[동양 최고(最古)의 수학�� 구장산술(九章算術) ]

[오성대사]

구장산술》에 대하여

당나라 시대의 수학

《구장산술(九章算術)》은 진한 시대의 산술서를 계승하고, 후한 시대가 되어서 비로소 본 모습을 갖추게 된 옛 산술서이다. 이 책을 집필한 사람은 알려져 있지 않지만 263년에 삼국 시대 위나라의 유휘(劉徽)가 뛰어난 주석을 붙여 펴낸 것으로 되어 있다.

중국에서는 당나라 시대에 수학교육이 제도화되었고, 나라에서 '산학(算學)' 이라 불리는 학교를 설립하였다.

그 학교에서는 다음과 같은 10종의 수학서가 교과서로 사용되었다.

주비산경(周摽算經) 2권

구장산술(九章算術) 9권

해도산경(海島算經) 1권

손자산경(孫子算經) 3권

오조산경(五曹算經) 5권

하후양산경(夏候陽算經) 3권

장구건산경(張邱建算經) 3권

오경산술(五經算術) 2권

철술(綴術)

집고산경(緝古算經) 1권

유교의 경전과 마찬가지로 수학에서도 '산경(算經)'이라는 이름이 붙은 책들이 많았다. 이들이 소위 '산경십서(算經十書)'인데 이 가운데 '철술(綴術)'을 제외하고 모두 현재까지 전해지고 있다. 권수에서 보더라도 《구장산술》은 그 내용이 매우 풍부하였고, 수준도 높아서 당나라 시대 이전의 대표적인 수학서라고 할 만한 것이다. '산학(算學)' 이 창설되기 전 이순풍(李淳風)은 임금의 명을 받아 '산경십서' 에 새로운 주석을 가했다.

그런데 당나라 시대의 제도를 기록한 '당육전(唐六典)'에 의하면 '산학'을 공부하는 연한은 7년이고, 학급을 두 개조로 나누었는데 각조에서 사용하던 교과서와 각각의 수업 연한은 다음과 같았다.

제1조
손자산경·오조산경 1년
구장산술·해도산경 3년
장구건산경 1년
하후양산경 1년
주비산경·오조산경 1년

제2조
철술 4년
집고산경 3년

이 가운데 《철술(綴術)》은 현재는 전해지지 않아 본 모습을 알 수 없으나 매우 난해하여 학습을 마치는 데 4년이라는 세월이 걸려야 했다. 그런데 수업년한이 길다는 점에서 《철술》 다음 가는 것이 당나라 시대에 쓰인 《집고산경》과 《구장산술》《해도산경》이다.

《해도산경》은 피타고라스 정리를 응용하여 측량상의 문제를 해결하는 책으로 《구장산술》의 마지막 권인 <구고장(句股章)>의 부록이라고도 할 수 있는 수학서이다. 그렇게 보면 3년이라는 기간은 대부분 구장산술을 학습하는 데 쓰였다고 해도 과언이 아니다.

이러한 학습 햇수로 보더라도 구장산술이 매우 중요하게 여겨졌음을 알 수 있다.

두 조에서는 모두 그 책들 외에 부전공과목으로 《수술기유(數術記遺)》및 《삼등수(三等數)》를 학습했다.

'산학' 에서는 매년 시험이 치러졌는데 시험문제는 모두 이미 학습한 데서 출제되었다. 이 '산학' 외에도 과거제도에 '명산과(明算科)'라는 것이 있었고, 여기서도 수학자가 관리로 등용되는 길이 열려 있었다.

이렇게 양성된 수학자 중에서 수학교육을 담당하는 산학박사가 배출되었다. 하지만 대부분은 특별히 수학을 필요로 하는 관청에 배속되었다고 할 수 있다. 따라서 당시 중국에서는 현재와 같이 수학연구가 장려되었다고는 할 수 없고, 더욱이 산학박사를 비롯한 수학자들의 지위는 극히 낮은 것이었다.

구장산술의 내용

《구장산술》은 관리에게 필요한 수학 지식을 집대성하여 정리한 것이다. 관리들이 실무적인 일을 처리하는 데서 부딪히는 여러 문제들을 다룸과 동시에 산법(算法) 자체의 내용도 풍부하게 담겨 있다.

여기서 구장산술의 각 장을 따라 가면서 조금씩 설명해 본다.

구장산술은 크게 방전(方田: 수록 문제는 모두 38문제)과 속미(粟米: 46문제), 쇠분(衰分: 20문제), 소광(小廣: 24문제), 상공(商工: 28문제), 균륜(勻輪: 28문제), 영부족(盈不足: 20문제), 방정(方程: 18문제), 구고(句股: 24문제) 등 아홉 개 장, 246문제로 구성되어 있다.

⼁  방전장(方田章) - 논밭의 측량 문제를 다룬다.

우선 방전장에서는 여러 가지 형태의 논밭의 넓이를 계산하는 법을 가르친다. 방전이란 사각형 모양의 논밭을 뜻한다. 문제가 나오면 곧바로 답이 나오고, 또 같은 종류의 문제를 모아 '술왈(術曰: 계산하자면)'로서 그 계산법을 기록하고 있다. 이처럼 문제-답-계산법 3단계로 나눈 기술 방식은 그 뒤 중국 수학서에 공통적으로 쓰이는 형식이 된다.

지금 방전장의 2번 문제와 그것에 따른 '술왈(術曰)'을 원문에서 인용해 보면

又有田. 廣十二步. 從十四步. 問爲田幾何.(또 하나의 방전이 있다. 가로가 12보, 세로가 14보이다. 그렇다면 이 방전의 넓이는 얼마인가?)

答曰. 一百六十八步.(답: 168보)

方田 術曰. 廣從步數. 相乘得積步. 以畝法二百四十步除之. 卽畝數. 百畝爲一頃.(방전의 넓이를 계산할 때는 가로와 세로의 보수(步數)를 서로 곱하여 답을 구한다. 이것을 무(畝) 단위로 고치려면 1무가 240보이므로 240으로 나누면 된다. 100무는 1경이다.)
라고 되어 있다.

답에 보이는 숫자는 논밭의 넓이(積步)이고, 따라서 168평방보(平方步, 즉 보²)라고 써야겠지만, 단순히 보(步)라고만 씌어 있다. 이러한 표현은 부피에 대해서도 마찬가지로 입방보(立方步, 즉 보³)로 써야 할 것을 단지 보(步)라고만 쓰고 있다. 이처럼 단위를 구분하지 않고 같은 꼴로 씀으로써 독자를 혼란스럽게 했을 뿐 아니라 중국 수학의 발전에 장애가 되었음에 틀림없다.

보(步)는 길이의 단위로, 1보는 6척(尺) 또 240평방보는 1무(畝)이고, 100무는 1경(頃)이다.

논밭의 모양은 사각형의 방전(方田)을 비롯하여 삼각형, 사다리꼴, 원형, 반원형, 부채꼴, 도너츠형 등이 있었다.

원형 논밭의 넓이를 구하는 문제에서는 원주율을 3으로 하고 있다. 한나라 시대에는 그보다 훨씬 상세한 원주율을 알고 있었지만 실용성을 고려해서, 이처럼 간단한 수치로 계산했던 것 같다. 또 부채꼴 모양의 밭 넓이를 계산할 때는 위 그림처럼 호와 현을 양분하는 선분CD의 길이를 b, 현의 길이를 c라고 할 때, 넓이S는

로 주어져 있다.

또 원의 지름을 d라고 하면 b, c, d는 다음과 같은 관계가 성립한다고 구고장(句股章)에 기록되어 있다.

이는 주목할 만한 일이다.

또 방전장(方田章)에서는 분수 계산에 관한 초보적인 문제들이 많이 나온다. 고대에는 동서양을 막론하고 나머지를 나타낼 때 분수 형태로 나타냈고, 소수 형태를 사용한 것은 후세의 일이다. 따라서 당시에는 분수 계산이 필요했고, 실제로 분수 계산 문제가 많이 등장한다. 분수 계산법으로는 약분(約分), 합분(合分), 감분(減分), 과분(果分), 평분(平分), 경분(經分) 등의 절로 기록되어 있고, 이들을 이해하면 분수 계산 문제는 모두 해결할 수 있다. 구장산술 1장 방전장에 이러한 문제가 기술되어 있다는 데서 우리는 저자의 세심한 주의를 엿볼 수 있다.

약분절에 나오는 '술왈(術曰), 즉 계산법' 은

可半者半之. 不可半者. 副置分母子之數, 以少減多, 更相減損. 求其等也. 以等數約之.(분모분자를 반으로 나눌 수 있으면 반으로 나눈다. 반으로 나눌 수 없을 때는 분모와 분자 중에서 큰 수에서 작은 수를 뺀다. 나머지가 있을 경우, 이 나머지와 분모, 분자 중 작은 수의 차를 구한다. 이 작업을 되풀이 하여 작은 수가 같아질 때까지 계속한다.)
로 되어 있다.

여기서 등수(等數)는 최대공약수를 뜻하는데 최대공약수를 구하는 법은 그리스 시대의 유클리드의 방법과 같다는 점도 주목할 만하다.

⼁ 속미장(粟米章) - 곡물을 교환할 때의 계산법을 다룬다

속미장은 속미(조)를 기준으로 한 곡물 교환 문제로, 계산법은 간단한 비례식으로 처리되고 있다. 먼저 속미 계산법에 보면 각종 곡물 또는 그 가공품끼리의 교환율이 다음과 같이 기술되어 있다.

속미(粟米: 조) 50, 여미(嵅米: 매조미쌀) 30, 패미(碭米: 고른쌀) 27, 삭미(??삭米): 정한쌀) 24, 어미(御米: 고급쌀) 21, 소적(小??적: 가는밀) 13반, 대적(大??적: 굵은밀) 54, 여반(嵅飯: 매조미쌀로 지은 밥) 75, 패반(碭飯: 고른쌀로 지은 밥) 54, 삭반(??삭飯: 정한 쌀로 지은 밥) 48, 어반(御飯: 고급쌀로 지은 밥) 42, 숙(菽: 콩)·답(嬮: 좀콩)·마(麻: 깨)·맥(麥: 보리) 각 45, 도(稻: 벼) 60, 시(栥: 콩자반) 63, 손(朄: 엿기름의 일종) 90, 숙숙(熟菽: 익힌콩) , 벽(蘗: 선밥) 175

속(粟)이란 껍질을 벗기기 전의 조를 말하고, 여미·패미·삭미·어미 등은 어쨌든 조를 찧은 것인데, 그 찧은 정도에 따라 교환율이 다르다. 미(米)는 우리가 현재 주식으로 하고 있는 쌀이 아니라 조를 찧어 껍질을 벗긴 것을 가리킨다.

조는 후한 시대에도 주식으로 중시되고 있었지만, 그 찧은 정도를 4단계로 나눈 것은 중국인들의 식생활이 일찍부터 발전해 있었다는 것을 보여준다.

송(宋)나라 이자(李藉)가 쓴 《구장산술음의(九章算術音義)》에 따르면 '적(??적)은 맥소(麥小)' 라는 말이 있는데 소(小)는 '가늘고 부드럽다(細)' 는 뜻이고, 대(大)는 '거칠고 굵다(粗)' 는 의미다. 따라서 적(적)은 밀가루 음식에 들어가는 소맥이었을 것이다.

중국에서 소맥이 재배되고, 밀가루 음식에 쓰인 시기에 대해서는 여러 가지 설이 있지만 어쨌든 이 기록은 구장산술 시대에 이미 소맥이 있었다는 것을 보여준다. 소맥에 대해 '숙·답·마·맥' 의 숙·답은 콩의 일종이고, 맥은 대맥을 말하는 것이다. 또 당시 이미 벼도 주식의 일부가 되고 있었는데, 이 교환율로 보면 조보다 벼{{벼는 껍질이 붙어 있는 쌀, 즉 왕겨를 말한다.}}가 더 싸다는 것을 알 수 있다.

⼂ 쇠분장(衰分章) - 비례 배분을 계산하는 법을 다룬다

여기서 '쇠분(衰分)'은 '차(差)' 라는 뜻으로 차등(差等)을 두면서 비례적으로 골고루 나누는 계산법을 말한다.

먼저 쇠분장의 제1번 문제를 예로 들어 보면

今有大夫·不更·簪婤·上造·公士凡五人. 共獵得五鹿. 欲以爵次分之. 問各得幾何.(지금 대부, 불경, 잠뇨, 상조, 공사 모두 다섯 사람이 있다. 이들이 공동으로 수렵을 하여 사슴 다섯 마리를 포획했다. 이 사슴들을 작위의 순서에 따라 나누려고 한다. 그렇다면 각각 몇 마리씩 갖게 될까?)로 되어 있다.

여기에서 말하는 '대부·불경·잠뇨·상조·공사'는 진나라 시대부터 존재하던 작위제도인데 한나라 초기에도 이와 같은 작위가 주어졌다. 《구장산술≫이 진나라에까지 거슬러 올라가 전승되고 있었음을 보여 주는 구절이다. 이 작위제도에 의하면 작위는 20등급으로 나뉘고, 가장 말단이 공사, 그리고 순차적으로 상조, 잠뇨, 불경, 대부로 올라간다.

따라서 문제에는 명시되어 있지 않지만, 대부를 5, 그 이하 작위에는 4, 3, 2, 1의 비율로 다섯 마리의 사슴을 나눠 준다. 이러한 간단한 비례 배분에 비해 좀더 복잡한 다음과 같은 문제도 있다.

今有女子. 善織日自倍. 五日織五尺. 問日織幾何. (베를 잘 짜는 처녀가 있다. 매일 짤 때마다 숙련도가 높아져 전날보다 두 배씩 더 짜, 5일동안 5자의 천을 짰다고 하면 매일 얼마의 천을 짠것인가?)

이것은 공비가 2이고, 항수(項數)가 5인 기하 급수의 합이 5척(尺)인 경우로 그 각 항을 계산해 내는 문제이다. 이것을 대수적으로 푸는 대신 1, 2, 4, 8, 16을 공차로 하는 비례 배분에 의해 풀고 있다.

이러한 해법은 고대 이집트나 인도·아라비아 수학서에도 보이고, 이러한 계산법을 가정법이라 부른다.

⼂ 소광장(小廣章) - 넓이 또는 부피를 구하는 문제를 다룬다

소광장은 방전장과 같이 주로 넓이 문제를 다루고 있지만 마지막 6개의 문제는 부피를 구하는 문제이다. 방전장과 다른 점은 먼저 넓이(혹은 부피)값을 준 다음, 변의 길이를 구하는 문제가 많은데, 말하자면 방전장의 역산(逆算)으로 처리된다.

이제 그 중 1번 문제를 설명해 보자.

今有廣一步半. 求田一畝. 問從幾何.(지금 가로가 1보반, 넓이가 1무인 경작지가 있다. 세로는 얼마인가?)

答曰一百六十步.(답 : 160보)

이다.

1무는 240평방보이고, 이것을 가로의 길이 1보 반으로 나누면, 전답의 세로의 길이를 구할 수 있다. 1번 문제부터 11번 문제까지 모두 같은 유형의 문제지만, 어쨌든 세로의 길이에 비해 넓이가 매우 작다. 그래서 이자(李藉)의 《구장산술음의(九章算術音義)》에는 '소광'이라는 명칭이 거기서 생겨났다고 기록되어 있다.

다시 23번 문제를 보면

今有積四千五百尺. 問爲立圓徑幾何.(지금 부피가 4,500척인 구가 있다. 그 지름은 얼마인가?)

答曰. 二十尺(답 : 20척)으로 되어 있다.

즉 구(立體圓)의 부피가 4,500입방척이면 그 구의 지름은 20척이라는 답을 얻는다. 24번 문제 뒤에 '개립원(開立圓)', 즉 구의 지름을 구하는 계산법이 나오는데 그에 따르면 지름을 라고 할 때 구의 부피는이 된다. 정확한 값은 인데 원주율을 3으로 하면이 되어야 한다. 따라서 구장산술의 윗식은 정확하지는 않다.

중국에서 구의 부피를 정확하게 계산해 낸 것은 6세기 초엽이다. 즉, 양나라에서 활약하던 조(祖??항之)가 구의 부피를 계산해 내기 전까지는 근사계산법 밖에는 알지 못했다. 개평(開平 : 제곱근을 구하는 것) 또는 개립(開立 : 세제곱근을 구하는 것)은 2차 및 3차식의 간단한 경우이다.

중국에서는 고차의 숫자방정식이 일찍부터 연구되어 13세기 중반 진나라 구소(九昭)는 《수서구장(數書九章)》에서 10차방정식을 풀었다. 그 방법은 19세기 초 영국 수학자 호너법과 같다. 이 호너법의 맹아가 이미 소광장의 개평과 개립 계산에 나타나고 있는 것이다.

⼂ 상공장(商工章) - 토목공사의 공정(工程) 문제를 다룬다

상공장에는 다양한 토목공사의 공정을 계산하는 문제가 포함되어 있다. "상(商)이란 도(度: 계산)하는 것"이라는 것이 이자(李藉)의 설명이다.

성을 축조하거나 도랑을 파거나 하려면 우선 토사의 양, 즉 각종 입방체의 부피를 계산할 필요가 있다. 여기서 다루는 입방체의 종류는 원통, 원기둥, 원뿔, 사각뿔, 각뿔대 등 여러 가지 모양이고, 그들 부피는 모두 정확하게 계산되고 있다.

7번 문제에서는 먼저 하천을 만들 때 파내야 할 흙의 부피를 구하고, 그것을 파는 데 고용되는 사람 수를 계산한다. 이러한 토목공사는 주로 가을에 행해졌던 것으로 보이고, 한 사람에게 가을철에 부과되는 할당량은 3백 입방척으로 간주되고 있다. 토목공사를 할 때 몇 사람이 필요한지를 미리 계산했다는 추정을 가능케 하는 문제들이다. 이것은 중국의 관료제의 기초로서, 당시 매우 주도 면밀한 계획 하에 공사가 진행되고 있었음을 보여준다.

⼂ 균륜장(均輪章) - 조세의 운반과 관련된 문제를 다룬다

균륜장에서는 백성에 대한 부역을 어떻게 공평하게 부과할 것인가를 고려한 문제를 다루고 있다.

이 장의 문제를 보면 중국 관료제가 백성을 심하게 혹사시켰음을 보여준다. 하지만 이러한 문제를 수학서에 다룬 것은 우리 나라 수학서에도 없고, 유럽의 책에서도 보이지 않는 드문 일이다.

간접적으로 균륜장 1번 문제에서 4번 문제를 보면 몇몇 현에서 정해진 창고로 쌀을 운반할 때 각각의 현의 호수(戶數)와, 창고까지 걸리는 날짜를 고려하여, 공평한 부담을 부과하는 것을 목적으로 한 문제가 다뤄지고 있다.

전한(前漢)의 무제 시대에 균륜관이라는 관직이 만들어졌는데 균륜관이 일하던 관청에서 실제로 이러한 작업이 행해졌던 것 같다. 물론 이러한 공평성이 실제의 반영인지 아니면 실제가 그렇지 않기 때문에 어떤 당위를 제시한 것인지는 문제로 남는다. 수학서의 예제 가운데 얼마간은 허구(虛構)라는 것을 염두에 둘 필요가 있기 때문이다.

균륜장 5번 문제 이하는 꽤 다양한 문제들이 다뤄지고 있는데 마지막 28번 문제는 금을 소지한 사람이 5곳의 세관을 통해서 납부한 세금 전체가 금 1근일 때 원래 그 사람이 소지한 금의 양을 구하는 문제가 다뤄지고 있다. 첫 번째 세관에서는 소지한 금의 반, 다음 세관에서는 나머지 금의 을 거두는데, 그 합계가 1근이라는 것이다.

따라서 이 과정을 거꾸로 계산해 보면 원래 소지한 금의 양은 1근 3냥 수(1근은 16냥, 1냥은 24수)가 된다. 즉 5곳의 세관을 통과하면서 소지한 금의가 세금으로 나가 버리는 것이다. 봉건 중국 사회에서 착취가 얼마나 심했던가를 보여주는 문제라 할 수 있다. 물론 이 문제는 과장되어 있을지도 모른다.

하지만 《구장산술》이 소설책이 아니라 당나라와 송나라 시대 관리들의 교과서였다는 점에서 보면 그 당시 상황을 추정하는 지표라고 보아도 무리는 없을 것이다. 더욱이 세관마다 세율이 정해져 있는 것으로 볼 때 이 문제는 의식적으로 만들어진 것 같다. 한나라 시대 관세가 어느 정도였는가는 달리 열거할 자료가 없지만 이 문제에서 보이는 숫자가 그대로 봉건사회의 실제를 반영하고 있다고 보아야 하지 않을까?

⼂ 영부족장(盈不足章) - 과부족(過不足) 문제를 다룬다

영부족장에서는 남거나 부족한 것을 가정할 때 맞는 수를 구하는 계산법이다.

1번을 예로 들자면

今有共買物. 人出八盈三. 人出七. 不足四. 問人數. 物價各幾何. 答曰. 七人. 物價 五十三.(지금 공동으로 물건을 구입한다고 할 때, 각 사람이 8전씩 내면 3전이 남고, 각 사람이 7전씩 내면 4전이 부족하다고 한다. 사람 수와 물건값은 각각 얼마인가? 답 : 사람은 7인, 물건값은 53전)
이다.

문제의 글 중에 영(盈), 부족(不足)이라는 말을 따서 장의 제목을 영부족장(盈不足章)이라고 했다. 대수적으로는 2원 1차 연립방정식으로 풀지만 구장산술에서는 산술로 푼다. 즉 각 사람이 내는 돈 8전과 7전, 그리고 과부족인 수 4전과 3전을 순서대로 곱하여 나오는 32(8×4)와 21(7×3)을 더한 수 53을 내는 돈의 차(이 경우는 1전)로 나누어 물가(物價: 물건의 가격)로 하고, 과부족의 수의 합 7(4+3)을 내는 돈의 차 1(8에서 7을 뺀)로 나누어 사람 수를 구한다. 이 방법은 아라비아의 수학서에서 보이는 것과 동일하고, 복가정법(method of double false position)이라 부른다. 8전과 7전으로 가정을 했을 때의 수치이기 때문에 이런 명칭이 생겨났다.

⼂ 방정장(方程章) - 다원(多元) 방정식 문제를 다룬다

방정장에서는 다원(多元) 1차연립방정식으로 해를 구하는 문제가 포함되어 있다.

예를 들어 2번 문제를 보자.

今有上禾七秉. 損實一斗益之. 下禾二秉. 而實一十斗. 下禾八秉. 益實一斗. 與上禾二秉. 而實一十斗. 問上下禾實一秉. 各幾何(지금 상급벼가 7단 있다. 거기서 나오는 벼의 양을 1말 줄이고, 여기에 하급벼 2단으로 채우면 벼의 양이 모두 10말이 된다고 한다. 또 하급벼가 8단 있다. 거기에 벼 1말과 상급벼 2단을 섞으면 벼가 모두 10말이 된다고 한다. 그렇다면 상급벼와 하급벼 1단에서 각각 얼마의 벼를 낼 수 있는가?)

이 문제를 식으로 고치면

이다. 하지만 당시에는 라고 하는 미지수를 표시하지 않고, 그 계수나 상수항을 산목을 사용하여 다음과 같이 두행의 방정식으로 나타냈다.

7   2   11

2    8   9

현재 우리가 쓰는 연립방정식과는 좀 다르지만 이것을 푸는 방법은 동일하다. 예를 들면 위의 2원 1차 연립방정식에서 한 개의 미지수를 소거하여, 미지수가 하나인 1원 1차방정식으로 고쳐서 해를 구하는 것이다.

이 방정식을 계산할 때는 양수음수계산법을 쓰고 있는데, 양수 및 음수의 덧셈뺄셈 문제를 다룬다. 단순히 계산 과정에 대해서만 쓰이고 있지만, 음수를 다룬 것은 주목할 만한 일이다.

유럽에서 음수가 정수 및 영과 함께 숫자 속에 들어오게 된 것은 17세기 데카르트 이후이다. 중국에서는 음수를 숫자로 음수를 다루지 않고, 방정식의 근을 구할 경우도 양의 제곱근만 취하긴 하지만 음수의 표시와 양음 상호간의 덧셈뺄셈법칙은 이미 《구장산술》의 시대부터 알려져 있었던 것이다.

6번 문제의 경우도 현대 수학으로 풀 때는

라는 연립방정식으로 해를 구한다. 두 식에서 를 소거할 때는 양수와 음수의 덧셈법칙이 쓰인다.

⼂ 구고장(句股章) - 피타고라스 정리의 응용

구장산술의 마지막 장인 구고장에는 피타고라스 정리를 응용하여 푸는 문제들이 나온다.

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변 a, b, c 사이에 성립되는 c²=a²+b²의 관계를 나타낸다. 그런데 중국인들은 직각삼각형의 세 변의 관계가 단지 3, 4, 5 사이에만 성립되는 것이 아니라는 것을 일찍부터 알고 있었다. 그 증명을 어떻게 했는가는 분명치 않지만 어쩌면 눈짐작에 의해 직관적으로 파악했을 것이다.

이 장에는 직각삼각형의 두 변을 알고 다른 한 변의 길이를 구하는 문제가 많고, 이들은 제곱근을 구하는 방식으로 푼다. 그러나 지나치게 복잡한 문제는 2차방정식의 해를 구하는 방식으로 풀기도 한다. 20번 문제를 예로 들어 보자.

今有邑方. 不知大小. 各中開門. 出北門二十步有木. 出南門一十四步. 折向西行. 一千七百七十五步見木. 問邑方幾何.(한 변의 길이를 알 수 없는 정사각형의 마을이 있다. 그 마을의 네 개의 성벽 중앙에는 문이 나 있다. 북문을 나와 20보가 되는 지점에 나무가 한 그루 서 있다. 남문을 나와 14를 걸은 다음 방향을 바꿔 서쪽으로 1,775보를 갔더니 그 나무가 보였다. 그렇다면 마을의 한 변의 길이는 얼마인가?)

答曰. 二百五十步.(답 : 250보)

이 문제를 현대 수학으로 정리하면,

이다.

이러한 숫자방정식을 일찍부터 풀었던 것은 중국 수학의 커다란 성과이다. 구고장에는 멀리 떨어져 있는 나무를 보고, 그 나무까지의 거리를 측정한다든지, 산의 높이를 측정한다든지 하는 문제도 있는데 이들은 측량술의 발달과 불가분의 관계에 있는 계산법이다.

이상이 《구장산술》의 개요이다. 구장산술은 당시 중국에서 일상적으로 부딪혔던 실용상의 문제와 그것을 푸는 계산법을 거의 망라하고 있다. 그 때문에 당대의 산학 교과서 가운데 중심적인 위치를 차지했을 뿐 아니라 송나라 말기 이래 원나라·명나라·청나라를 관통하여 조선과 일본에까지 큰 영향을 미쳤던 것이다.

당시 조선에서는 구장산술의 영향을 받아 남병길이 주석을 달고 우리 나라 실정에 맞게 편집한 《구장술해》가 나왔다.

구장술해는 모두 9권 2책으로 이뤄져 있는데 책머리에 《구장산술》의 편자 유휘의 서문이 붙어 있고, 말미에는 남병길{{남병길(南秉吉, 1820∼1869) : 조선 시대 말기인 순조때 대표적인 수학자이자 예조판서를 지냈다. 천문학에 정통하였는데 그는 중국의 앞선 수학을 보급하기 위해 조선의 실정에 맞게 구장산술을 풀이하여 《구장술해》라는 이름으로 책을 펴냈다.}}의 발문이 나온다.

 ◁ 유휘의 주해가 붙은 《구장산술》 송각본

구장산술을 엮은 유휘

《구장산술》에 대한 유휘의 주석은 삼국 시대 위나라 경원 4년(263년)에 쓰여졌다. 유휘에 대해서는 3세기에 활약한 수학자라는 것 이외에는 거의 아무 것도 알려진 것이 없다. 그는 《구장산술》의 주해 이외에 《해도산경(海島算經)》을 저술하였는데 이 책은 구장산술 <구고장>의 보충이라고 할 수 있고, 계산법의 측면에서 크게 새로운 것은 없다.

특히 그가 <상공장>의 주석을 붙이면서 여러 가지 입체의 부피 계산에 상세한 설명을 하고 있는 점이 눈에 띤다.

구장산술에는 계산식만 있고, 어떻게 해서 이러한 식이 도출되었는지에 대해서는 설명이 없다. 유휘는 붉은 색과 검은 색으로 색깔이 구분된 여러 종의 입체도형을 사용하여 각각의 입체를 이러한 도형의 집합으로 증명하고 있다. 그 방법은 직관적인 기하학적 방법이다.

이러한 증명보다도 그의 수학적 업적으로 더 높이 평가되는 것은 원주율의 계산법이다. 우선 《구장산술》에서 사용된 원주율 3은 원지름과 원에 내접하는 정육각형의 둘레 길이 사이에서 얻어진 관계에서 시작하였다. 이 내접다각형의 변의 수를 두 배씩 늘려서 이러한 정다각형의 극한으로 원주의 길이를 구하고 있는 것이다. 원의 반지름을 1척으로 하고, 외접 및 내접하는 정 192각형의 둘레 길이를 계산으로 구한 다음, 원주율의 값을라고 계산해 내었다. 더욱이 무한등비급수의 극한과 비슷한 사고방식을 적용하여, 원주율을 로 하여 정밀한 값을 구하였다. 그러나 실제 계산에는 3.14를 사용하고 있고, 후세에 이것은 그의 이름을 따서 휘율(徽率)이라 불렸다. 그는 보다 정확한 원주율을 구해 내기 위해 연구했을 뿐 아니라 실용성까지 염두에 두었던 것이다.

유휘의 업적은 가히 '동서고금을 통틀어 위대한 수학자의 한 사람'으로 불러도 손색이 없을 것이다.

《구장산술》은 완성된 형태가 없었다

구장산술은 당나라·송나라에서는 산학교과서로 사용되었고, 명나라에 이르러서도 이것을 모범으로 한 수학서가 몇 권 만들어졌다. 유명한 명나라 정대위(程大位)의 《산법통종(算法統宗)》 등도 그 가운데 하나이다. 그러나 청나라 초에는 《구장산술》의 완본은 존재하지 않았다. 남송 시대에 포한지(鮑澣之)가 간행한 《산경십서(算經十書)》 가운데 《주비산경(周脾算經)》을 포함한 6부와 《구장산술》 9권 중 5권이 급고각(汲古閣)의 모이(毛湦)가 소장하고 있었다

△ 휘파사본 산경십서의 《구장산술》 첫부분

건륭 38년(1773년)에 사고전서관(四庫全書館)이 개설되었는데 이 일에 참가한 대유(大儒) 대진(戴震)은 계산법 책들을 널리 찾아서 명나라 시대에 편찬된 《영락대전》 속에서 《구장산술》《해도산경》《오경산술》 등을 뽑아 기록할 수 있었고, 처음으로 《산경십서》(이 가운데 철술은 일찍이 소실되었다)가 만들어졌다. 이들에 대해 대진은 교정을 보고, 그것은 곡부(曲阜: 중국의 지명)의 공계함(孔繼涵)에 의해 간행되었다. 이것이 바로 휘파사본(徽波射本) 산경십서이다. 그 이후 여러 차례의 간행이 이뤄졌고, 또 당시의 복고적 기운에 편승해서 《구장산술》 을 중심으로 뛰어난 연구가 진행되었다. 특히 구장산술의 연구서로서는 가경(嘉慶) 25년(1820년)에 간행된 이황(李潢)의 《구장산술세초도설(九章算術細草圖說)》 9권이 유명하다. 구장산술 연구서들이 이처럼 많이 간행되었지만 최근에는 전보종(錢寶琮)씨가 교정을 보고, 1963년에 북경 중화서국에 의해 간행된 《산경십서》본이 편리하다. 여기에는 다른 《산경십서》본과 같이 유휘 주, 당나라 이순풍 주석 이외에도 전보종씨 자신에 의한 상세한 주해가 있다. 이미 구장산술에 대해서는 송나라 이자에 의한 《구장산술음위》 가 있지만 이것은 전보종의 책에 비해 내용의 질이 떨어진다. 과거에 상무인서관(商務印書館)에서 국학기본총서의 한 권으로 간행된 것에는 이것이 포함되어 있다. 이것도 비교적 손에 넣기 쉬운 것 중에 하나다.

---

 

■《구장산술》을 풀이한 유휘의 서문

옛날 중국의 전설상의 왕 포희씨(包犧氏)는 처음으로 팔괘(八卦){{ 팔괘(파괘) : 건·태·이·진·손·감·간·곤 등으로 천지만물의 섭리를 풀이했다고 한다.}}를 그려 신명스런 덕(德)을 널리 알렸고, 만물의 실정(實情)을 따라 배우게 했다. 또 구구셈을 지어 육효(六爻){{ 육효(六爻) : 주역의 괘를 이루는 하나하나의 획을 말하는데 한 괘는 여섯 개의 효로 이뤄진다}}의 변화에 합치되게 하였다.

그 다음 왕인 황제(黃帝) 때에 이르러 이를 더욱 신묘하게 변화시키고, 인용하여 확산시켰다. 그래서 책력을 세우고 열두 가지 음계를 조화시켜 도(道)의 근원을 헤아렸다.

그렇게 한 뒤에야 음양과 사상(四像){{사상(四像) : 태양·태음·소양·소음}}의 정미(精微)한 기(氣)를 체득하여 본받을 수 있었다.

기록으로는 황제 시대의 예수(隸首)라는 사람이 숫자를 만들었다고 하는데 그 자세한 것은 알 수 없다. 생각해 보면 주공(周公){{주공(周公) : 중국 주나라의 정치가. 문왕의 아들이며 무왕의 동생. 이름은 단이며 형 무왕을 도와 은을 멸망시켰고, 무왕이 죽은 뒤 성왕을 도와 주 왕실의 기초를 튼튼히 하였다. 동이(東夷)를 쳐서 황하 하류의 평원을 평정하고, 내정으로는 종법(宗法)과 봉건 등의 제도를 정리하였다. 유교의 예는 주공에 의해 시발하였다고 하며, 그 인격과 정치는 공자 이상으로 숭배되었다고 한다.}}이 예를 제정하면서 구수(九數)를 두었는데, 이 구수를 발전시킨 것이 바로 구장산술(九章算術)이다.

옛날 포악한 진나라 시황의 분서갱유 사건으로 경서(經書){{ 경서(經書) : 옛날 성현들이 유교의 사상과 교리를 써 놓은 책}}와 술서(術書){{술서(術書) : 주술이나 계산법에 관한 책}}가 흩어지고 없어졌다. 그 뒤 한나라 북평후(北平侯){{ 북평후(北平侯) : 옛 중국의 교육·문화의 중심 도시 북평을 다스렸던 제후}}였던 장창(張蒼), 대사농중승(大司農中丞){{ 대사농중승(大司農中丞) : 농업을 다스리던 관직}}이었던 경수창(耿壽昌) 등이 산술을 잘 하여 세상에 이름을 날렸다.

장창 등은 옛 문서 가운데 남은 자료에 근거하여 그 문서들을 알맞게 삭제하고 보완하였다. 이 때문에 그들이 엮은 자료를 살펴보면 옛것과 간혹 다른 점이 있기 하지만 대부분 유사하다.

나는 어려서부터 구장산술을 익혔다. 내가 커서 다시 음양의 나누어짐을 자세히 관찰하고 산술의 근원을 종합하여 깊은 이치를 탐구하던 끝에 마침내 그 뜻을 깨닫게 되었다. 이 때문에 감히 노둔함을 다하여 내가 본 것을 모으고, 거기에 주를 달아서 사물의 실상을 유추해 보니 각기 귀결되는 바가 있었다. 그러므로 나뭇가지가 비록 나뉘어 있다 해도 한 줄기에서 나온 것처럼 그 출발점은 같은 데 있음을 알 수 있다. 또 말로써 그 이치를 분석하고, 사물의 본체와 응용, 의도를 해석하였다. 바라건대 간략하면서도 두루 응용할 수 있고, 두루 소통되면서도 남용되지 않았으므로 이를 보는 자는 생각하여 얻을 것이 많을 것이다.

또 산술은 육례(六禮){{ 육례(六禮) : 예(禮), 악(樂), 사(射), 어(御), 서(書), 수(數) 등을 말함}}에 속해 있었기 때문에 옛날에 향음주례(鄕飮酒禮){{ 향음주례(鄕飮酒禮) : 온 고을의 유생이 모여 향약을 읽고 술을 마시며 잔치하던 예절}}의 예로써 손님을 맞이하고, 유능한 사람을 채용하고 공경대부의 자식들을 교육하는 데 쓰였다. 비록 구수(九數)라고는 하지만 미세한 부분까지 파고 들어가 탐구하고 헤아리는 것은 그리 쉬운 일이 아니다. 공식으로 전해 내려 온 것도 오히려 컴퍼스나 곱자, 자, 되 등을 이용하여 함께 입증해야 하는 것인 만큼 이것은 보통 어려운 것이 아니다. 더욱이 요즈음 세상에는 이것을 좋아하는 사람도 드물다. 그러므로 세상에 비록 재주와 학식에 통달한 사람이 많아도 아직은 여기에 다 이를 수는 없다.

주나라 관직인 대사도(大司徒)는 하지날 해가 중천에 오면 여덟자 길이의 표식을 세워 그 그림자가 1자 5치가 되면 이를 지중(地中)이라고 했다. 그 학설로부터 남쪽으로 해를 이고 있는 지점이 1만 5천리라고 말하는 것은 이와 같은 산술로 유추한 것이다. 살펴보니 구장은 사표(四表){{ 사표(四表) : 해의 그림자를 재는 기구}}를 세워 먼 곳을 바라 보고 또 나무를 통해 산을 바라 보는 산술이다. 모두가 사표의 끝과 사물의 경계를 서로 참조하여 보기 때문에 아주 막연한 것은 없다. 그러나 만약 구장이 이 같은 것이라면 장창 등의 산술은 모든 숫자를 두루 다 규명하기엔 부족한 것 같다.

나는 구수(九數)에 중차(重差)라는 용어가 있음을 찾아내고 그 취지를 참작해서 바로 여기에 확대적용해 보았다. 무릇 지극히 높은 것을 조망하고, 아주 깊은 것을 측정하여 그 먼 곳과 깊은 곳의 길이를 함께 알려면 반드시 중차를 활용해야 한다. 직각삼각형은 반드시 중차를 기준으로 삼아야 한다. 그러므로 중차라고 하는 것이다. 낙양성에 두 개의 표식을 세우는데 높이는 8자가 되게 하고 남북으로 각각 그 평지의 끝에 두어 같은 날 정오에 그림자를 재어 그림자의 차이를 공식으로 삼는다. 표식의 높이에 표식의 간격을 곱하면 실제의 크기가 되며 실제의 크기가 공식과 같이 일치한다. 얻은 값을 표식의 높이에 더하면 해와 땅의 거리가 된다. 남쪽 표식의 그림자를 표식 사이의 거리에 곱하면 실제거리가 나온다. 실제의 거리가 공식과 일치하면 남쪽 표식으로부터 남쪽의 해를 향하고 있는 아래 지점까지 이르게 된다.

남쪽에서 해를 향하고 있는 지점과 해와 땅의 거리가 직각삼각형이 된다. 그것으로 빗변을 구하면 해와 사람의 거리가 된다.

직경이 1촌인 대나무통으로 남쪽 해를 조망할 때 해가 대나무통의 공간에 가득 차면 사람의 눈과 대나무통까지의 거리를 긴변으로 삼고, 대나무통의 지름을 짧은변으로 삼는다. 이때 해와 사람 사이의 거리는 대고(大股 : 큰 직각삼각형의 긴변)가 되고, 이 큰 직각삼각형의 짧은변은 해의 직경이 된다.

이렇게 하면 비록 하늘이 둥근 활 모양이지만 그래도 잴 수 있다고 말할 수 있다. 그런데 또 하물며 태산의 높이와 강, 바다의 넓이는 말할 필요가 있겠는가?

내 생각에 지금의 사적(史籍 : 역사의 기록)에 천지 사물을 대략 거론하여 그 수(數)를 고찰하여 논하고, 그것을 기록에 실어 세상의 산술의 미(美)를 밝히고자 한다. 그래서 중차(重差)의 장을 만들고, 아울러 주해를 달아 옛사람의 뜻을 연구하여 구고(勾股)의 장 아래에 붙여 놓았다. 높이를 재는 것은 중표(重表 : 거리를 재는 기구)요, 길이를 측량하는 것은 누구(累矩)이다. 멀리 떨어진 거리는 제 방향에서 거리를 조망하고 또 널리 구하는 것은 사방에서 조망한다. 유추해서 확장해 가면 비록 길고 멀며 기이하게 감춰진 것도 들어가지 못할 것이 없다. 박식한 군자들이시여, 상세하게 보시길 바란다.

진(晋)나라 유휘가 서를 쓰다.

---

[동양 최고(最古)의 수학�� 구장산술(九章算術) ]