Re:적분 넓이에 관해서~~~

--------------------- [원본 메세지] --------------------- 우리들은 일상생활에서 함수의 넓이를 구하려면 적분을 하지 않습니까? 계수 한칸 올리고 여차저차 해서 숫자 대입하고 하는데, 그런데, 왜 넓이를 구하는데, 적분을 사용하죠?? 보통 습관적으로만 하다가 갑자기 궁금해서 올렸습니다..^^;; 그리고 예를 들어서 y=3x² 라는 함수가 있다고 합시다. 여기서 1~2 사이의 범위의 넓이를 구한다고 합시다.. 그럼 이걸 적분하면 F(x)=x³+C (C는 적분상수) 여기다가 1과 2를 대입해서 넓이를 구하는거지 않습니까?? 그런데, 이걸 대입해서 푼다는 것이 F(2) - F(1) 값을 구하는 것으로써 g(x)=x³+k (k는 상수)라는 함수에서 g(2) - g(1) 라는 거랑 무슨차이죠??@.@;; 적분의 개념에 대해서 약간 알송달송한 것 같네염...ㅋㅋㅋ 근데 너무 걱정하지 마세요. 님이 얘기하신 적분의 기본정리라 하는 그 정리를 제대로 이해하고 있는 학생은 들물껍니다. 아마 서울대에 입학한 학생이라 할찌라도 정확하게는 잘 감을 못 잡는 학생도 있을꺼에요. 워낙 간단한 정리라 이해하지 않아도 암기만으로도 해결될 수 있는 문제이니 말입니다. 그럼 약간 허접할 수 있지만 저가 이해한 미.적분을 얘기해 드리겠습니다. 정확하게 수학적 개념들을 동원할 수는 없구 저가 아는 범위내에서 쉽게 얘기해 드릴게요 일단은 미분이랑 적분을 서로 분리하십시요.. 학교에서 배우기에는 서로 역의 관계에 있다고 하는데.. 맞는 말입니다. 하지만 우리가 흔히 알고 있는 '역'이라는 것과는 잘 연결이 안 되져? 3의 역수는 1/3. 그리구 역함수...등..이런 것과는 좀 거리가 있는 것 같져... 그래서 일단은 둘을 서로 다른 영역의 것이라고 생각하십시요.. 사실 미분과 적분이 서로 동시에 발견되어서 처음부터 역의 관계에 있다고 보지는 않았습니다. 수학적으로 극학을 이용해서 체계적으로 정리하다 보니깐 그런 관계를 발견하게 된 것이져 1.미분이야기 처음에는 주어진 그래프의 기울기를 구하는 방법으로 탄생했다고 생각합니다. 흔히들 알고 있는 뉴턴과 라이프니츠가 미,적분을 발견 하기 이전에 페르마가 먼저 이것을 생각했지요.(물론 지금과 같은 고등학교수학에서 기울기는 대부분 평면좌표에서 많이 다루져... 알기도 데카르트가 평면좌표를 제일 먼저 발견했다고 하는데 페르마가 먼저 발견했다고 보는 것이 좋겠지요) 주어진 함수(고등학교 범위내에서 대수함수와 초월함수)의 주어진 점에서의 기울기를 구하는 방법은 평균기울기를 구해서 극학을 취해주면 되져? 그렇습니다. 교과서에도 자세히 잘 나오고 있져..^^ 물론 미분이 물리학에서도 다른 의미가 있지만 그냥 수학에서는 기울기를 구하는 것이 전부라고 생각하시면 되실껍니다. 2.적분이야기 사실 적분은 수학보다는 물리에서 먼저 그 필요에 의해서 발견된 테크닉이라고 생각하십시요. 실질적으로는 뉴턴과 라이프니츠가 그 방법(적분)를 발견하게 되었다고 생각하면 될껍니다.(허나 오래 전에 아르키메데스라는 사람이 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구했다는 말이 있습니다. 물론 적분이라는 방법을 사용했구여) 그러나 여기에서는 수학에 관련된 것만 얘기하면 그냥 넓이를 구하는 방법이라고 생각하십시요(그냥 단순화를 위해서 이런 얘기를 했지 수학에서 적분이 넓이를 구하는 것만을 위해서 이용되지는 않아요) 음... 힘들군여..ㅠ.ㅠ 근데 넓이가 뭔가요? 사실 넓이는 직선으로 둘러싸인 직사각형에서 정의가 됩니다. 그래서 삼각형, 사각형은 간단하게 너비에다가 높이를 곱하면 되져 그러나 곡선으로 둘러싸인 부위의 넓이는 어떻게 구하져?? 물론 정확한 넓이는 있을 꺼에요 하지만 그 넚이를 구하기에는 곡선으로 둘러싸여 있어서 원래 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 공식으로는 직접 구하지 못해염. 그래서 그 넓이를 구하기 위해서 그 방법으로써의 적분이 있는 것입니다. 솔직히 말해서 그 방법의 기본 아이디어는 졸라 무식한 방법입니다. ^^;; 초등학교 다닐 때 지도 위의 호수의 넓이를 간단하게 짐작하는 방법에 대해서 배웠을 것입니다. 호수위에 폭이 1인 평행선을 가로, 세로로 그으서 한변의 길이가 1인 정사각형을 만든다음에 호수 안에 있는 정사각형의 갯수를 헤알리져. 그리구 호수의 경계에 있는 사각형은 온전히 호수 안에 포함되지 않기에 '어림짐작'으로 요기 조금 저기 조금 있는 부위를 더해서 정사각형 한개라고 헤아리면서 호수의 넓이를 구한 적이 있을 것입니다. 적분의 아이디어를 이런거에요 졸라 귀찮고 번거로는 짓이져. 사실 적분도 구하고자는 도형을 직사각형으로 분할을 해요 그리고 그 직사각형의 넓이를 더하는 식이져. 근데 이상적인 사람이라면 이렇게 구한 넓이도 결국에는 오차를 가진다는 것을 알것입니다. 정확한 넓이는 아니져 근데 극한이라는 개념을 이용하면 왜 이런 무식한 방법으로 넓이를 정확하게 구할 수 있을 지 증명해 낼 수 있습니다. 왜 그런지는 한번 생각해 보세염... 3.미분과 적분의 관계 서로 별개였던 미분, 적분이 적분의 기본 법칙으로 연결이 되었다고 생각하십시요. 그리고 그 관계에 대해서 설명할게염. 사실 고등학교 수학을 공부하면 미분과 적분의 관계와 비슷한 관계를 지닌 것이 있습니다. 미.적분에서 극한을 빼버리면 계차수열을 다룰 때랑 비슷해 집니다. 계차수열이 뭔지는 알져? 아마 적분을 배우기에 수열에 대해서는 다 배웠꺼라 생각하겠습니다. a1, a2, a3, a4, a5, a6,.......... aN 이라는 수열이 있을 때 각 이웃한 항의 차로 하나의 수열을 만들 수 있습니다. a2-a1=b1 a3-a2=b2 a4-a3=b3 .... aN-aN-1=bN-1 이렇게 하면 bN이라는 수열을 만들 수 있습니다. (우리가 인테그랄 이라는 부르는 기호는 라이프니츠가 만들었구 's'를 쭉 늘려가지고 만들었어염 영어로 쉽게 s는 sum의 약자라고 생각하세요 그냥 더한다는 얘기져. 그리구 시그마의 뜻과 같져. 사실 인테그랄은 그 안에 두가지 의미가 있습니다. 시그마의 뜻인 더한다라는 거랑 극한을 취한다는 두가지 입니다.) 다시 계차 수열로 돌아가서... 원래 수열 aN과 그 계차수열 bN은 다음과 같은 관계에 있습니다. aN=a1+시그마bN (표현하기가 어려워서 그렇지 이해는 되져?? 이해했을꺼라 믿쑵니다...^^;;;) 근데 위 식에서 a1을 좌변으로 넘기면 aN-a1=시그마bN ----------------------------(1) 이 됩니다. 근데 이꼴이 적분의 기본 정리에 나오는 그랑 비슷하지 않나요?? F(b)-f(a)=인테그랄(a~b)f(x)dx--------------(2) (위 식의 우변은 함수 f(x)가 x=a,x=b, y=f(x), x축으로 둘러싸인 넓이와 동치입니다. 단, f(x)은 0이상) (1)식에서 수열 bN의 각 항들을 더한 것을 알 수 있는 식입니다. 실질적으로 bN의 모든 항들을 더하는 것 보다 (1)식을 이용하면 더 쉽게 그 결과를 알 수 있습니다. aN에서 a1을 빼기만 하면 되잖아염...ㅋㅋㅋㅋ 설마 빼기를 못 하겠어염... 적분을 배우는데. 근데 좀 이상한 느낌이 안 드나요??? bN항들을 다 더한 거랑 수열 aN에서 두항의 차를 구한 것이 같다는 사실 말입니다... 네... 짐작하신대로 전혀 이상한 것이 없습니다...ㅡ.ㅡ;; 뭐가 이상해요? 전혀 이상한 거 없져? 이미 aN이라는 수열 내에 bN수열의 정보들이 모조리 들어 있기에 가능합니다. 이와 비슷한 논리로... (2)식을 한번 보져 이미 앞에서 인테그랄 안에는 두가지 의미가 있다고 했고... 미적분의 관계랑 계차수열의 관계는 극한만 빼만 같다고 했져? 그렇습니다... 그럼 (2)식에서 극한을 빼리져... 그리구 (1)식을 약간 다음과 같은 식과 같은 식이 되어 버립니다. aN+k-aN=시그마(N~N-k-1)bN 요약하면, 넓이라는 것은 무식하게 그 안에 직사각형을 만들어 그사각형의 각 넓이를 더하는 방법으로 구합니다.(극한은 그 정확한 값을 알수 있게 해 줍니다.) (2)식을 보면 f(x)가 높이고 dx가 폭에 해당하면서 f(x)dx는 직사각형의 넓이를 의미합니다. 그리구 인테그랄 안에 시그마의 의미인 sum이 있다고 했으니... 극한만 빼면 완존히 (1)식의 우변과 같은 꼴이 됩니다. 그럼 이 값은 어떻게 구할까요 그냥 구해서 더할까요? 그런 무식한 계산보다는 계차수열에서의 각 항의 합을 구하는 식으로 어떤 함수의 두값의 차만 구하면 됩니다. 달랑 (2)으로는 알 수 없지만 이미 함수 y=F(x)에는 우리가 구하고자는 넓이의 정보가 모조리 들어 있기 때문입니다. 이 점이 잘 믿어지지가 않나요? 계차수열처럼 쉽게 생각하십시요. 갑자기 여기에 적분이 등장해서 난감했나요? 여러분은 이미 미,적분이 관련이 있다고 배웠습니다. 그리구 적분은 넓이랑 관련이 있다고 배웠구 이미 이런 생각으로는 (2)식이 잘 이해가 되지 않고 넓이를 구하는데 왜 이런식이어야만 하는지 잘 감이 오지 않을꺼에요. 원래는 미,적분은 따로 놀던 넘들이었습니다. 그러나 수학자에 의해서 적분의 기본정리에 의해서 연결이 됩니다. 어떤 함수로 둘러싸인 부위의 넓이를 구하는 과정이 (2)식 처럼 간단한 방법이 발견되었는데 (2)식의 좌변을 계산할려구 하니 이 방법이 미분을 이용해서 기울기를 구하는 방법과 반대가 되었습니다...그래서 미,적분은 역의 관계에 있게 되어버린 것이고요 이해가 되셨으면 좋겠네요... 그렇지 않다면 저의 표현능력에 문제가 있었겠지요..ㅠ.ㅠ 참고로 말하면 어떤 수열의 계차수열은 미분과 비슷한 것이 있어요 한번 볼까요? y=x^t 을 미분하면, y`=tx^(t-1)이 됩니다. 그리구 aN=N^t라는 수열이 있을 때 이 수열의 계차 수열 bN은 bN=aN-a(N-1) =n^t-(n-1)^t (나중에 이항정리를 배우면 (n-1)^t를 전개할 수 있어염 (n-1)^t=n^t-t*n^(t-1)+nC2*n^(t-2)-.......(-1)^t 가 됩니다.) 결국 bN=t*n^(t-1)+R (단, R은 나머지 떨거지.. 위 식에서 3째항부터 끝까지 식에서 부호만 바꾸어주면 되겠져) 뭐.. 계차수열은 뒤에 이상한 것이 달라 붙지만 첫항은 y=x^t의 도함수랑 같은 꼴입니다. 정확하게 얘기하면 어떤 함수 y=f(x)로 둘러싸인 넓이를 구할때 폭이 1인 직사각으로 분할할 때 각각의 직사각형의 넓이를 bN이라고 하면, 오차가 많이 있을 수도 있지만 그 둘러싸인 넓이를 각각의 직사각형의 넓이의 합으로 본다면 시그마bN이 됩니다. (bN이라는 수열은 함수 f(x)에 자연수를 대입한 값이 되겠져) 그리구 bN이 계차수열이 되겠끔하는 수열 aN을 구해보면 시그마bN은 쉽게 그 값을 알 수 있습니다. 다시 한번 얘기하지만 극한을 도입하면 그 오차를 없앨 수 있습니다. bN이 계차수열이 되겠끔하는 수열 aN을 구하는 과정이 고등학교수학에서 흔하게 얘기하는 '적분'이 되겠져... 사실은 적분은 무식하게 더하는 시그마bN에서 나왔다는 점을 잊지 말아 주세요