미분 기하학 가우스 보네 정리 질문입니다.

[ronz]

가령 윗면과 아랫면이 없는 원기둥에서 가우스 보네 정리를 적용하면 

경계에서 곡선이 측지선이라서 측지 곡률은 0이고 , 오일러 지표수가 위그림에서 v= 8, e=12, f= 4 로 v-e+f= 0 으로 전곡률도 

0입니다. 

그렇다면 외각의 합은 2pi 라는 이야기인데, 외각의 합은 각 꼭지점에서 pi/2 만큼 일어나서 4pi 가 되어야 하는것 아닌가요?

외각을 구하는데 이해가 가지 않아 질문합니다. 

항상 답변 감사합니다.

[신선물고기]

전곡률 측지곡률 다 0이고 오일러 표수는 0이니까 외각의 합도 0이 되어야 합니다. 헌데 이 외각이 합이라 하는 것은 경계 곡선에 해당하는 값을 이야기 합니다. 게다가
전곡률+전측지곡률+외각의합 = 2πX오일러 표수
그러니까 지금 외각의 합은 0이 나와야 하는 것입니다.
그리고 정확히 윗곡선과 아랫곡선에 대해서 외각이 합은 0입니다. 매끄러운 곡선이니까요.

[마이클]

교수님, 저도 외각의 합이 0이 안나옵니다.ㅜㅜ
그림에서 면 FKDG의 경우 외각의 합이 (π/2)×4=2π 가 나오는데 제가 어디를 잘 못 알고 있는 것일까요?

[신선물고기]

저대로 대놓고 외각을 다 합하니까 안 되는거죠. ㅠㅠ

[신선물고기]

중간에 다 찔라놓고 표수부분을 다 더한 셈인데 그러면 자르면 자를수록 외각의 합도 커지지요. 그러면 각 조각의 오일러 표수 합에 비례해서 값을 얻게됩니다. 그런데 오일러 표수는 곡면을 합칠 때 덧셈적 성질이 아니어요.

[신선물고기]

영상 답변이 있어요~

[신선물고기]

영상 답변을 올렸습니다.
https://youtu.be/q04QWRXYUq0

[신선물고기]

말머리를 달아주세요. 이번엔 제가 달겠습니다.