같다.]

*-*-* 158

158, 주1) Archimedis Opera, Ed. Heiberg, t. I. 1880, p. 290. 하이베르크(Heiberg)의 아르키메데스의 산술등차수열에 관한 연구를 보시라, dans Quaestiones Archimedeae, 1879, p. 51 et suiv. [Quaestiones Archimedeae, 1879, 하이베르그의 학위논문]

158, 주2) OP. cit., p. 149.

158, 주3) Montucla, Histoire des Mathematiques, Part. I, liv. IV, la note E. ; éd. de 1799, t. I, p. 282.

[1725 몽뛰클라(Jean-Étienne Montucla, 1725-1799), 프랑스 수학자. 󰡔Histoire des mathématiques, 1758󰡕(1758년 2권으로, 1799-1802년에는 4권으로 출판) 여기 인용은 1799판본이다.]

158, 주4) Ibid., p. 235.

*-*-* 159

159, 주1) Ed. Heiberg, t. II, 1881, p. 330 et suiv. / Milhaud, Le traité de la méthode d’Archimède, Revue scientifique, 3 octovre 1908, p. 418, et Nouvelles Etudes…, p. 138.

[밀오(Samuel Milhaud, Gaston Milhaud, 1858-1918), 프랑스 철학자, 과학사가. 수학자.

159, 주2) Revue générale des Sciences, 30 novembre 1907, p. 916.

Schöne et Heiberg의 재발견 Traité de la Quadrature de la Parabole

1870 쇠네(Hermann Schöne, 1870–1942), 독일 고전문헌 학자, 고교 교사. 학위논문: De Aristoxeni Peri tes Herophilu aireseos: libro tertio decimo a Galeno adhibito. Dissertation. Bonn 1893.

159, 주3) [Lacroix,] Préface du Traité du calcul différentiel et intégral, 2e édition, 1810, t. I, p.2.

Cf. la Logique de Port-Royal (1662), IV, ix, Premier défaut [de la méthode des géomètres] : Avoir plus de soin de la certitude que de l’évidence, et de convaincre l’esprit que de l’éclairer. [그리고 명증성보다 확실성에, 정신을 밝히기보다 그것을 설득하는데, 더 많이 고심한다.]

1765 라크르와(Sylvestre-François Lacroix, 1765-1843), 프랑스 수학자, 󰡔차이계산과 적분계산(Traité du calcul différentiel et du calcul intégral)󰡕

159, 주4) 토리첼리(Torricelli, 1608-1647)의 표현이 카발리에리(Cavalieri, 1598-1647)의 방법에 적용한다. dans le Dimensione parabolae, p. 56. Opera Geometrica, Florence, 1644.

1608 토리첼리(Evangelista Torricelli, 1608-1647) 이탈리아 물리학자, 수학자, 기압계(baromètre) 발명. 󰡔Opera Geometrica, 1644󰡕(De dimensione parabolae in Opera geometrica.)

1598 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri, lat. Cavalerius, 1598-1647) 수학자, 기하학자, 천문학자, 피사와 볼로냐 대학 교수. 갈릴레이의 제자이자 서신교환으로 학문적 동료.

(옮5:04, 59NLD) (7:20, 59NLJ)

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