① 함수의 예
문방구에 있는 물건들의 집합을 정의역으로 하고 자연수의 집합을 공역으로 하여, 각 물건에 그 물건의 값을 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
우리 나라 전체 국민의 집합을 정의역으로 하고 자연수의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 주민등록번호의 뒷 부분으로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
우리 나라 고등학(중학생)생 전체의 집합을 정의역으로 하고 우리 나라에 있는 고등학교(중학교) 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 자신이 다니는 고등학교(중학교)로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
서울대공원에 있는 모든 동물의 집합을 정의역으로 하고 정수의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 그 동물의 다리의 개수로 정하여 대응시키면 이 대응관계가 함수이다.
② 일대일 대응의 예
음료수 자판기의 버튼 전체의 집합을 정의역으로 하고 그 자판기에서 파는 음료수의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 그 버튼을 누를 때 나오는 음료수로 정하여 대응시키면 일대일 대응이 된다.
(여기서는 같은 종류의 음료수가 나오는 버튼이 여러 개 있는 자판기는 제외된다.)
사다리 타기 내기에서 내기에 건 금액이 각각 다를 때, 내기를 한 사람 전체의 집합을 정의역으로 하고 내기에 걸린 금액 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값은 사다리로 연결된 금액으로 정하여 대응시키면 일대일 대응이 된다.
③ 역함수의 예
위의 일대일 대응에 관한 예에서 공역과 정의역을 바꾸어 대응시키면 역함수가 된다.
④ 상수함수의 예
어떤 좌석버스를 타고 있는 승객 전체의 집합을 정의역으로 하고 자연수 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값은 각 승객이 낸 요금으로 정하면 함수값의 집합은 원소가 하나이므로 이 대응관계는 상수함수가 된다.(단, 모든 승객의 승차 지점과 하차 지점은 같다)
우리 반 학생 전체의 집합을 정의역으로 하고 우리 학교에 재직하고 계시는 선생님 전체의 집합을 공역으로 하며, 함수값을 자기 담임 선생님으로 정하면 우리 반 담임 선생님은 한 분이므로 이 대응관계는 상수함수가 된다.
※ 실생활 속에서 함수찾기
- 초의 길이는 시간의 함수이다.
- 전화사용료는 사용시간의 함수이다.
- 그림자의 길이는 태양의 위치의 함수이다
현수교는 포물교?
중학교 수학에서 2차함수를 배울 때, 2차함수 그래프와 같은 모양의 곡선을 포물선이라고 부른다. 포물선은 공중으로 비스듬히 던져 올려진 물체나, 대포로 공중을 향해 쏜 포탄이 땅에 떨어질 때 지나는 경로에서도 찾아볼 수 있다. 이런 경우에는 중력만 작용하는 것으로 가정한다. 사실 자유낙하하는 물체의 낙하 거리를 구하는 그 유명한 공식(y=1/2gt2)도 2차함수 꼴이다.
다리 중에는 양쪽에 거대한 주탑을 세운 후 케이블을 이용해 연결한 현수교가 있다. 우리 나라의 남해대교, 미국의 금문교 등이 그 예이다. 재질이 균일한 줄의 양끝을 같은 높이의 두 위치에 고정시켰을 때, 그 사이에서 줄이 쳐진 모양과 같은 곡선을 현수선이라고 한다. 이 말에서 현수교라는 이름이 나왔을 것이다.
현수선 [y=acosh(x/a)= a/2(e(x/a)+e(-x/a))]은 포물선과 그 모양이 매우 비슷하다. 공중으로 비스듬히 던져 올린 물체가 그리는 경로가 포물선이라는 사실을 밝혔던 수학자이자 과학자였던 갈릴레이도 현수선을 포물선이라고 믿었을 정도다.
그런데 현수선 모양으로 처진 줄에 일정한 간격으로 하중을 주면, 포물선 모양으로 바뀐다. 현수교의 경우에도 주케이블에 일정한 간격으로 로프를 설치한 상태에서 하중을 주고 있으므로, 주케이블은 포물선인 셈이다. 그렇다면 현수교는 ‘포물교’라고 불러야 정확하지 않을까.
벽면이 도청장치
음성파는 두 개의 패라볼라 반사기를 이용하면 효과적으로 전달할 수 있다. 이것을 잘 이용한 것 중의 하나를 샌프란시스코의 Exploratorium(탐험관)에서 볼 수 있다. 이 모델에서는 반사기는 각각 반지름이 2.4m이고 15m 떨어진 곳에서 서로 마주보고 있다. 어떤 사람이 하나의 반사기의 촛점에서 속삭이면 다른 반사기의 촛점에 서있는 사람은 그 소리를 분명하게 들을 수 있다. 이러한 현상이 나타나는 건물이 하나 있는데 미국의 국회의사당이다. 이 건물에는 한때 하원의 회의 장소로 쓰였던 조각 홀(Statuary Hall)이 있다. 이 방에서 매우 신기한 사실이 발견됐다. 이 방의 어떤 특정한 위치에 있으면, 방 반대편의 어떤 특정한 지점에서 이뤄지는 대화를 바로 옆에서 듣듯이 매우 또렷하게 들을 수 있다. 중간에 있는 사람들의 대화는 들을 수 없으며 그들의 대화가 아무리 크더라도 반대편에서 이뤄지는 대화의 전달을 방해하지 않는다. 특정한 위치들은 바로 포물선의 초점에 해당하는 두 지점이었다. 이 방의 특별한 구조 때문에 양편이 포물선의 형태로 돼 있었고, 한쪽의 초점 부근에 있으면, 반대편 초점에서 이뤄지는 대화를 또렷하게 들을 수! 있었던 것이다. 이 구조는 우연히 만들어졌을 것이고, 그들은 그것을 의식하지 않았을 수도 있지만 비밀이 누설되어 불행한 일이 벌어졌던 때가 있었을 수도 있었으리라.
패라볼라 안테나는 전파의 수신만이 아니라 송신에도 쓰이는 장치인데, 이것도 포물면 거울의 형태를 띠고 있다. 포물면의 초점에서 방출된 전파는 축과 평행인 방향으로 진행하고, 포물면의 축과 평행하게 접근한 전파는 포물면에 반사돼 초점에 모인다. 따라서 파라볼라 안테나는 전파를 일정한 방향으로 집중시켜 송수신할 수 있으며, 마이크로파 중계나 위성 방송의 수신 등에 쓰인다