Re:Re:피타고라스의 정리

[김동석]

피타고라스의 정리                                              

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직각 삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.

    이 정리는 매우 중요하며, 여러 곳에서 응용되고 있다. 이 정리는 BC 500년경, 그리스인 피타고라스가 발견하였다고 되어 있으나 특별한 경우는, 그보다 훨씬 이전에 알려져 있었다고, 독일의 유명한 역사학자 칸토르는 말하고 있다.

  <파피루스>를 보면, 이집트 사람은 BC 2300년경, 3 : 4 : 5 의 길이를 이용하여 직각을 만들었으며, 인도에서는 BC 400∼500 년경 15, 36, 39를 세 변으로 하는 삼각형으로 이미 직각을 만들었다고 한다. 중국에서는 3000년에 진자에 의해 발견되었다고 해서 진자의 정리로 부르기도 한다.

3² + 4² = 5²  ,  15² + 36² = 39²  

    그러나 피타고라스에 이르러 비로소 이 정리가 일반적으로 알려졌다고 한다. 우리들이 공부하는 기하학은 탈레스에 의해 최초로 조직화되었고, 피타고라스에 의해 일반인에게 교육되었다.  

    이 유명한 정리의 증명법은 피타고라스 이후 많은 학자들이 연구하여, 가능한 모든 방법이 전부 찾아진 것으로 생각되며 그 방법의 총 수는 280가지 그 이상이라고 한다.
    피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 닯은 직각삼각형의 변의 길이 사이의 비례관계를 이용하는 것과 같은 대수적인 증명법, 넓이의 비교를 통한 기하학적 증명법, 벡터를 이용한 증명법, 힘의 개념을 이용하는 동역학적인 증명법 등 대단히 많다. 또 이 정리는 일반 삼각형에서의 제2코사인법칙의 특별한 경우로 볼 수 있다.

     증명을 하면서 수학이 아름답다는 것을 다시 한번 깨닫는다. 하나의 문제를 이렇게 다양한 각도에서 바라보고 생각할 수 있다는 것이 그저 놀랍고 신기할 따름이다. 플레시나 자바를 이용하여 한 눈에 알아볼 수 있는 수학보다 좀 힘들지만 생각해서 알아내는 수학이 더 재미있다. 증명을 이리 굴리고 저리 굴리면서 어렵사리 이해해냈을 때의 그 감동을 어찌 말로 할 수 있을까!  생각해보자. 그리고 행복한 미소를 지어보자. 이렇게 많은 증명 중 몇 가지를 보기로 들어본다.

Proof  #1. 유클리드의 증명 -  유클리드 원론 1권의 47번째 명제로 '목수의 정리'로 알려진 피타고라스 정리의 고전

Proof  #2. 피타고라스의 증명(1)

Proof  #3. 피타고라스의 증명(2)

Proof  #4. 바스카라의 증명 - 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라의 증명 "보라!"

Proof  #5. 페리갈의 증명(1) - 영국인 주식 중매인이자 아마추어 수학가인 헨리 페리갈의 증명

Proof  #6. 페리갈의 증명(2) - 헨리 페리갈의 두번째 증명, 코라의 증명

Proof  #7. 레오나르도 다 빈치의 증명

Proof  #8. 도형 분할을 이용한 증명(1)

Proof  #9. 아나리지의 증명 - BC 900년경 아나리지 (Annairizi)가 증명한 방법.

Proof #10. 캄파의 증명 - 캄파(Campa)가 1902 년에 발표한 증명 방법.

Proof #11. 도형 분할을 이용한 증명(2)

Proof #12. 도형 분할을 이용한 증명(3)

Proof #13. 도형 분할을 이용한 증명(4)

Proof #14. 호킨스의 증명 - 1909년 호킨스(Hawkins)가 증명한 방법

Proof #15. 가필드의 증명 - 1876년 미국의 20대 대통령 가필드의 증명으로 사다리꼴의 넓이를 이용함

Proof #16. 월리스의 증명 - 17세기 영국의 수학자 월리스의 삼각형의 닮음을 이용한 증명

Proof #17. 원을 이용한 증명(1) - 할선과 접선의 길이 사이의 관계를 이용한 증명

Proof #18. 구고현의 정리 - 신라 시대 때 천문학 교재 "주비산경"에  나와 있는 중국의 피타고라스 정리

Proof #19. 원을 이용한 증명(2)

Proof #20. 유클리드의 증명(변형) - H.Eves의 Mathematical Circles(MAA, 2002, pp.74-75)에 있다.

Proof #21. 삼각형의 닮음을 이용한 증명(1) - 삼각형의 닮음을 이요한 증명으로 일반적인 증명

Proof #22. 피타고라스 정리의 파푸스의 확장 - 고대 그리스 수학자 알렉산드리아의 파푸스의 증명

Proof #23. 사비트 이븐 쿠라의 증명(1) - 피타고라스 정리의 또 다른 확장

Proof #24. 월리스의 증명의 변형 - Proof #16 증명의 변형

Proof #25. 폴야의 일반화 - G. Polya의 유추를 통한 피타고라스 정리의 일반화

Proof #26. 폴야의 제안의 이용(1) - 폴야(G. Polya)가 제안한 아이디어를 이용한 증명

Proof #27. 폴야의 제안의 이용(2) - 폴야(G. Polya)가 제안한 아이디어를 이용한 증명

Proof #28. 톨레미의 정리를 이용한 증명 - 프톨레마이오스의 정리를 이용한 증명

Proof #29. 원을 이용한 증명(3) - 할선과 접선의 길이 사이의 관계를 이용한 증명

Proof #30. 사비트 이븐 쿠라의 증명(2) - 이 증명은 Proof #20 과 공통점이 있다.

Proof #31. B.F.Yanney의 증명 - 이 증명도 Proof #20 과 비슷하다.

Proof #32. 도형 분할을 이용한 증명(5)

Proof #33. 도형 분할을 이용한 증명(6)

Proof #34. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(1) - 3세기경 중국의 유휘가 도형 분할을 이용하여 증명한 방법

Proof #35. 박부성의 도형 분할을 이용한 증명 - 박부성의 말이 필요없는 멋있는 증명

Proof #36. Ann Condit 의 증명 - 미국의 고등학생 앤 콘디트 의 증명

Proof #37. Michelle Watkins 의 증명 -  North Florida 대학의 한 학생인  미쉘 왓킨스 의 증명

Proof #38. Douglas Rogers 의 증명 - Proof #37의 다른 접근으로,  더글라스 로저스의 증명

Proof #39. Shai Simonson 의 증명(1) - 캠브리지 스톤힐 대학의 샤이 시몬슨 교수의 증명 첫번째

Proof #40. Shai Simonson 의 증명(2) - 캠브리지 스톤힐 대학의 샤이 시몬슨 교수의 증명 두번째

Proof #41. Böcher 의 증명 - J. E. Böttcher 의 도형 분할을 이용한 WWP

Proof #42. Oliver 의 증명 - 직각삼각형에 내접하는 원을 이용한 증명

Proof #43. Sutton 의 증명 - J. Barry Sutton의 삼각형의 닮음을 이용한 증명

Proof #44. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(2) - 3세기경 중국의 유휘가 도형 분할을 이용하여 증명한 방법

Proof #45. Geoffrey Margrave 의 증명 - 제프리의 간단한 증명