유클리드의 기하학(연역적 수학)원론(Στοιχεῖα Stoikheîa)

[dhleepaul]

요소의 성경적 의미:

στοιχεῖον; 원칙, 기본 원칙; 자연의 원소; 기본 진리 

GK 5122 · 스트롱의 4747 · 형태: n-2c · 주파수: 7배

자연 우주의 원소, 베드로후서 3:10, 12; 어떤 지적·종교적 체계의 원소나 기초, 갈라디아서 4:3, 9; 골로시음 2:8, 20; 히브리서 5:12* 스토이케이온이란 말은 성경에서 쓰인 것보다 더 먼저 희랍에서 쓰인 것으로 보인다. 

유클리드의 기하학 원리

파피루스 옥시린코스 29, 유클리드의 『원론』 단편으로, 약 서기 3세기에서 4세기경으로 추정된다.
옥시린코스에서 발견된 도표는 제2권 5호 제안과 함께 있다.

유클리드

고대 그리스어

유클리드 기하학, 수론, 비가환성

수학

기원전 약 300년

13권

원소-원론(고대 그리스어: Στοιχεῖα Stoikheîa)는 기원전 약 300년에 고대 그리스 수학자 유클리드가 쓴 수학 논문이다.

『원론』은 현존하는 가장 오래된 대규모 연역적 수학 연구서입니다. 키오스의 히포크라테스, 크니두스의 유독소스, 테아이테토스 등 초기 수학자들의 연구를 바탕으로 한 『원론』은 평면 및 입체 유클리드 기하학, 기본 정수론, 비가환성 등 정의, 공리, 기하학적 구성, 정리와 그 증명을 포함한 13권의 책 모음집이다. 여기에는 피타고라스 정리, 탈레스 정리, 최대공약수 유클리드 알고리즘, 무한히 많은 소수가 존재한다는 유클리드 정리, 그리고 정다각형과 다면체의 구성이 포함됩니다.

가장 성공적인 교과서로 자주 불리는 이 원론은 기하학 입문 수업에 계속 사용되고 있습니다. 중세 시대에 아랍어와 라틴어로 번역되어 중세 이슬람 세계와 서유럽의 수학에 큰 영향을 미쳤고, 논리학과 현대 과학의 발전에 중요한 역할을 했으며, 그 논리적 엄밀함은 19세기까지 능가되지 않았다.

배경

유클리드의 원론은 현존하는 가장 오래된 대규모 연역적 수학 연구입니다. [1] 유클리드 이후 약 7세기 후에 살았던 그리스 수학자 프로클로스는 원론 주석에서 이렇게 썼다: "유클리드는 원론을 모아 유독소스의 많은 정리를 수집하고, 테아이테토스의 정리를 완성했으며, 선조들이 다소 느슨하게 증명했던 것들을 불가피하게 증명했다." [a] 학자들은 『원론』이 주로 초기 그리스 수학자들의 저서[2] 에우독수스, 키오스의 히포크라테스[b] 탈레스, 테아이테토스 등에 기반한 명제들의 모음이라고 믿으며, 플라톤과 아리스토텔레스가 언급한 다른 정리들도 있다. [3] 유클리드의 연구를 그의 선배들과 구분하기는 어렵다. 특히 원론이 본질적으로 훨씬 이전의 지금은 사라진 그리스 수학을 대체했기 때문이다. [4] 오늘날 이용 가능한 원론 버전에는 아마도 4세기 알렉산드리아의 수학자 테온과 같은 후대 편집자들에 의해 추가된 '포스트 유클리드' 수학도 포함되어 있다. [3] 고전학자 마르쿠스 아스퍼는 "유클리드의 업적은 인정된 수학적 지식을 논리적인 질서로 조합하고 빈틈을 메우기 위한 새로운 증명을 추가한 것"이라고 결론지었으며, 역사학자 세라피나 쿠오모는 이를 "결과의 저장소"라고 묘사했다. [5][3] 그럼에도 불구하고 역사학자 미할리스 시알라로스는 이 책의 "놀라울 정도로 촘촘한 구조"가 유클리드가 단순히 다른 이들의 저작을 편집한 것이 아니라 스스로 『원론』을 썼음을 시사한다고 평가한다. [6]

원론의 일부가 특정 수학자에게 상세히 귀속되는 것은 여전히 학계에서 논쟁의 대상이다. W. W. 라우스 볼에 따르면, 피타고라스는 아마도 제1권과 제2권의 출처였을 가능성이 높으며, 제3권은 키오스의 히포크라테스, 제5권은 크니두스의 유독소스였으며, 제4권, 제6권, 제11권, 제12권은 아마도 다른 피타고라스학파나 아테네 수학자들의 작품일 가능성이 높다. [7] 『원소들』은 히포크라테스 오브 키오스의 이전 교과서에 기반했을 가능성이 있으며, 히포크라테스는 문자를 형상에 사용하는 방식을 처음 도입했을 수도 있다. [8] 윌버 크노어는 『원론』 1, 3, 6권의 자료가 키오스의 히포크라테스 시대에 기원했으며, 2권, 4권, 10권, 13권의 자료는 키레네의 테오도루스, 테아이테토스, 유독소스의 후기 시기에 기원했다고 본다. 그러나 이 역사 제안은 반 데르 바에르덴에 의해 비판받았는데, 그는 제1권부터 제4권까지가 훨씬 이전의 피타고라스 학파에 기인한다고 믿었다. [9]

히포크라테스 오브 키오스, 테우디우스 오브 마그네시아, 레온이 쓴 유사한 작품들도 있으나 현재는 분실되었다. [10][11]

목차

유클리드 원론 요약 내용 (히스 판)책IIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXIIXIII총점정의전설일반적인 개념명제

23	2	11	7	18	4	22	–	–	16	28	–	–	131
5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

The Elements는 때때로 오해되는 것처럼 기하학만을 다루지 않습니다. [4][12] 전통적으로 평면 기하학(제1권–6권), 기본 정수론(제7권–X권), 입체기하학(제11권–XIII권)의 세 주제로 나뉘지만, V권(비례)과 X권(비가환성)은 이 체계에 정확히 부합하지는 않는다. [13][14] 이 텍스트의 핵심은 전반에 흩어져 있는 정리들이다. [15] 아리스토텔레스의 용어를 사용하면, 이들은 일반적으로 두 가지 범주로 나눌 수 있다: "1차 원리"와 "2차 원리". [16] 첫 번째 그룹에는 "정의"(고대 그리스어: ὅρος 또는 ὁρισμός), "가정"(αἴτημα), 또는 "공통 개념"(κοινὴ ἔννοια)으로 표기된 명제들이 포함된다. [16][17] 공리(즉, 공리)와 일반적인 개념들은 오직 제1권에만 등장한다. [4] 프로클로스에 대한 면밀한 연구는 원론의 옛 버전을 따르면, 용어가 달라졌을 뿐 각 정의를 '가설'이라고 부른 것으로 보인다(ὑπόθεσις)와 각 공통 개념은 "공리"(ἀξίωμα)입니다. [17] 두 번째 그룹은 명제들로 구성되며, 수학적 증명과 도표와 함께 제시된다. [16] 유클리드가 원론을 교과서로 의도했는지는 알려져 있지 않다,[6] 이후 널리 사용되었음에도 불구하고 말이다. [18] 전체적으로 작가의 목소리는 일반적이고 비인격적이다. [3]

유클리드의 공리와 일반적인 개념s[19]아니.전설아니.일반적인 개념

다음과 같은 내용을 가정하자:
1	어느 지점에서든 어느 지점으로 직선을 그리는 것.
2	직선 안에 연속적으로 유한한 직선을 생성하는 것
3	임의의 중심과 거리를 가진 원을 설명하는 것.
4	모든 직각이 서로 같다는 것.
5	만약 두 직선을 따라 직선이 떨어질 때 같은 변의 내부 각이 두 직각보다 작아진다면, 두 직선이 무한히 생성될 경우, 두 직선이 두 직각보다 작은 쪽에서 만나게 된다[c]
1	같은 것에 해당하는 것들도 서로 같다
2	만약 같은 값에 같은 값을 더하면 전체는 같다
3	만약 등에서 뺄 값이면 나머지 값은 같다
4	서로 일치하는 것들은 서로 같다
5	전체가 부분보다 크다

제1권부터 제6권까지: 평면 기하학

제1권

유클리드의 5번째 공리: 직선 g는 두 직선 h와 k 위에 위치하여 내부 각도가 α고 β 합이 180° 미만으로 되므로, 직선 h와 k는 각과 같은 쪽에서 S에서 만나야 한다.

제1권, 명제 I: 변 길이 AB를 가진 정삼각형의 구성, 직선자와 나침반.

피타고라스 정리 증명에서 나온 신부의 의자, 번의 1847년 판본에 사용된 컬러 버전. 증명은 검은색과 노란색 영역이 같으며, 빨강과 파랑 영역도 동일함을 보여줍니다.

원론 제1권은 전체 텍스트의 기초가 됩니다. [4] 점, 선, 각도, 다양한 정다각형 등 기본 기하학적 개념에 대한 20가지 정의로 시작합니다. [20] 유클리드는 이어서 10가지 가정(표 오른쪽을 참조)을 제시하며, 이를 다섯 가지 공리와 다섯 가지 일반적인 개념으로 묶었다. [21] 이 가정들은 이후 모든 정리의 논리적 기초를 제공하고, 즉 공리적 체계로서 기능하도록 의도되었다. [22] 일반적인 개념은 오로지 크기, 즉 기하학적 물체의 크기 비교에 관한 것입니다. [23] 현대 수학에서는 이 크기들을 호 길이, 각도 또는 면적을 측정하는 실수로 취급하여 수치적으로 비교하지만, 유클리드는 대신 이 크기를 숫자로 해석하지 않고 기하학적 연산을 이용해 형태의 크기를 비교하는 방법을 찾았다. [24] 처음 네 가지 공제는 비교적 명확하지만, 다섯 번째는 그렇지 않습니다. 이 공리는 평행 공리로 알려져 있으며, 다른 네 가지 공리와의 독립성 문제는 비유클리드 기하학 발전으로 이어지는 긴 연구 흐름의 중심이 되었다. [23]

제1권에는 48개의 명제도 포함되어 있는데, 이들은 대략적으로 다음과 같이 나뉜다: 평면 기하학과 삼각형 합동의 기본 정리와 구성(1–26), 평행선(27–34), 삼각형과 평행소변형의 면적(35–45), 그리고 피타고라스 정리와 그 역(46–48). [23]

5호 명제는 등변삼각형의 밑각이 같다는 주장으로, 중세에 pons asinorum(당나귀 다리)으로 알려지게 되었으며, 이를 증명할 수 있는 수학자들과 증명하지 못하는 바보들을 구분한다.[25] 3세기 파피루스 옥시린쿠스 29호에는 명제 8–11과 14–25의 조각들이 포함되어 있다. [d] 제1권의 마지막 두 명제는 시알라로스가 "놀라울 정도로 섬세하다"고 묘사한 피타고라스 정리의 가장 오래된 현존 증명을 구성한다. [16] 피타고라스 정리의 도형은 신부의 의자, 풍차, 공작의 꼬리 등 여러 이름으로 잘 알려져 있다. [26]

제2권

유클리드가 제2권 제안 11에서 선분분 AB를 황금비율로 세분화하고, 전통적인 도표에 호를 추가한 것입니다. 이 구성은 정사각형 ABCD의 변 AC의 중점인 E를 찾고, 반지름 EB의 원과 교차하는 직선 AC를 만들고, 정점인 정점 H를 세분점으로 하는 두 번째 정사각형 AFGH를 구성한다.

두 번째 책은 면적에 초점을 맞추며, 이는 주어진 도형과 같은 면적의 정사각형을 구성하는 것을 의미한다. 이 개념은 코사인 법칙의 기하학적 전신을 포함하며, 임의의 직사각형들의 직차로 절정에 이른다. [23] 19세기 후반과 20세기에 일부 수학사학자들은 제2권을 "기하학적 대수"로 해석했는데, 이는 길이와 면적의 기하학적 개념에 기반한 선형 및 이차 방정식의 대수적 조작을 이항 정리의 이차 경우에 중심으로 한 표현이다[27][28]. [23] 이 해석은 1970년대부터 많은 논쟁이 있었으며; [28] 비평가들은 이러한 묘사를 시대착오적이라고 지적하는데, 초기 대수학의 기초조차 수세기 후에 이루어졌기 때문이다. [16] 그럼에도 불구하고, 기하학에 관한 진술로 받아들여 이 책의 많은 명제들은 현대 수학에서는 불필요하며, 대수학의 사용으로 흡수될 수 있다. [29]

제2권의 11호 제안은 주어진 선분을 극단적인 비율과 평균 비율로 세분화하는데, 이를 현재는 황금비율이라고 부른다. 이 비율을 포함하는 여러 명제 중 첫 번째로, 이후 제4권에서는 황금 삼각형과 정칙 오각형을 구성하는 데 사용되었고, 제13권에서는 정칙 십십면체와 정칙 이십면체를 구성하는 데 사용되었으며, 제6권 제안 30에서는 비율로 연구되었다. [30][31]

제3권

제3권은 11개의 정의 목록으로 시작하여 원과 그 성질에 관한 37개의 명제로 이어진다. 명제 1은 원의 중심을 찾는 것입니다. 명제 2부터 15까지는 화음과 교차 원, 그리고 접선 원에 관한 것입니다. 원에 대한 접선은 명제 16번부터 19번까지의 주어이다. 다음은 내접각(20부터 22까지)과 코드, 호, 각(23부터 30까지)에 관한 명제들이며, 여기에는 중심각에 내접하는 명제 20과 관련된 내접각각(inscribed angle) 정리가 포함됩니다. 명제 31부터 34까지는 원의 각도에 관한 것으로, 반원에 내접된 각도는 직각이라는 탈레스 정리(명제 31의 일부)를 포함한다. 나머지 명제들인 35번부터 37번까지는 교차하는 화음과 접선에 관한 것이고; 35호 제안은 교차 화음 정리이고, 36호 호는 접선-일선(tangent–secant) 정리이다. [32]

제4권

제4권은 서로 다른 다각형에 대해 네 가지 문제를 체계적으로 다룹니다: 원 안에 다각형 내접하기, 원 주위를 다각형을 내접하기, 다각형 내 원을 내접하기, 그리고 다각형 주위에 원을 내접하는 문제입니다. [33] 이 문제들은 삼각형에 대해 순서대로 풀리며, 4, 5, 6, 15변을 가진 구성 가능한 정다각형(즉, 직선자와 나침반 구성을 가진 다각형)에 대해 해결된다. [4]

제5권

이전 네 권과는 독립적인 V권은 크기 비율(직관적으로 한 형태가 다른 도형에 비해 얼마나 크거나 작은지 의미)과 비율 비교에 관한 내용이다. [34] 히스와 다른 번역가들은 기호대수학에서 첫 여섯 명제를 분배 법칙과 곱셈의 결합법칙의 형태로 공식화했다. 그러나 레오 코리는 이것이 시대착오적이고 오해의 소지가 있다고 주장하는데, 유클리드는 크기를 숫자로 다루지 않았고, 숫자에서 숫자로의 비율을 이진 연산으로 취하지 않았기 때문이다. [35]

제5권의 많은 부분은 아마도 이전 수학자들, 아마도 유독수스[16]로부터 얻은 것이었으나, V.16과 같이 "교대"에 관한 명제들(만약 a : b :: c : d, a : c :: b : d)을 다루는 명제들은 유독수스보다 더 이전일 가능성이 높다. [36]

크리스토퍼 지먼은 제5권이 크기 더하기 하에서의 비율 거동에 집중하고, 그 결과 비율의 비를 정의하지 못한 점이 그리스인들이 십자비(중심 기하학과 사영기하학)와 같은 중요한 개념을 발견하지 못하게 한 결함이라고 주장했다. [37]

제6권

VI권은 평면 기하학 맥락에서 V권의 비율 이론을 사용하며,[4] 특히 유사한 도형의 구성과 인식에 관여한다. 이 작품은 거의 전적으로 첫 번째 명제에 기반합니다: "같은 높이 이하의 삼각형과 평사각형은 서로 밑면에 가깝다." 즉, 두 삼각형이 같은 높이를 가지면, 그 면적의 비율은 두 밑면 분간의 길이 비율과 같다(같은 높이의 두 평행사변형도 마찬가지이다). 이 명제는 길이의 비율과 면적의 비율 사이의 연결을 제공합니다. [39] 제안 25는 임의의 두 다각형으로부터 첫 번째와 유사하고 두 번째와 같은 면적을 가진 세 번째 다각형을 구성한다. 플루타르코스는 이 구성의 원인을 피타고라스에게 귀속시키며, 이를 '피타고라스 정리보다 더 미묘하고 과학적'이라고 평가한다. 유명한 고대 그리스의 큐브 두 배 문제는 나침반과 직선자로 불가능한 것으로 알려져 있으며, 이는 특정 형태와 부피를 가진 도형을 구성하는 유사한 3D 문제의 특수한 경우이다. [40] 책은 처음과 마찬가지로 두 가지 유형의 비율, 즉 각도 비율과 원호 길이 비율을 제안 33에서 연결하며 끝난다. [41]

7권부터 10권까지: 수론

수론, 즉 자연수 산술 이론은 7권부터 X권까지에서 다루고 있습니다. 7권은 패리티(짝수인지 홀수인지), 소수 및 기타 산술 관련 개념에 대한 22가지 정의로 시작합니다. [4] 이 정의들 중 첫 번째는 단위(현대 용어로 숫자 1)에 관한 것이고, 두 번째는 "수는 단위로 이루어진 다수"라고 말합니다; [42] 이는 일반적으로 유클리드에게 1이 숫자가 아니며, 자연수는 2에서 시작한다는 의미로 해석된다. [43]

제7권

제7권은 기본 수론을 다루며, 39개의 명제를 포함하고 있습니다. 이 명제들은 대략적으로 다음과 같이 나눌 수 있습니다: 유클리드 알고리즘, 수가 상대적으로 소수인지 여부를 결정하고 최대 공약수(1–4)를 구하는 방법, 분수(5–10), 수의 비례 이론(11–19), 소수 및 상대 소수, 그리고 최대공약수 이론, (20–32), 그리고 최소공 배수(33–39)입니다. [44]

제8권

제8권의 주제는 기하학적 진행입니다. [44] 유클리드의 경우, 이들은 현대 치료법처럼 지수법(즉, 연속된 두 크기가 동일한 비율을 가지는)이라는 성질로 정의되었으며, i

진행의 두 번째 항은 다음과 같은 형태입니다. axi

상수에 대하여 a

그리고 x

). 이로 인해 유클리드는 두 값 이상의 곱셈을 피할 수 있었지만, 지수 표기법이 명확하게 드러낼 수 있는 사실의 다소 어색한 증명을 낳았다. [45]

제8권의 첫 부분(명제 1부터 10까지)은 정수의 기하급수의 구성과 존재, 그리고 기하학적 수수의 원소들이 서로 나누어지는 가능성에 대해 다룬다. 명제 11부터 27까지는 기하학적 수차의 제곱수와 세제곱수, 그리고 이러한 특수 수차와 임의의 기하수에서 두세 단계 차이 나는 원소들과의 관계를 다룬다. [44]

제9권

제8권의 기하급수에서의 정사각형과 입방체에 관한 연구를 계속한 후,[44] 제9권은 이전 두 권의 결과를 적용하여 소수의 무한대(유클리드 정리, 명제 20), 유한 기하급수의 합 공식(명제 35), 그리고 짝수 완전수에 대한 이 합을 이용한 구성을 제시한다 (제안 36). 여기서 완비수란 그 수의 진약수들의 합과 같으면 완전수입니다. 예를 들어 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14입니다. [4][46] 알하젠은 약 1000년에 추측을 했고, 18세기에 레온하르트 오일러는 이 구성이 모든 짝수 완전수를 생성한다는 것을 증명했다. 이 결과가 바로 유클리드-오일러 정리이다. [47]

제10권

원론 중에서 X권은 단연코 가장 크고 복잡하며, (현대적 용어로는) 무리수를 크기 맥락에서 다룬다. [16][48] 명제 9(현대적 용어로 다시 표현됨)는 다음과 같은 모든 비제곱 정수의 제곱근의 무리성을 증명한다. 2

, 2의 제곱근입니다. [49] 29호 제안의 보조정리는 모든 기본 피타고라스 삼중항을 생성하는 유클리드의 공식을 제시한다. [50] 또한 이 책은 무리수 길이를 13개의 서로 서로가 되는 범주로 분류하며, 이는 정수인 다른 길이와 제곱근의 다양한 조합에 의해 구성됩니다. [51] 그러나 윌버 노어는 "유클리드의 X권을 그 길이와 난해함 때문에 수학적 보물을 숨기려 하는 학생은 실망할 가능성이 크다"고 경고한다. ... 수학적 아이디어는 적다." [52]

크기를 실수로 다루고 이것들이 유리수인지 묻는 대신, 유클리드는 이 물질을 길이나 면적의 가환성으로 다룬다: 두 선분이나 두 직사각형이 공통 소단위의 정수 복사본으로 측정될 수 있는지 여부. [48] 그의 길이를 유리 또는 무리로 분류하는 방식은 현대의 의미와 다르다: 유클리드에게 선분은 그 변의 정사각형이 유리 면적을 가질 때 유리 영역이다. 즉, 유클리드의 경우, 다음과 같은 길이가 2

즉, 유리면적의 제곱근 자체가 유리적이다. [53]

이 책은 플라톤의 대화편 『테아이테토스』에서 소크라테스, 키레네의 테오도루스, 그리고 젊은 수학자 테아이테토스가 나누는 짧은 구절과 연결되어 있다. 이 구절은 테오도루스가 3부터 17까지의 비제곱 정수가 무리한 제곱근을 가진다는 증명을 논의한다(훨씬 이전의 무리성 발견 이후에) 2

이 결과를 모든 제곱이 아닌 정수로 일반화한 테아이테토스와 무리수의 부분 분류(13개 미만의 클래스)를 포함한다. [54][55]

제11권부터 제13권까지: 고체 기하학

11–13권에 등장하는 다섯 개의 플라톤적 입체, 고체 기하학의 기초 구성 요소

마지막 세 권은 주로 입체 기하학에 대해 다룹니다. [13] 37개의 정의 목록을 소개함으로써 11권은 다음 두 가지를 맥락화한다. [56] 기초적인 성격은 제1권과 유사하지만, 제1권과 달리 공리적 체계나 공리적 전제가 없다. [56]

제11권

제11권은 제6권의 결과를 실체 도형으로 일반화하는데, 수직성, 평행성, 부피, 평행육면체(세 쌍의 평행면을 가진 다면체)의 유사성에 관한 것이다. 제11권의 세 부분은 입체 기하학(1–19), 입체각(20–23), 평행육면체(24–37)에 관한 내용을 포함합니다. [56]

제12권

제12권은 적분의 전신인 소진법을 사용하여 원뿔, 피라미드, 원기둥의 부피를 자세히 연구하며[56] 예를 들어, 원뿔의 부피가 해당 원통의 부피의 3분의 1임을 보여준다. [57] 결론적으로, 구의 부피는 여러 피라미드의 합집합으로 구의 부피를 근사하여 구의 반지름의 세제곱(현대 용어로)에 비례함을 보여준다. [58]

제13권

제13권은 구에 내접된 다섯 개의 플라톤 입체(정다면체)를 구성하고, 이들의 모서리와 구의 반지름 비를 비교하며,[59] 그리고 원소들을 마무리하며 이것들이 유일한 정칙 다면체임을 증명한다. [60]

외경서적

유클리드가 쓰지 않은 두 권의 추가 책, 14권과 15권이 원소 원소 필사본에 전해졌다:[61]

• 제14권은 아폴로니우스 오브 페르가의 논문을 바탕으로 히프시클레스가 쓴 것으로 보인다. 이 책은 제13권에서 플라톤적 입체와 그 제한된 구에 대한 연구를 이어간다. 이 논문은 공통 구에 내접된 십이면체와 이십면체의 비율이 같으며, 둘 다[61]103(5−5)=5+56.
  
• 제15권은 밀레토스의 이시도로의 제자가 썼을 가능성이 있다. 또한 플라톤 입체도 연구합니다; 이 공식은 일부 이들을 서로 내접하고, 그 간선과 꼭짓점을 세지만(그러나 오일러 공식은 찾지 못한다 V−E+F=2
  
  이 카운트들을 서로 연관시키며), 그리고 두 면들 사이의 이면체 각도를 계산합니다. [61]

이 책들에서 대표되는 유명 작가들의 작품에 덧붙이는 관행은 고대 그리스 수학에서 드문 일이 아니었다. [61]

유클리드의 방법과 표현 스타일

• 임의의 점에서 직선으로 그립니다.
• 임의의 중심과 거리를 가진 원을 설명하는 것.

— 유클리드, 『원론』, 제1권, 1 및 3 공리. [62]

유클리드가 육각형을 구성하는 과정을 보여주는 애니메이션(제4권, 제안 15). 원소에 나오는 모든 2차원 도형은 나침반과 직선자만으로 구성할 수 있습니다. [62]

유클리드의 공리적 접근법과 구성적 방법은 널리 영향을 미쳤다. [63][64]

유클리드의 많은 명제는 구성적이었으며, 나침반(원형 그리기 도구)과 직선자(무표식 자)를 사용해 물체를 만드는 과정을 상세히 설명하여 어떤 도형의 존재를 입증했다. 그의 구성적 접근법은 기하학 공리에서도 나타나는데, 선과 원의 존재를 주장하는 첫 번째와 세 번째 공제는 구성적이다. 그는 이전 정의에 따라 선과 원이 존재한다고 말하는 대신, 선과 원을 '구성'할 수 있다고 말한다. 또한 그가 증명 중 하나에서 도형을 사용하려면 이전 명제에서 그것을 구성해야 하는 것으로 보인다. 예를 들어, 그는 먼저 직각삼각형의 변에 정사각형을 내접시키지만, 한 명제 전에 주어진 직선 위에 정사각형을 구성한 후에야 피타고라스 정리를 증명한다. [65]

각 결과의 제시는 유클리드가 고안한 것은 아니지만 전형적인 고전적 형태로 인식된다. 이 문서는 여섯 부분으로 구성되어 있습니다: 첫 번째는 '발음(enunciation)'으로, 결과를 일반적인 용어(즉, 명제의 진술)로 제시합니다. 그 다음에는 '세팅아웃(set-out)'이 나오는데, 이는 도형을 제공하고 특정 기하학적 대상을 글자로 표시한다. 다음은 '정의' 또는 '명세'로, 특정 도형에 맞게 발음을 다시 표현합니다. 그 다음에는 '건설' 또는 '기계'가 나옵니다. 여기서는 원본 도표를 확장하여 증명을 전달한다. 그 다음, '증명' 자체가 이어집니다. 마지막으로, '결론'은 증명에서 도출된 구체적인 결론을 일반적인 표현으로 제시함으로써 증명과 발언을 연결합니다. [66]

그 결과에 이르게 한 추론 방법에 대한 언급은 없으나, 유클리드의 다른 책 『Data』에서는 『원론』 처음 네 권에서 발견한 문제들에 접근하는 방법에 대한 지침을 제공한다. [67] 사례 분석이 포함된 증명의 경우, 원소는 종종 가장 어려운 경우의 세부 사항만 포함합니다; 이 사례 분석 중 일부는 Theon과 같은 후대 편집자들에 의해 완성되었다. [68]

유클리드의 표현은 당시 널리 사용되던 수학적 개념과 표기법에 의해 제한되었고, 이로 인해 현대 독자에게 다소 어색하게 느껴질 수 있다. 예를 들어, 두 개의 직각보다 큰 각도라는 개념은 없었고,[69] 숫자 1은 때때로 다른 양의 정수와 별도로 다루기도 했으며, 곱셈은 기하학적으로 정의된 변 길이를 가진 직사각형의 면적으로 다뤄졌기 때문에 그는 3개 이상의 다른 숫자의 곱을 사용하지 않았다. 수론의 기하학적 처리는 대안이 매우 까다로운 알렉산드리아 숫자 체계였기 때문일 수 있는데, 알파벳 숫자 체계는 각 그리스 문자가 10의 거듭제곱의 한 자리 배수를 나타내는 체계였다. [71]

평가

유클리드의 원론은 지금까지 쓰인 교과서 중 가장 성공적인 것으로 불립니다. [18][72] 『원론』은 성경 다음으로 역사상 가장 자주 번역되고 출판되고 연구된 책으로 여겨진다. [73] 아리스토텔레스의 『형이상학』과 함께 『원론』은 아마도 가장 성공적인 고대 그리스 텍스트이며, 중세 이슬람 세계와 서유럽에서 지배적인 수학 교과서였다. [73][72] 이 책은 인쇄기 발명 이후 인쇄된 가장 초기의 수학 저작 중 하나이며, 1482년 초판 이후 출판된 판본 수에서 성경 다음으로 두 번째로 많은 것으로 추정된다,[74][75] 그 수는 천 명을 훨씬 넘었다. [75]

고전 고대

참고: 고대 그리스 수학

유클리드의 원론에 대한 가장 오래된 현존 증거는 기원전 3세기 코끼리 파피루스와 오스트라카 사이에서 발견된 6개의 오스트라카(글씨가 새겨진 점토 조각)로, 12면체 구성에 관한 명제 XIII.10과 XIII.16을 다룬다. [76] 헤르쿨라네움에서 회수된 파피루스[77]에는 에피쿠로스 철학자 데메트리우스 라콘이 유클리드의 원론에 관한 에세이를 담고 있다. [76] 원론의 실제 텍스트를 담은 가장 오래된 파피루스는 파피루스 옥시린코스 29호로, 2권 5호의 본문과 동반된 도표가 담긴 파피루스로, 약 75년에서 125년경으로 추정된다. [78]

MS. Vat.gr.190에 실린 피타고라스 정리

그리스어 원문 사본은 여전히 존재하며, 일부는 바티칸 도서관과 옥스퍼드의 보들리안 도서관에서 찾아볼 수 있다. [e][f] 현재 이용 가능한 원고들은 품질이 다양하며 종종 불완전하다. [79] 번역본과 원본을 면밀히 분석한 결과, 원문의 내용에 대해 가설이 세워졌다. [80] 또한 중요한 것은 스콜리아(scholia), 즉 본문에 대한 주석입니다. 이러한 추가된 부분들은 원고에 따라 본문과 구별되는 경우가 많았으며, 설명이나 추가 연구가 필요하다는 의견이 갈리면서 점차 쌓여갔다. [81]

서기 4세기에 알렉산드리아의 테온이 유클리드 판본을 제작했는데, 이 판본은 매우 널리 사용되어 1808년 프랑수아 페이라르가 바티칸에서 테온의 필사본이 아닌 필사본을 발견할 때까지 유일하게 남아 있는 그리스어 자료가 되었다. [82] 이 필사본은 MS. Vat.gr.190[e]에 필사되었다. 이 책에는 자신이 테온이 편집했다고 밝히는 텍스트가 포함되어 있지 않으며, 테온이 자신의 추가라고 주장한 제6권 33호 제안의 추론도 누락되어 있다. 두 그리스어 번역본 모두 아랍어 원론 번역본에 빠진 명제와 그 증명 외에도 많은 설명을 포함하고 있다. 이로 인해 19세기 M. 클람로스와 J. L. 하이버그 사이에 다양한 판본 간의 차이가 유클리드 본문의 축약인지 추가 요소인지 논쟁이 벌어졌다. 이 문제를 다시 다루며 윌버 노어는 클람로스와 함께 아랍어 자료가 원본에 더 가깝다고 주장하지만, "우리는 유클리드의 '진정한' 텍스트를 한 번도 가져본 적이 없으며, 앞으로도 없을 것"이라고 결론짓는다. [82]

예를 들어, 유클리드는 키케로에게 알려져 있었지만, 5세기나 6세기 보에티우스 이전에 이 텍스트가 라틴어로 번역되었다는 기록은 존재하지 않는다. [83]

중세 시대

참고: 필사본 문화

기하학을 가르치는 여성, 12세기 아델라르 드 바스의 아랍어 원론 번역 원소 원고(약 1309–1316년)에서 나온 것[83]

고전 고대부터 서양의 인쇄술 발명까지, 원소와 같은 텍스트는 필사본 복사 과정을 통해 보존되고 복제되었습니다. 이 과정은 번거롭고 비용이 많이 들었기 때문에 원고는 종종 부유층의 소장품이나 중세 이슬람 세계의 지혜의 집, 중세 유럽의 수도원과 초기 대학 같은 기관에 제한되었다. [84]

이슬람 세계는 760년경 비잔틴 제국으로부터 원소들을 받았습니다. 그 지역의 자료에 따르면, 이 버전은 하룬 알-라시드(약 800년경)에 의해 아랍어로 번역되었으며[83] 알-하자즈 이븐 유수프 이븐 마타르에 의해 두 가지 버전이 나뉘었다. 9세기 후반 이샤크 이븐 후나인이 또 다른 아랍어 번역을 했고, 타비트 이븐 쿠라가 수정했다. [85][86] 대부분의 아랍어 필사본은 이 중 하나에 귀속되었으나, 일부는 두 번역본의 자료를 혼합하여 출처를 부여하며,[85] 그 귀속은 현존하는 필사본의 텍스트 유사성에서 나온 증거와 항상 일치하지 않는다. [86] 이 혼합은 아랍어에서 히브리어로 중세 번역으로도 전해졌다. [85]

비잔틴 학자 아레타스는 9세기 후반 유클리드의 그리스어 필사본 중 하나를 필사하도록 의뢰했다; [87] 이 원고와 또 다른 비잔틴 필사본은 그리스어 본문의 가장 오래된 사본이다. [88] 비잔틴에서 알려진 원론은 약 1120년까지 서유럽에서 소실되었으며[89] 보에티우스(약 500년경)의 라틴어 번역 단편을 제외하고는 다른 저작에서 인용되었다. [90][g] 약 1120년경, 영국 수도사 아델라르 오브 바스가 아랍어 번역본에서 원론을 라틴어로 번역했다. [91] 비교적 최근에 시칠리아 팔레르모에서 12세기 그리스어에서 라틴어로 번역된 번역본이 발견되었다. 번역가의 이름은 알려져 있지 않으며, 그는 살레르노 출신의 익명의 의대생으로, 알마게스트를 라틴어로 번역하기 위해 팔레르모를 방문했다. 유클리드 필사본은 현존하며 매우 완전하다. [89]

아델라르의 번역(아델라르 I으로 알려짐) 이후, 아랍어에서 번역이 급증했다. 이 시기의 주목할 만한 번역가로는 1140년경 판본을 쓴 카린티아의 허먼, 체스터의 로버트(그의 필사본은 1251년 또는 그 이전에 작성된 아델라드 2세로 통칭됨), 타인머스의 존[92](12세기 후반; 그의 필사본은 통칭하여 아델라드 3세로 불림), 그리고 크레모나의 제라드 등이 있다 (1120년 이후, 1187년 이전) 이 번역들의 상세한 전승 역사는 여전히 활발한 연구 분야입니다. [93] 노바라의 캄파누스는 1260년 이전에 판본을 만들기 위해 이러한 아랍어 번역본에 크게 의존했으며, 이 판본은 결국 16세기 그리스어 필사본이 등장할 때까지 라틴어 판본을 지배하게 되었다. 1482년 이전 캄파누스 필사본은 오늘날에도 100점이 넘는다. [90][h] 유럽에서 보급된 후, 원론의 첫 번째 책들은 문법, 논리, 수사학의 트리비움 다음인 쿼드리비움의 일부로서 중세 대학에서 표준이 되었다. [84]

르네상스 및 근세 초기 시기

참고: 인쇄 혁명

이탈리아 예수회 신사 마테오 리치(왼쪽)와 중국 수학자 쉬광치(오른쪽)는 1607년에 유클리드의 『원론』(Jīhé yuánběn 幾何原本)의 첫 중국어판을 출판했다.

원론의 첫 인쇄본은 1482년 에르하르트 라트돌트에 의해 캄파누스의 판본을 바탕으로 출판되었으며[94] 이후 여러 언어로 번역되어 천 개가 넘는 판본으로 출판되었다. [75] 테온의 그리스어 번역본에서 파생된 필사본이 발견되었고, 1505년 베네치아에서 바르톨로메오 잠베르티(독일어)에 의해 라틴어 번역본이 출판되었다. [95] 그리스어 본문 자체는 1533년에 출판되었다. [96] 원론을 현대 유럽어로 처음 번역한 사람은 니콜로 타르탈리아로, 1543년에 이탈리아어 판본을 출판했다. [97]

1570년, 존 디는 헨리 빌링슬리의 첫 영어판에 대해 널리 존경받는 "수학 서문"과 방대한 주석, 보충 자료를 제공했다. [98][99][100] 1607년, 이탈리아 예수회 신사 마테오 리치와 중국 수학자 쉬광치가 유클리드의 『원론』의 첫 중국어판을 출판했다. [101]

르네상스는 또한 피에로 델라 프란체스카의 『De quinque corporibus regularibus』(1400년대 후반), 루카 파치올리가 『신비한 비율(Divina proportione)』(1498, 레오나르도 다빈치가 삽화)으로 표절한 다면체에 관한 새로운 작품들, 그리고 벤첼 야므니처의 『Perspectiva corporum regularium』(1568) 등이 있다. [102] 『원소들』은 델라 프란체스카가 이 방향으로 처음 작업한 주요 영감이었다. [103][104] 파치올리는 베네치아에서 유클리드에 대해 강의했으며, 그의 주석은 1509년 판 『원론』에 포함되었다. [105] 야므니처 역시 자신의 책 부제에 원소를 출처로 표기한다. [106]

이 시기에는 새로 출간된 교과서도 폭발적으로 늘었지만, 교사들은 종종 고전을 고전으로 고수했다. 예를 들어 16세기 네덜란드 인문주의자 요아힘 스테르크 판 링겔베리의 추천 도서 목록에서는 『원론』을 유일한 수학 책으로 꼽았다. [107] 인쇄본이 존재한 이후에도 대학은 학생들에게 대학의 원소 사본에서 손으로 자료를 베껴 쓰길 기대할 수 있습니다. [108]

현대 수학

19세기에 『원론』은 기하학 교과서로서 인기가 떨어졌으며, 일부는 아드리앙-마리 르장드르의 교과서와 같은 새로운 교과서에 의해 대체되었고, [109][110][111] 비유클리드 기하학, 해석기하학 등 다른 기하학 형태의 부상으로 인해기술기하학,[112][113] 그리고 부분적으로는 암기보다는 직관에 더 중점을 둔 수학 교육 접근법에 대한 압박 때문이기도 하다. [112][114] 특히 찰스 도지슨(루이스 캐럴로 더 잘 알려짐)은 그의 저서 『유클리드와 그의 현대적 경쟁자들』(1879)에서 유클리드의 대체에 대해 강하게 비판했다. [109] 원론의 또 다른 옹호자인 수학자이자 역사가인 W. W. 라우스 볼은 "원론이 2,000년 동안 이 주제의 일반적인 교과서였다는 사실은 그 목적에 부적합하지 않다는 강한 추정을 제기한다"고 평했다. [69] 교육에서 널리 사용되지 않지만, 원소는 여전히 실험 교육 프로젝트에서 가끔 교과서로 사용되고 있습니다. [115]

『원론』은 수학사에서 학술적 연구 대상으로 남아 있으며, 비유클리드 기하학[116][117]의 발전과 공리적 방법론 발전이라는 현대 수학의 두 분야에 상당한 영향을 미쳤다. [118][119]

비유클리드 기하학

평행 공리의 서로 다른 버전은 서로 다른 기하학적 결과를 낳습니다.

주요 문서: 비유클리드 기하학

원소들이 확립한 기하학적 체계는 오랫동안 이 분야를 지배했으며; 오늘날 이 체계는 19세기 초에 발견된 다른 비유클리드 기하학과 구분하기 위해 종종 '유클리드 기하학'이라고 불린다. [73]

유클리드가 현대 수학과 수학을 넘어 현대 물리학과 일반 상대성 이론의 발견에 미친 가장 주목할 만한 영향 중 하나는 평행 공리에 대한 논의입니다. [116][117] 제1권에서 유클리드는 다섯 가지 공리를 나열하며, 다섯 번째는 다음과 같이 규정한다[120]

만약 두 직선을 따라 직선이 떨어지면 같은 변의 내부 각이 두 직각보다 작아진다면, 두 직선이 무한히 생성될 경우, 두 직선이 두 직각보다 작은 쪽에서 만나게 된다는 것입니다.

이 가리는 다른 네 가지 가리들에 비해 겉보기에는 복잡해 수세기 동안 수학자들을 괴롭혔다. 다섯 번째 가설을 다른 네 가지 명칙을 바탕으로 증명하려는 여러 시도가 있었으나 성공하지 못했다. 결국 1829년에 수학자 니콜라이 로바체프스키는 급수 기하학(또는 쌍곡기하학)에 대한 설명을 발표했는데, 이 기하학은 평행 공리의 다른 형태를 취하고 있다. 사실 다섯 번째 공리가 전혀 없거나, 다섯 번째 공리의 다른 버전(타원 기하학)을 사용해 유효한 기하학을 만들 수도 있다. 다섯 번째 공리를 주어진 것으로 받아들인다면, 그 결과는 유클리드 기하학이다. [121]

공리학

참고: 공리적 방법

유클리드의 『원론』의 공리적 추론은 오랫동안 수학적 엄밀성의 기준을 세우는 것으로 여겨졌으나,[122] 19세기 후반에 유클리드 공리의 건전성과 완전성 문제가 부각되었는데, 이는 그의 추론에 허점이 발견되었고[123], 그리고 데이비드 힐베르트가 "유클리드의 공리적 관점을 부활시키고" 모든 수학적·물리학적 질문을 간단한 계산으로 답할 수 있는 개선된 공리 체계를 개발하기 시작했다. [118] 힐베르트의 희망은 20세기 초 기초 위기에서 좌절되었는데, 이 시기에 쿠르트 괴델과 다른 이들이 집합론에 대한 어떤 건전한 공리 체계도 반드시 불완전해야 한다는 사실을 발견했다. [124] 21세기에 들어서면서 엄밀성에 대한 새로운 기준이 등장했고, 컴퓨터 지원 증명과 원소들의 명제들(증명에 일부 업데이트됨)은 컴퓨터 검증을 견뎌냈습니다. [119][125]

반경을 공유하는 두 원이 서로 교차하여 수막(vesica piscis)을 형성합니다. 이것이 바로 제1권 제안 1의 첫 단계로, 반지름과 교차점 중 하나에서 정삼각형을 구성하는 것입니다.

원론의 기초 증명 중 일부는 유클리드가 명시적으로 말하지 않은 가정들을 공리로 사용한다. 예를 들어, 1권의 첫 번째 정삼각형 구성에서 유클리드는 가정도 증명도 되지 않은 전제를 사용했다: 반지름으로 같은 선분을 공유하는 두 원이 서로 교차하지 않는 것이 아니라 두 점에서 교차한다는 것이다. [126][127] 이 예시는 다이어그램의 위상학적 성질에만 의존하며, 다이어그램이 부정확하게 그려져도 그 성질은 여전히 명확하다. [128] 그러나 다른 경우에는 유클리드가 특정 대상들이 서로 구별되거나 분리되어 있음을 증명하지 못했으며, 단일 도표만으로는 일치할 가능성(일종의 퇴화)이 명확하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 유클리드의 각의 이분에서 주어진 각도에 등변삼각형을, 같은 밑면을 가진 정삼각형을 구성하고, 두 삼각형의 꼭짓점을 선으로 연결하는 방식이 있습니다. 이 점은 초기 각도가 60°이고 두 꼭대기가 일치할 때 무너집니다. [125]

이후 원론 편집자들은 파쉬의 공리와 같은 암묵적 공리적 가정들을 공식 공리 목록에 포함시켰다. [131] 더 완전한 공리 집합을 구성하려는 초기 시도로는 힐베르트의 기하학 공리[132][133]와 타르스키의 공리가 있다. [129][134] 2017년, Michael Beeson 등은 컴퓨터 증명 보조를 사용해 유클리드와 유사한 공리 집합을 만들고 검증했다. Beeson 등은 힐베르트 체계 대신 타르스키 체계를 출발점으로 선택했는데, 이는 유클리드 체계에 더 가깝고, 공식에서 변수로는 점만을 사용하기 때문이다. 그들은 이 공리들을 사용하여 제1권의 모든 명제에 대해 컴퓨터 검증된 증명을 제공했으며, 또한 실수의 별도의 논리적 형식화를 통해 모든 공리가 데카르트 좌표계의 점에 대해 유효함을 증명했다. [125]

선택된 판본중 특히 새겨두어야 할 판본:

유클리드의 원론은 그리스어, 라틴어, 영어 등 여러 언어로 1,000판이 넘는 판본이 출판되었다. 그중 특히 중요한 것들은 다음과 같습니다:

• Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi in artem geometriam incipit quam foelicissime. 베네치아: 에르하르트 라트돌트. 1482년. 13세기 캄파누스의 번역과 주석을 바탕으로 한 라틴어 편집본. [135]
• 잠베르티, 바르톨로메오 편집 (1505). Euclidis megarẽsis philosophi platonici. 베네치아. 그리스어에서 직접 번역한 최초의 라틴어 전체 텍스트. [95] 『원론』의 저자인 알렉산드리아의 유클리드와 거의 한 세기 전의 철학자 메가라의 유클리드를 제목에 혼동한 것은 중세와 르네상스 시대에 흔히 있었던 실수였다. [136]
• 르페브르 드에타플, 자크 편집 (1516). Euclidis Megarensis Geometricorum elementorum liber XV. 파리: 앙리 에스티엔.캄파누스와 잠베르티를 기반으로 하지만, 잠베르티의 해설 일부는 제외되었다. 초판은 프랑스에서 출판되었다. [137]
• 그리나이우스, 사이먼, 편집. (1533). Ευκλείδου στοιχεῖον. 바젤: 요한 헤르바겐. 그리스어 원문에 대한 에디티오 프린켑스. 두 개의 그리스 필사본, 파리 gr. 2343과 베네투스 마르키아누스 301을 기반으로 하며,[138] 둘 다 "매우 열등한" 원고들이다. [95]
• 타르탈레아, 니콜로 편집. (1543). Euclide megarense philosopho solo introduttore delle scientie mathematice. 베네치아: 로시넬리. 타르탈리아의 『원론』 이탈리아어 번역은 현대 유럽 언어로의 최초였으며, 캄파누스와 잠베르티를 모두 기반으로 했다. 1565년에 개정되었고 1569년과 1586년에 재출판되었다. [97]
• 장 마그니앙 편집 (1557). Euclidis Elementorum libri XV grœce et latine. 파리: 카벨라. 그리스어와 라틴어 번역. 사후에 스테파누스 그라실리스에 의해 개정되었으며; 피에르 드 몽도레의 제10권 번역본을 포함하고 있다. 대부분의 증명은 생략되었다. [139]
• 빌링슬리, H., 편집. (1570). 기하학의 원소들. 존 디 서문. 런던: 존 데이. 최초로 출판된 영어판입니다. [100]
• 페데리코 코만디노 편집 (1572). 유클리디스 엘리멘토룸 리브리 XV. 피사우리(이탈리아 페사로): 아푸드 카밀룸 프란치스키눔.라틴 어로. "19세기 초까지의 학술 공동체를 위한 참고판"; 1575년 코만디노의 사위 발레리오 스파치올리가 출판한 이탈리아어 번역본. [140]
• 클라비우스, 크리스토퍼 편집. (1574). Euclidis elementorum libri XV. 로마: 아푸드 빈센티움 아콜툼. 라틴어에 클라비우스의 추가 주석이 포함되어 있다. 1584년에 확장된 2판으로 출판되었다. 여러 출처를 바탕으로 하지만, 가장 밀접하게 마그니엔과 그라실리스 버전과 관련이 있습니다. [137]
• 나시르 알딘 알투시 (1594). 키타브 타흐리르 우술 리-우클리두스 [유클리드 "원론" 개본] (아랍어). 로마: Typographia Medicea.로랑시안 도서관 MS. Or. 20, MS. Or. 50의 사본을 기반으로 합니다. [141]
• 리치, 마테오; 쉬광기(Xu, Guangqi) 편집. (1607). Jī hé yuán běn 幾何原本 [수량의 근원](중국어). 베이징. 라비우스의 라틴어 판에서 번역되었으나 1권부터 6권까지만 포함되어 있다. [101] 이 번역본과 나머지 책들의 후속 번역본은 s:zh:幾何原本에서 찾을 수 있다.
• 브릭스, 헨리 편집 (1620). Eukleidou Stoicheiōn biblia 13 / Elementorum Euclidis libri tredecim. 런던: 윌리엄 존스.제목 과 달리 이 책에는 처음 여섯 권만 포함되어 있으며, 그리스어 1533년 그리스어 칼럼과 1572년 코만디노 판에서 수정된 라틴어 열이 병행 배치되어 있다. 영국에서 두 언어 모두 출판된 첫 판입니다. [100]
• 배로우, 아이작 편집. (1659). Euclidis Elementorum [라틴어]. 『유클리데스 원론』(1660) [영어]. 이후 여러 판이 나왔습니다. [100]
• 심슨, 로버트 편집. (1806). 유클리드의 요소들, 즉 처음 여섯 권과 열한 번째, 열두 번째 책이 포함된다. 런던: F. 윙그레이브.[142] 1862년 아이작 토드헌터에 의해 개정되었고, 1933년 E. P. 더튼에 의해 재출간되었으며, 에브리맨스 라이브러리 891호. [143]
• 번, 올리버 (1847). 유클리드 원소의 첫 여섯 권으로, 학습자가 더 쉽게 읽을 수 있도록 글자 대신 색이 있는 도표와 기호를 사용한다. 런던: 윌리엄 피커링.[144][145] 오히슬린, 베르너 편집 팩시밀레 (2010). 타셴. ISBN 3836517752. [145] 『유클리드의 원소: 올리버 번의 작품 완성』은 원론의 나머지 부분까지 확장된 현대적 재도면으로, 2019년 크로네커 월리스에서 출판되었다. [146]
• 케이시, 존, 편집 (1882). 유클리드 원론의 첫 여섯 권에 풍부한 주석과 수많은 연습문제가 포함되어 있다. 더블린: 호지스, 피기스 & 컴퍼니.[147] 케이시는 이후 여러 판본을 제작했다; 세 번째 판은 프로젝트 구텐베르크에서 무료 온라인 판으로 재출간되었다. 케이시의 원소 버전은 아마도 제임스 조이스의 『피네건의 경절』 기하학 부분에 있는 '케이시의 서리 책'이었을 가능성이 큽니다. [148] 케이시는 또한 『유클리드 원론 첫 여섯 권의 후속편』(더블린: 호지스, 피기스 & 컴퍼니, 1881)을 저술했다.
• 하이버그, 요한 루드비히 편집 (1883–1888) 유클리디스 전집 [유클리드 전집, 그리스어]. 라이프치히: 토이브너. 1권부터 5권까지는 원소들로 구성되어 있습니다. 제1권, 제2권, 제3권, 제4권, 제5권. 하이버그는 작업을 위해 여러 그리스어 원고를 참고했으며, 테온이 편집하지 않은 단일 버전인 MS. Vat.gr.190이 가장 진정하다고 보았으나, 자신의 주요 텍스트가 잘못되었다고 의심되는 부분에서는 다른 원고들을 따랐다. [82]
• 히스, 토마스 편집. (1908). 유클리드 원론 13권. 케임브리지 대학교 출판부. 2판, 1926년. 3권으로 나뉜: Vol. I, 2권, 3권. 재출간본으로는 1956년 도버; 그린 라이언 프레스, 2002년, ISBN 1-888009-18-7 (단권, 히스의 주석 없음); [149] 반스 앤 노블, 2006년, ISBN 0-7607-6312-7 (단권).

참고문헌

주석

1. 이 번역은 Heath 1908, p. 1에서 가져온 것이다; 다른 번역은 Proclus (1970)를 참조하세요. 유클리드의 원론 첫 번째 책에 대한 주석. 글렌 레이먼드 모로우 번역. 프린스턴 대학교 출판부. 56쪽.
2. 키오스의 히포크라테스는 '의학의 아버지'로 유명한 동시대 히포크라테스 코스와 혼동해서는 안 된다.
3. 이 가설의 역은 다음과 같습니다: 내부 각도가 두 개의 직각으로 합하면 선들은 교차하지 않습니다. 원론에서 증명되며, 여기에는 언급되지 않은 일반적인 개념이나 공제를 사용한다: "두 개의 직선은 어떤 영역도 포함하지 않는다"는 말은, "두 개의 직선이 최대 하나의 교차점을 가진다"와 같다. 이 성질이 유클리드 기하학과 구형 기하학을 구분할 수 있게 해줍니다
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외부 링크

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유클리드의 원소

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• Bibliotheca Polyglotta에 수록된 엘리멘타의 다국어 판본
• 데이비드 E. 조이스 편집 (2025). "유클리드의 원론".HTML 과 TypeScript 기반 인터랙티브 도형을 사용했습니다.
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