플라톤의 5성론(정다면체)- 천상세계를 이루는 제 5원소(정 12면체)

[뽀야]

각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 또 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체[凸多面體]를 말한다. 플라톤의 다면체라고도 한다.

• 정다면체의 각 모서리에 대하여 서로 이웃하는 두 면이 이루는 이면각(二面角)은 어떤 모서리에 대해서도 일정하다. 즉 볼록다면체의 각 모서리에 대한 이면각이 모두 같은 다면체는 정다면체이다. 정다면체에는 외접하는 구(外接球)와 내접하는 구(內接球)가 존재한다.
  ☞ 정다면체 겨냥도
  
  
• 정다면체의 면의 수가 n인 것을 정n면체라고 한다. 정다면체에는 정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체의 5종류뿐이다. 오른쪽 [표]는 각 정다면체의 꼭지점의 수, 모서리의 수, 면의 수 등을 표시한 것이다.
  ☞ 정다면체가 다섯가지 밖에 존재하지 않는 이유
  
  
• 5종류의 정다면체는 고대 그리스에서 발견되었으며, 유클리드의 《기하학원본》 최종권(제13권)에 기술되어 있다. 정사면체·정육면체·정팔면체는 오래전부터 알려져 있었지만, 정십이면체·정이십면체는 피타고라스학파(學派)에 의해 발견되었다.이 정다면체론은 《기하학원본》의 목표이며, 또 플라톤의 우주론의 지주(支柱)의 구실도 했다.

• 다면체에 있어서 쌍대는 주어진 다면체의 각면의 중점을 연결하여 만들어낸 새로운 다면체를 말한다. 쌍대의 특징은 원래 입체도형과 모서리의 개수는 같으나 꼭지점과 면의 개수는 각각 반대라는 것이다.
  
  
• 예를 들면, 정육면체(꼭지점:8개, 모서리:12개, 면:6개)의 쌍대는 정팔면체(꼭지점:6개, 모서리:12개, 면:8개)인데 이는 모서리의 개수는 같으나 면과 꼭지점의 개수는 반대임을 알 수 있다.
  
  
• 쌍대의 또다른 특징은 쌍대의 쌍대는 자기 자신이 된다는 것이다. 즉, 정육면체의 쌍대는 정팔면체이고, 정팔면체의 쌍대는 정육면체가 된다. 또, 정십이면체(꼭지점:20개, 모서리:30개, 면:12개)의 쌍대는 정이십면체(꼭지점:12개, 모서리:30개, 면:20개)이고, 정이십면체의 쌍대는 정십이면체가 된다.

정다면체

플라톤 다면체
(볼록 정다면체)

정사면체 · 정육면체 · 정팔면체
정십이면체 · 정이십면체

케플러-푸앵소 다면체
(오목 정다면체)

작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체
큰 십이면체 · 큰 이십면체

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정십이면체 ( Regular dodecahedron)

한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 총 열두 개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체.

정십이면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정백이십포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야 하므로 현실에서는 불가능하다.

정다면체중 하나인 정십이면체의 모습.

정이십면체(正二十面體, 영어: Icosahedron)는 한 개의 꼭짓점에 다섯 개의 면이 만나고, 20개의 정삼각형 면으로 이루어진 3차원 정다면체이다. 모서리의 수는 30개, 꼭짓점의 수는 12개이다.

아데노바이러스를 비롯하여, 많은 종류의 바이러스들이 정이십면체 모양이다.

정십이면체와 쌍대다면체이다.

또 정이십면체는 비틀어 늘린 오각쌍뿔로 생각해도 될 정도이고 윗부분은 오각뿔이며, 오각쌍뿔 사이에 엇정오각기둥을 끼워 넣어서 만들 수 있다.

그리고 정팔면체의 모서리를 쐐기꼴로 배치해서 만들 수도 있으므로 다듬은 정팔면체라고도 한다.

이면각의 크기는 약 138.19°이므로 한 모서리에 정이십면체 3개가 모이면 약 414.57°로 360°를 초과하기 때문에 볼록한 4차원 정다포체를 만들 수 없다.

물론 그렇다 하더라도 정이십면체 5개를 별모양으로 교차해서 만나게 하여 한 모서리에 5 / 2 {\displaystyle 5/2}

(이분의 오)개가 모이게 해준다면 정이십면체 백이십포체라는 4차원 오목 정다포체를 만들 수 있다.

두 곳은 마주보게 자르면 엇오각기둥이 되는다는 것을 이용해 엇정오각기둥의 경우 이면각의 크기를 측정해 보면 각각 3_3:138.17°, 3_5:104.75° (p_q는 p각형과 q각형이 만나는 모서리 사이의 이면각의 크기다) 라는 것을 알 수 있다.

단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		{5,3}
꼭지점(vertex, 0차원)	20
모서리(edge), 1차원)	30
면(face, 2차원)	12	정오각형
쌍대		정이십면체 {3,5}
포함 관계 또는 다른 이름		한 변의 길이가 aaa인 정십이면체가 있을 때 외접구의 반지름 =3+154a\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a43​+15​​a= 32φa\dfrac{\sqrt{3}}{2}\varphi a23​​φa[2] 모서리접구의 반지름 = 3+54a\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}a43+5​​a 내접구의 반지름 = 250+110520a\dfrac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a20250+1105​​​a[3] 총 모서리 길이(total edge length) = 30a30a30a 겉넓이(surface area) = 325+105a23\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2325+105​​a2 부피(volume) = 15+754a3\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3415+75​​a3≈7.6631a3

 정이십면체의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

• 정십이면체는 정이십면체와 쌍대(Dual) 도형이다.
• 정십이면체의 20개 꼭지점들 중 서로 이웃하지 않은 8개의 꼭지점을 골라 이으면 정육면체가 된다.
• 정십이면체의 20개의 꼭지점들로 4개의 꼭지점을 적절하게 골라 이으면 정사면체도 만들 수 있다.