완전수

[귀뚜라미]

고대 그리스 사람들은 숫자 6이 자신을 제외한 약수들의 합 (6=1+2+3)으로 표시됨을 알아차리고 이것이야말로 완전한 수의 형태라고 생각했다. 피타고라스학파는 자신을 제외한 양의 약수들의 합으로 표현되는 양의 정수를 ‘완전수 (Perfect number) ’라고 불렀다. 그들은 알지 못하는 신비로운 믿음으로 인해 어떤 정수가 자신들의 진 약수(proper divisor)들의 합으로 표현되는 경우에 관심을 갖게 되었는데, 이것은 부분으로부터 완전한 전체를 만들 수 있을까를 궁금해 했던 것과 일맥상통하는 질문으로 보인다.

완전수, 자신을 제외한 양의 약수의 합으로 표현되는 양의 정수

이러한 성질을 갖는 6 다음의 수는 28인데, 28도 자신을 제외한 약수들의 합 1+2+4+7+14이 된다. 기원전에 이미 아래 4개의 완전수(p₁~p₄)가 발견되었다.

신비한 완전수를 완전히 신비롭게 해석하기

1950년대가 될 때까지 수학자들은 위의 4개를 포함하여 단지 12개의 완전수만을 찾아낼 수 있었다. 완전수는 지난 수 세기 동안 어떠한 응용이나 실제적인 목적을 위해서가 아니라 사람들의 흥미를 위해 연구되었고 그만큼 재미있는 일화가 많다. 철학자들은 완전수를 수학의 대상으로서가 아니라 윤리나 종교적 관점에서 바라보았다. 로마 사람들은 6을 비너스(Venus)와 결부시켰는데, 6은 2와 3의 곱셈으로서 두 성별(2는 여성, 3은 남성)의 결합을 나타낸다고 생각했다.

8세기 영국의 신학자 Alcuin은 노아의 방주를 타고 있었던 8명의 후손인 사람들은 숫자 8이 6보다 덜 완전한 것이기 때문에 불완전하다고 말했다. 12세기의 율법학자 Ankin은 ‘영혼 치유’의 프로그램으로서 완전수를 공부해야 한다고 주장하기도 했다. 완전수는 그 신비로운 해석으로 말미암아 오히려 더 신비해진 것은 아닐까?

완전수의 추적은 계속된다

그러는 동안에 수학자들의 연구는 끊임없이 지속되었다. 니코마코스(Nikomachos, 50 ~ 150?)는 알려져 있던 4개의 완전수 p1, p2, p3, p4 들로부터 몇 개의 가설을 주장했다.   1. n번째 완전수인 pn은 n자리수이다.  2. 모든 완전수는 짝수이다.  3. 짝수인 완전수의 끝자리 수는 6과 8이 교대로 나타난다. 가설(1)과 (3)에 의하면 5번째 완전수 p5는 6으로 끝나는 5자리 수이며 6번째 완전수 p6는  8로 끝나는 6자리 수이어야 한다. 그러나 15세기에 발견된 p5=33,550,336와 p6=8,589,869,056로 인해 가설의 오류가 드러났다.

오일러의 초상이 그려진 우표. 오일러는 짝수 완전수의 실체를 증명했다.

그러나 가설 (2)는 여전히 미해결 상태로 남아 있다. 피타고라스 이후 200년 가량이 지난 후 유클리드(Euclid)는 짝수인 완전수는 

2^m-1(2^m-1)으로 표현됨을 알아냈다. 다시 약 2000년 가량 지나, 1700년도에 오일러는 짝수인 모든 완전수의 실체를 발견했다. 

예컨대 m=2, 3, 5 또는 7이면 2(2²-1)=6, 2²(2³-1)=28, 2⁴(2⁵-1)=496, 2⁶(2⁷-1)=8128로서 이미 알려진 완전수이다. 그런데 m=4이면 2⁴-1=15이 소수가 아니므로, 2³(2⁴-1)은 완전수가 되지 않는다. 물론 m이 합성수라면 2^m-1는 합성수이다. 따라서  2^m-1이 소수가 되기 위해서는 반드시  m은 소수이어야 한다. 더구나 위의 정리는 필요충분조건을 말하고 있으므로, 역도 당연히 성립이 된다. 그러니,  2^m-1의 형태로 나타나는 소수를 찾으면 그에 해당하는 짝수 완전수를 찾을 수 있다는 뜻이다. 2^m-1의 형태의 수를 메르센 수라고 하며, 이 수가 소수가 되면 ‘메르센 소수’라고 한다는 것도 알아두자. 

초기의 많은 학자들은 m이 소수이면 2^m-1은 항상 소수가 될 것이라고 믿었다. 그러나 1536년 레지우스(H. Regius)는 2¹¹-1=2047=23×89을 밝힘으로서, m이 소수이더라도 2^m-1이 소수가 아님을 보였다. 그는 또한 m=13일 때 2¹³-1이 소수임을 보임으로서 5번째 완전수 p₅=2¹²(2¹³-1)=33,550,336를 얻을 수 있었다. 그런데, 더 큰 완전수를 찾는 어려운 점 중 하나는 소수표가 유용하지 못하다는 것이었다. 1603년 카탈디(P. Cataldi)는 5150보다 작은 소수들의 표를 만들어서 2¹⁷-1이 소수임을 알아냈고 이렇게 만들어진 것이 6번째 완전수 p₆=2¹⁶(2¹⁷-1)=8,589,869,056이다.

완전수? 그래서 왜 찾아내려고 하는 것일까?

알려진 완전수는 모두 삼각수이다.

1811년에 바로우(P. Barlow)는 오일러가 1772년에 발견한 19자리의 수인 여덟 번째 완전수 p8=230(231-1)에 대해서 다음과 같이 평가했다. ‘이 수는 발견될 완전수 중에서 가장 큰 완전수이다. 왜냐하면 완전수는 단순한 호기심에서 찾은 것일 뿐, 어떤 유용성도 없기 때문에 이것보다 더 큰 완전수를 찾으려고 노력하는 사람은 아무도 없을 것이기 때문이다.’

완전수의 가치는 호기심을 채우는 것뿐이라는 말은 어느 정도 맞기는 하지만, 이는 사람들이 갖는 호기심의 매력을 완전히 과소평가한 말이다. 사람들은 호기심과 흥미를 위해서도 많은 일을 하곤 한다. 실제로 1876년에 루카스는 새로운 완전수를 발견했으며, 완전수의 추적은 새로운 수학의 이론으로 발전하고 진화하면서 여러 흥미로운 성질들이 밝혀졌다.

예를 들어 모든 (짝수인) 완전수는 삼각수이다. 이것은 삼각형을 형성하도록 배열된 공의 개수로 이 수를 표현할 수 있음을 의미한다. 또한 만약 6 이외의 다른 완전수를 취해서 각 자리의 수를 더하면, 그 결과는 9의 배수보다 1만큼 큰 수가 된다. 그뿐만 아니라 모든 완전수는 연속적인 홀수의 세제곱의 합이 된다. (예. 1³+3³=28, 1³+3³+5³+7³=496, 1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³=8128).

바로우의 완전수의 무용론에도 불구하고, 사람들은 ‘호기심’을 끄는 수를 찾기 위해 많은 노력을 했으며, 그러한 계산은 컴퓨터 능력을 측정하는 기준으로서의 지위를 획득했다.

1. 완전수(perfect number)

   자신을 제외한 양의 약수의 합으로 표현되는 양의 정수이다. 6, 28, 496, 8128 등의 여러 짝수 완전수가 발견되었다. 홀수 완전수의 존재 여부는 수학의 유명한 미해결 문제 중 하나이다.

글 최은미 / 한남대학교 수학과 교수