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디자인 수법으로서 대칭에 관한 교육적 제재의 조사 및 고찰
Research on the Educational Theme with respect to Symmetry as Design Method
권영철 구자홍 하봉수
ABSTRACT
As the cooperative relation of mathematics and art developed the mutual world in the past, the numerical theme seems to have diverse potentials that can be applied by designer. As fundamental research where numerical theme is to be presented in the form (educational model) that can be utilized by designer, this dissertation investigated the phenomenon for educational theme related to symmetry.
Some 60 domestic and overseas materials were investigated and analyzed on the basis of descriptive contents and visional materials and the emerging problem can be summarized as follows. First, with respect to descriptive contents related to symmetry, the knowledge that can operate symmetry in actual expression cannot be easily acquired. Thus, it is required to supplement the teaching materials on the 13 types of symmetry uttered in the area of model and to present the 17 mathematical symmetry in the form that can be utilized in the area of design. Second, although the theoretical background of symmetry jointly exists in the area of model and mathematics, it is required to investigate their theory due to their obscure similarities, differences, indication system and responsive relation. Third, although the visional materials of symmetry are restrictive and foreign materials are diverse, they cannot be understood easily. Thus, it is required to develop independent model that can understand the process of symmetry operation. Fourth, it is necessary to improve learning comprehension by systematically arranging the mixed use of terms related to symmetry.
After all, it seems that the educational theme emphasizing the principle or process of symmetry operation for actual expression will be the fundamental on which the students’ scientific thought can be improved and the world of expression can be extended.
요약
과거, 수학과 예술의 협력관계가 상호의 세계를 발전시켜 왔던 것처럼 수리적 제재는 디자이너에게 응용 가능한 다양한 잠재성을 지니고 있다고 생각한다. 본고에서는 수리적 제재를 디자이너가 이용 가능한 형태(교육적 모형)로 제시하기 위한 기반연구로 대칭과 관련된 교육적 제재에 대한 현상조사를 실시하였다.
조사는 국내 및 국외 자료 60건을 토대로 기술내용 및 시각적 제재를 중심으로 조사 분석하였고, 부각된 문제를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 대칭과 관련된 기술내용은 실제 표현에 필요한 대칭의 조작방법에 대한 지식획득이 곤란한 실정으로 조형분야의 도서에서 언급하고 있는 13가지 대칭형식에 대한 교재보완은 물론 17가지 수학적 대칭형식을 디자인분야에서 보다 적극적으로 활용할 수 있도록 이해가 용이한 형태로 제시할 필요가 있다. 둘째, 대칭의 이론적 배경은 조형과 수학분야에 공통적으로 존재하지만 이들의 유사점, 차이점, 표기체계, 대응관계 등이 불분명해 이에 대한 이론적인 검토가 필요하다. 셋째, 대칭과 관련된 시각적 제재는 한정적이며, 외국자료의 경우 다양하지만 이해가 쉽지 않다. 때문에 각 대칭의 프로세스를 이해할 수 있는 독자적인 모형개발 노력이 요구된다. 넷째, 대칭과 관련된 용어의 혼용을 체계적으로 정리해 학습 이해력을 향상시킬 필요가 있다.
결국, 실제 표현을 위한 대칭의 조작적 원리나 프로세스 등을 강조한 교육적 제재가 학생들의 과학적 사고력 향상은 물론 표현의 세계를 확장할 수 있는 기반이 될 것으로 사료된다.
1.1. 연구배경 및 목적
첨단디지털 기술의 발전과 함께 디자인관련 많은 학생들이 디자인 기술의 기저를 이해하기 보다는 범용 어플리케이션의 조작방법을 암기하는데 많은 시간을 투여하고 있는 실정이고, 그러한 어플리케이션의 조작적 암기력만으로는 문제 상황에 부딪치면 단순한 대답 그 이상의 창조적인 발상이 어렵게 된다는 점 또한 공감하고 있다.
다만, 학생들이 어렵게 획득한 어플리케이션의 조작능력마저도 빠른 제품 사이클에 대응해 민감하게 업그레이드하지 않으면 안 되는 상황에서 디자인 기술의 기저를 이해하기 위한 자구적 노력만을 강조해서는 곤란하다고 생각한다. 과거, 수학과 예술의 긴밀한 협력관계가 예술 및 과학의 세계를 발전시켜 왔던 것처럼, 수리적 학습제재 속에서 학생들에게 유용한 지식을 발굴하여 이를 활용 가능한 형태로 제시한다면 디자인 전공의 학생들의 과학적 창의력 향상에 기여 할 수 있지 않을까 생각한다.
이러한 생각에서 수리적 제재의 교육적 모형 개발이라는 상위목표를 선정하고, 이를 달성하기 위해 다음과 같이 두 가지 기반과제를 설정해 검토해 가고 있다.
1)수리적 제재에 대한 학생들의 이해도 조사
2)디자인 수법으로서 대칭과 관련된 교육적 제제의 현상조사
본 연구는 2)항의 대칭과 관련된 교육적 제재에 대한 현상조사에 초점을 맞추고 있다. 즉, 학생들의 이해 수준과 교육적 제재와의 높은 상관성을 가정하고, 본고에서는 이를 보다 세부적으로 확인하고 개선방향을 모색하기 위해 우선 ‘대칭’이라는 제재에 초점을 맞추어 검토하고자 한다.
보통 조형이나 디자인에 있어서 대칭(symmetry)의 개념은 수리성을 기반으로 한 조형의 원리로서 부분과 부분의 대응이 균형을 이룬 상태를 의미하며, 평행이동, 좌우대칭, 회전대칭, 확대(축소) 등 4가지의 기본형식(그림 1)과 이들의 조합에 의한 응용형식 등이 있는 것으로 알려져 있다. 본고에서는 특히 실제 표현에 필요한 대칭의 조작방법이나 프로세스 등을 강조한 디자인 수법으로서 대칭개념에 비중을 두고 접근하고자 한다.
<그림 1> 대칭의 4가지 기본형식(좌로부터 평행이동, 좌우대칭, 회전대칭, 확대․축소)
1.2. 연구방법 및 한계점
연구를 진행함에 있어 연구방법 및 대상, 그리고 한계점 등을 명시한다.
연구는 기본적으로 자료조사 및 고찰을 중심으로 이루어 졌다. 조사를 위한 자료는 크게 국내자료와 외국자료로, 국내자료 중 도서의 선정은 한국교육학술정보원(RISS)에서 ‘디자인’과 ‘대칭’을 키워드로 좁혀 검색한 결과(총665권 검색)를 바탕으로 디자인관련 도서(40권)를 1차적으로 선정하였고, 이를 토대로 대학 소장도서를 직접 확인하는 과정에서 자료를 보완하거나 일부를 조정하여 최종적으로 20권의 도서를 수집하였다. 또한, 대칭을 키워드로 하는 국내의 학회 및 학위논문을 조사하여 대칭 개념 및 대칭의 조작방법에 대한 기술을 확인할 수 있는 자료 14건을 선정하였다. 외국자료는 디자인관련 도서 및 인터넷 자료로 나눌 수 있고, 대칭과 관련하여 국내문헌에 많이 인용된 자료를 중심으로 확인하여 도서 및 논문 12건과 인터넷 자료 12건 등 총 24건을 수집하였다.
실제 조사는 선정된 국내외 자료를 시대 순으로 정리하고, 대칭과 관련된 내용을 언어적 제재(기술내용)와 시각적 제재(그림)로 구분하여 검토해 교육적 제재로서의 문제점 및 시사점을 도출하였다.
한편, 본 연구에서 분석한 국내자료의 경우, 디자인과 관련된 많은 문헌 중에서 수집한 것이지만 국내의 모든 자료를 검토하였다고는 할 수 없고, 또한 비교 자료로 사용한 외국자료 역시 완전한 대표성을 가질 수는 없다. 다만, 국내자료의 경우 기술내용과 시각적 제재에 있어 많은 부분 특정 외국자료를 인용하고 있어, 범위의 한계는 있지만 현상을 이해하는데 필요한 자료적 가치는 충분하다고 사료된다. 외국자료의 경우 역시 국내문헌에 인용되었거나 관련된 학자, 예술가, 사이트 등을 대상으로 함으로써 최대한 객관성을 확보하려 했다.
2. 대칭성의 이해도 및 문제의 소지
2.1. 수리적 제재의 이해도 조사 결과
수리적 제재의 이해도 조사는 디자인관련 학부생 62명과 대학원생 9명 등 총 71명을 대상으로 비례(proportion), 원근법(perspective), 대칭성(symmetry) 등 세 가지 수리적 개념에 대한 이해 수준을 예비적으로 조사한 것이다.
실제 조사는 기술 유형 즉, 언어적 방법(L유형), 시각적 방법(V유형), 언어+시각 병행방법(LV유형) 등과 평가 틀(정의, 성질, 종류)을 구성하여 검토하였다. 이는 관측수를 이용한 양적 평가(기술 유형)와 5점 척도법을 이용한 질적 평가(평가 틀)를 병행한 것으로 이들을 상호 분석함으로써 수리적 제재에 대한 이해 수준을 밝혔고, 그 결과는 다음과 같이 요약된다.
첫째, 수리적 제재에 대한 이해도는 원근법, 대칭성, 비례 순으로 원근법 및 대칭성은 보통 수준, 비례는 보통 이하의 수준으로 밝혀졌다.
둘째, 수리적 제재의 정의 및 성질에 대한 이해 수준에 비해 종류에 대한 이해도가 상대적으로 낮았다. 또한 기술 유형과 관련해서는 LV유형의 경우가 이해도가 높았고, V유형은 가장 낮은 것으로 밝혀졌다.
셋째, 수리적 제재에 대한 이해 수준은 고학년 및 심화과정에 갈수록 이해 수준이 높을 것이라는 예상과는 달리 남녀 및 학년 간 편차가 뚜렷하지 않아 전공과정에 필요한 기초지식이 부족하다는 것을 시사했다.
2.2. 문제의 소지
이상의 결과 중, 특히 둘째항목의 시각적 제재의 종류 및 시각적 기술력의 부족이 주목된다. 왜냐하면 시각적 제재의 ‘종류’에 대한 이해가 부족하다는 것은 실제 표현에 필요한 방법론적 지식이 제한적이라는 것으로, 시각적 구체화가 디자인의 가장 근본적인 과제라는 점을 생각할 때, 다양한 표현을 위해서는 종류에 대한 폭넓은 이해가 선행될 필요가 있다고 생각된다.
예를 들어, 패턴디자인의 경우 대칭은 표현을 위한 기본적인 지식이라 할 수 있고, 이에 사용할 수 있는 대칭의 종류만 해도 17가지로 알려져 있다. 그렇기 때문에 대칭의 종류에 대한 지식 자체가 곧바로 다양한 표현물을 생성하는 원동력이 된다고 할 수 있다. 그런 이유로 실제 디자인관련 도서의 일부를 개괄적으로 확인해 본 결과, 대칭에 대해 기술한 최근의 문헌은 찾아보기 어렵고, 제한적인 자료 중에서도 대부분 기본적인 대칭형식의 기술에 머무르고 있는 실정이었다. 또한 17종류의 대칭에 대한 기술이 있어도 시각적 제재에 대한 이해가 곤란한 경우가 많았고, 수학적 측면에서 기술하고 있었다.
때문에 현재로서는 대칭에 대한 이해를 촉진시킬 수 있는 교육적 제재가 충분하다고 말하기 어렵고, 일부 존재하는 것도 그 내용이 부족하거나 학생들이 선명하게 이해하기에는 한계가 있을 것으로 예상된다.
결국, 수리적 제재의 이해 수준은 교육적 제재의 미흡에 기인한 부분을 간과하기 어려울 것 같고, 이러한 제재의 개선과 보완을 위해서는 보다 구체적이며 심층적인 검토가 필요하다고 판단된다.
3. 조사 및 고찰
3.1. 조사개요
이상과 같은 문제의식에서 본고는 최대한 객관적 자료를 바탕으로 우선 대칭에 대한 교육적 제재의 실상을 명확히 밝히고자 한다. 조사를 위한 자료는 표 1과 같이 총 60건으로 구성했고, 이 중 국내자료는 도서 20권과 연구논문 14건, 그리고 인터넷 자료 2건 등이며, 외국자료는 도서 11권, 논문 1건, 그리고 인터넷 자료 12건 등이다.
<표 1> 자료의 구성
구분 |
국내자료 |
외국자료 |
도서 |
20권 |
11권 |
논문 |
14건 |
1건 |
인터넷 |
2건 |
12건 |
계 |
36 |
24 |
조사의 내용은 대칭에 대한 기술내용과 시각적 이해를 촉진시키기 위한 시각적 제재로 구분하였다. 실제 조사는 선정된 도서 및 문헌, 그리고 인터넷 자료를 구분하여 발간 순으로 정리하고, 기술내용과 시각적 제재의 종류 및 특징 등의 조사와 함께 대칭에 대한 용어의 혼재가 예견되어 용어의 사용실태를 부가적으로 정리하였다.
세부적으로 기술내용에 대해서는 개념적 측면과 방법론적 측면에 비중을 두고 검토함과 동시에 대칭과 관련된 방법론적 기술에 대해서 다시 기본형식과 응용조작에 대해 어떻게 전개하고 있는가를 중심적으로 조사했다. 시각적 제재 역시 그림 및 설명문을 통해서 어떠한 관점에서 표현하고 있고, 또한 어떠한 범위까지 소개하고 있는지, 나아가 대칭에 대한 실제적 프로세스를 설명하고 있는가 등을 중심으로 검토하였다. 용어의 분류는 조형 및 디자인관련 분야와 도학이나 제도, 건축 등 수학적 분야를 비교한 횡적 검토와 함께 초등교육 분야에서 사용하는 용어를 비교하는 종적 검토, 그리고 외국자료에서 사용되는 용어와의 비교 등도 이루어졌다.
이상의 절차를 통해 이루어진 조사내용은 최종적으로 표로 구성하였지만, 지면의 한계로 상세한 내용은 부록에 첨부하고 본문에서는 내용에 따라 요약하여 제시하였다.
3.2. 국내자료에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
국내자료는 디자인관련 도서 및 논문으로서 우선 국내 도서자료를 알파벳 기호 A로 구분하고, 디자인 수법으로서 대칭과 관련된 교육적 제재를 정리하여 표 2와 같이 제시하였다.
<표 2> 국내 도서자료에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
구분 |
자료명 |
시각적 제재 |
기술내용 |
A_1 |
디자인센스(1975) |
나비, 비행기, 건축물 등 사실적 예시 |
▪균제(symmetry)의 개념적 설명 ▪좌우대칭, 회전대칭 |
A_2 |
디자인기법강좌 I(1977) |
도형을 이용한 기본형식과 응용조작의 개념도 |
▪대칭(symmetry)의 기본 4형식(좌우대칭, 방사대칭, 평행이동, 회전)과 이들을 조합한 14가지 대칭의 조작방법 설명 |
A_3 |
조형(1978) |
게와 탑 등 사실적 예시 |
▪균형(balance)의 개념적 설명 ▪좌우대비의 균제와 불균제, 그리고 방사균제 |
A_4 |
디자인론(1979) |
기본형식 개념도, 13가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(좌우대칭, 방사대칭, 이동, 회전)과 그 기호 ▪기본형식을 조합한 13가지 대칭의 조작방법 설명 |
A_5 |
기초디자인(1981) |
기본형식 개념도, 13가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(이동, 반사, 회전, 확대)과 그 기호 ▪기본형식을 조합한 13가지 대칭의 조작방법 설명 |
A_6 |
구성(1982) |
대칭의 개념도 |
▪대칭의 개념적 설명 ▪선대칭, 점대칭 |
A_7 |
조형 의장론(1984) |
얼굴, 잠자리, 건물 등 사실적 예시 |
▪균제의 개념적 설명 ▪좌우대칭, 방사대칭 |
A_8 |
조형의 원리(1985) |
대칭의 개념도 |
▪대칭적 균형에 대한 개념적 설명 |
A_9 |
현대디자인론(1986) |
나비, 도형 등의 대칭 개념도, 13가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(좌우대칭, 반사대칭, 이동, 확대)과 그 기호 ▪기본형식을 조합한 13가지 대칭의 조작방법 설명 |
A_10 |
그리팩디자인 아이디어 (1987) |
기본형식 개념도 |
▪대칭의 개념적 설명 ▪좌우대칭, 회전대칭 |
A_11 |
디자인통론(1987) |
기본형식 개념도 |
▪좌우대칭, 회전대칭 |
A_12 |
시각디자인의 기초 (1993) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(선대칭, 방사대칭, 이동대칭, 확대대칭) 설명 |
A_13 |
건축의 형태언어(1993) |
기본 3형식 개념도 |
▪대칭의 기본 3형식(좌우대칭, 이동대칭, 회전대칭) 설명 |
A_14 |
디자인과 형태론(1994) |
대칭의 개념도 |
▪대칭의 개념적 설명 |
A_15 |
텍스타일디자인의 이론과 실제(1995) |
대칭의 개념도 |
▪대칭의 개념적 설명 |
A_16 |
시각표현(1996) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(반사/좌우대칭, 이동/병진, 회전/점대칭, 확대/축소) 설명 |
A_17 |
조형의 원리(1996) |
대칭의 개념도 |
▪대칭적 균형에 대한 개념적 설명 |
A_18 |
형태지각과 구성 원리 (1999) |
기본 4형식의 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(평행대칭, 좌우대칭/상하대칭, 확대 축소의 유사대칭, 점대칭/회전대칭) 설명 |
A_19 |
기초 디자인(2004) |
대칭균형의 개념도 |
▪대칭적 균형에 대한 개념적 설명 |
A_20 |
예술과 과학(2007) |
17가지 대칭의 개념도 |
▪17가지 대칭의 존재 소개 |
실제, 예상했던 수많은 도서를 6개월 이상 조사하였지만 의외로 대칭과 관련하여 기술을 할애한 문헌이 적었다. 어쨌든 발견된 20권에 한정시켜 서술하면, 대칭에 대한 기술은 A_1, 3, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15, 17, 19 등 50% 이상의 자료에서 사실적 사진자료(그림 2)를 중심으로 균제와 관련한 조형적 설명에 치중하고 있는 것으로 나타났다.
도서자료 중에서 A_12, 13, 16, 18 등 4권은 좌우대칭(bilateral symmetry)과 회전대칭(radial symmetry)을 대칭의 대표적인 개념으로 하여 주로 대칭의 기본형식에 대해 기술하고 있다(그림 3). 하지만 이들 자료의 시각적 제재를 보면 각 대칭형식을 설명하는 그림이 적절치 않는 경우(A_12의 이동대칭 및 확대대칭, A_16의 확대 등)를 비롯해 각 대칭형식에 대한 용어들이 통일성 없이 기술되고 있는 것을 확인할 수 있다.
A_1 A_3 A_7 A_8
A_9 A_17 A_19
<그림 2> 대칭의 개념적 이해를 위한 시각적 제재들
A_12 A_18
(위로부터 선대칭, 방사대칭, 이동대칭, 확대대칭) (위로부터 평행대칭, 반사, 미끄러짐 반사, 확대, 확대+회전)
A_16 (좌로부터 반사, 평행이동, 회전, 확대)
<그림 3> 대칭의 기본 4형식에 대한 시각적 제재와 용어들
대칭의 응용조작에 대해서는 A_2, 4, 5, 9, 20 등에서 발견되지만, 실제 구체적인 설명이 가미된 자료는 A_20을 제외한 네 가지 자료에 한정된다. 이들 응용조작은 기본형식의 조합에 의해 만들어지는 것으로 예를 들어, 평행이동+회전대칭과 같은 2조합에 의한 6가지와 확대(축소)+평행이동+회전대칭과 같은 3조합에 의한 4가지를 포함하여 총 13가지 대칭을 소개하고 있다.
현재 패턴디자인이나 타일링, 그리고 테셀레이션 등과 관련해 디자인분야에서도 널리 사용되고 있는 17가지 대칭과 관련해서는 번역서인 A_20에서 17가지 무늬 패턴의 그림을 소개하고 있는 정도였고, 국내 디자인관련 도서에서는 그 내용을 찾아보기가 힘들었다.
한편, 13가지 대칭에 대해 비교적 자세히 기술하고 있는 자료가 A_4인데, 여기에 제시된 시각적 제재(그림 4)는 이후 발간되는 자료 A_5, 9 등과 매우 유사하다. 또한 이 제재는 발간시기가 더욱 빠른 외국 자료 B_3과 흡사하여 13가지 대칭과 관련된 시각적 제재의 발전적 변화가 미흡한 것으로 나타났다.
특히, 이들 A_4, 5, 9 등의 도서는 조형에서 응용 가능한 대칭을 13가지로 기술하고 있는 반면, A_2에서는 3조합의 경우가 한 가지(반사+회전+이동) 많은 14가지를 기술하고 있어 비교된다. 이들을 상호 비교해 보면 실제 조합순서나 개수의 차이를 확인할 수 있지만 이에 대한 설명은 찾아볼 수 없다.
A_4, A_5, A_9 공통
<그림 4> 기본형식의 조합에 의한 13가지 대칭 조작도
한편, 국내논문 14건은 표 3과 같이 알파벳 B로 구분하여 제시하였다.
<표 3> 국내 연구논문에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
구분 |
자료명 |
시각적 제재 |
내용 |
B_1 |
M.C. 에셔에 있어서 공간의 문제(2000) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990) 인용) |
▪대칭(symmetry)의 기본 4형식(병진이동, 회전, 반사, 미끄러짐 반사) 설명 |
B_2 |
수학교육에서 테셀레이션의 효과에 관한 연구(2001) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990) 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 회전이동, 반사, 미끌림 반사) 설명 |
B_3 |
컴퓨터 소프트웨어를 활용한 테셀레이션 교수 학습 자료 개발 및 활용방안(2002) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990), 인터넷 자료 D_9, D_11 인용) 1차원 대칭과 2차원 대칭 조작도 (인터넷 자료 D_9 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 회전이동, 반사, 미끄러짐 반사) 설명 ▪1차원 대칭과 2차원 대칭(띠 패턴 및 벽지무늬 패턴) 조합 제시 ▪초등학교 7차 교육과정 중의 대칭의 종류(옮기기, 돌리기, 뒤집기) 설명 |
B_4 |
컴퓨터 소프트웨어를 활용한 테셀레이션 교수 학습 자료 개발 및 활용 방안(2002) |
초등학교 7차 교육과정 중의 대칭(옮기기, 돌리기, 뒤집기) 개념도 |
▪초등학교 7차 교육과정 중의 대칭의 종류(옮기기, 돌리기, 뒤집기) 설명 |
B_5 |
기하영역에서 Tess를 이용한 교수․학습 방안 연구(2002) |
기본 4형식의 조작도 (소프트웨어 Tess 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동/옮기기, 반사/대칭/뒤집기, 회전/돌리기, 미끄러짐 반사/뒤집어 옮기기) 설명 ▪2차원 대칭(17가지 벽지무늬 패턴) 성질 설명 |
B_6 |
기하학의 대칭군에 관한 연구(2004) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1995) 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동/미끄러뜨리기, 회전이동/돌리기, 반사/대칭이동/뒤집기, 미끄러짐 반사/뒤집어 옮기기) 설명 |
B_7 |
테셀레이션을 이용한 기하단원 지도방안 연구(2004) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990, 1995) 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동/옮기기, 회전/돌리기, 반사/대칭/뒤집기, 미끄러짐 반사/뒤집어 옮기기) 설명 |
B_8 |
흥미유발을 위한 실생활 관련 수학 학습자료 개발(2006) |
기본 3형식 개념도 (Schatschneider(1990) 인용) |
▪대칭의 기본 3형식(평행이동, 회전이동, 반사) 설명 |
B_9 |
테셀레이션을 활용한 수학수업 자료개발(2006) |
기본 3형식 개념도 |
▪대칭의 기본 3형식(평행이동, 회전, 반사) 설명 |
B_10 |
수학 교수-학습에서 테셀레이션 활용 가능성에 관한 연구(2006) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990) 인용) 1차원 대칭과 2차원 대칭 조작도 (인터넷 자료 D_9 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 회전이동, 반사, 미끄러짐 반사) 설명 ▪2차원 대칭(17가지 벽지무늬 패턴) 조합 제시 ▪초등학교 7차 교육과정 중의 대칭의 종류(옮기기, 돌리기, 뒤집기) 설명 |
B_11 |
중등수학에 기초한 테셀레이션 연구논문(2006) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990, 1995) 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 회전이동, 선대칭(반사)이동, 미끄러짐 대칭(반사)이동) 설명 ▪2차원 대칭(17가지 벽지무늬 패턴) 성질 설명 |
B_12 |
M.C. 에셔의 데페이즈망 요소에 의한 테셀레이션 패턴 연구(2008) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1995) 인용) 2차원 대칭 조작도 (G, Polya(1924) 인용) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 반사/양면대칭/거울대칭, 회전이동, 미끄럼 반사) 설명 |
B_13 |
한국 전통 창문 문살의 컴퓨터 그래픽적 분석(2008) |
기본 3형식 개념도 |
▪대칭의 기본 3형식(평행이동, 확대축소/신축, 회전) 설명 |
B_14 |
테셀레이션을 활용한 초등학교 무늬 꾸미기 지도 방안 연구(2009) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990) 인용 일부변형) |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동/옮기기, 회전이동/돌리기, 대칭이동/뒤집기/반사, 미끄러짐 반사이동/뒤집어 옮기기) 설명 |
국내논문 중 대칭과 관련된 교육적 제재는 주로 수학분야와 조형분야에서 발견되는데, 수학분야의 자료가 10건으로 조형분야에 비해 상대적으로 많은 것으로 나타났다. 또한 분야에 상관없이 모든 논문에서 대칭의 기본형식은 비교적 상세하게 기술되고 있는 반면, 이들의 시각적 제재가 외국자료 C_6 및 인터넷 자료 D_13 등에서 인용된 경우가 많아 획일적 이미지를 탈피하지 못하고 있는 것이 발견된다(그림 5).
(Schatschneider Doris, 1990)
(http://www.mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html(2009.12.29)
<그림 5> B_1, B_2, B_3, B_6, B_7, B_8, B_10, B_11, B_12, B_14(일부 변형) 자료에서 발견되는 대칭의 4가지 기본형식 개념도
또한 대칭의 응용조작에 대한 기술은 조형분야의 자료에서는 찾아볼 수 없고 수학분야의 B_3, 5, 10, 11 등에서만 발견되는데, 흥미로운 점은 이들 자료 중 B_3, 10자료는 반사+미끄러짐 반사(reflections+glide reflections), 회전(2)+반사+반사(rotations+reflections+reflections) 등과 같이 4가지 기본형식의 조합에 의해 17가지 대칭을 설명하고 있고(그림 6), B_5, 11자료는 결정학적 기호체계(IUC)에 따라 기술하고 있다는 것이다(부록 첨부 2참조).
즉, 17가지 대칭 역시 조합에 의한 표기와 기호체계에 의한 표기가 가능하다는 것은 이들 간의 대응관계가 성립한다는 것을 의미한다. 그렇기 때문에 조형에서 사용되어 온 기존의 13가지 조합에 의한 대칭과의 비교도 부분적으로 가능할 것으로 예상된다.
B_3, B_10 공통
<그림 6> 기본형식의 조합에 의한 17가지 대칭 조작도
(http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/index.html(2009.12.29)
3.3. 외국자료에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
외국자료는 디자인관련 도서 및 인터넷 자료로서, 먼저 도서 12권을 알파벳 C로 구분하여 표 4와 같이 제시하였다.
<표 4> 외국문헌에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
구분 |
자료명 |
시각적 제재 |
내용 |
C_1 |
造形とは?(1963) |
기본 4형식과 조합에 따른 13가지 대칭 조작도 |
▪대칭(symmetry)의 기본 4형식(이동, 반영/경영, 회전, 확대) 설명 ▪13가지 대칭의 조작방법 설명 |
C_2 |
造形の基本と実習(1982) |
기본 4형식 및 응용조작의 개념도 17가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(선대칭, 점대칭, 평행이동, 확대축소) 설명 ▪17가지 벽지무늬 제시 |
C_3 |
ベーシックデザイン 視覚構成(1983) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(반사, 이동, 회전, 확대) 설명 |
C_4 |
デザインの図学(1985) |
기본 4형식 및 17가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 경영, 미끄럼 경영, 회전) 설명 ▪1차원 대칭과 2차원 대칭(띠 패턴 및 벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
C_5 |
Introduction to Tessellations(1989) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(translation or a slide, rotation or turn, reflection or flip, glide reflection) 설명 |
C_6 |
Visions of Symmetry(1990) |
기본 4형식 개념도 (Schatschneider(1990, 95) |
▪대칭의 기본 4형(translation, reflection, glide reflection, rotation) 설명 |
C_7 |
数学:パターンの科学(1997) |
17가지 대칭 조작도 |
▪대칭개념 설명 및 17가지 대칭 조작도 제시 |
C_8 |
美の図学(1998) |
기본 3형식 개념도 17가지 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 3형식(병진대칭, 경영대칭, 회전대칭) 설명 ▪17가지의 대칭 기호 및 의미 설명 |
C_9 |
コンピュータグラフィックスによる対称性を用いた形態生成の研究(2005) |
기본 3형식 개념도 17가지 대칭 조작도 (美の図学(1998) 인용) |
▪대칭의 기본 3형식(경영대칭성, 병진대칭성, 회전대칭성) 설명 ▪17종류의 대칭 의미 설명 |
C_10 |
ジオメトリック・アート(2006) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(경영, 회전, 평행이동, 평행이동+경영) 언급 ▪2차원 대칭(17가지 벽지무늬 패턴) |
C_11 |
ビジュアル情報表現(2008) |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(평행이동, 경영, 회전, 확대) 설명 |
C_12 |
ディジタルイメージクリエーション(2008) |
기본 3형식 개념도 17가지 대칭 조작도 (美の図学(1998) 인용) |
▪대칭의 기본 3형식(평행이동/병진, 경영대칭, 회전대칭) 설명 ▪17가지의 대칭 기호 및 의미 설명 |
우선, 외국문헌의 경우 국내자료와는 달리 대칭의 교육적 제재와 관련해 기본형식은 물론 응용형식에 이르기까지 비교적 많은 내용을 상세하게 기술하고 있다.
조사한 12권의 자료 중 8권의 문헌에서 응용형식에 대한 상세한 기술이 이루어지고 있는데, 이중 조형관련 문헌 2권에서는 기본형식의 조합에 의한 13가지 응용형식을 기술하고 있고, 도학이나 디자인관련 6권의 문헌에서는 결정학적 기호체계에 따라서 17가지 대칭에 대해 설명을 할애하고 있어 주목된다.
즉, 결정학의 기호체계에 대응하는 17가지 대칭에 대한 기술은 C_8, 9, 12 등에서 발견되는데, 여기서 제시되는 시각적 제재는 그림 7과 같다. 그림은 화살표를 유니트 셀(unit cell)로 사용하여 17가지 대칭을 설명하고 있는데, 이는 대칭의 기본형식이나 조합법에 의한 13가지 응용형식에 국한되어 기술하고 있는 국내도서와는 대비된다.
뿐만 아니라, C_1(山口正城의 『造形とは?』1963)에서는 13가지 응용형식과 관련된 시각적 제재(그림 4)를 발견할 수 있는데, 1963년도 소개된 이 제재는 국내도서 A_4, 5, 9 등에서도 발견되어, 국내도서의 경우 시각적 이미지가 한정적이고 독자적인 해석이나 표현노력이 부족했던 것을 시사한다.
C_8, C_9, C_12 공통
<그림 7> 결정학 기호에 대응한 17가지 대칭패턴의 조작도
(http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/index.html(2009.12.29)
마지막으로 인터넷 자료 14건은 알파벳 D로 구분하여 표 5와 같이 제시하였다.
<표 5> 인터넷 자료에 있어서 대칭과 관련된 교육적 제재
구분 |
자료명 |
시각적 제재 |
내용 |
D_1 |
bomber0.byus.net/index.php/2008/12/02/893 |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭(symmetry)의 기본 4형식(평행이동, 선대칭, 회전, 미끄러짐 경영) 설명 ▪1차원 대칭(띠 패턴) 조작 설명 |
D_2 |
www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/tutorials/operations.html |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(translation, reflection, glide-reflection/reflection+translation, rotation) 설명 |
D_3 |
www.uwgb.edu/DutchS/SYMMETRY/1DSPCGRP.HTM |
1차원 대칭과 2차원 대칭 조작도, 각 대칭별 격자 설명도 |
▪1차원 대칭과 2차원 대칭(띠 패턴 및 벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
D_4 |
clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭(벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
D_5 |
xahlee.org/Wallpaper_dir/c5_17WallpaperGroups.html |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭(벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
D_6 |
www.emis.de/monographs/jablan/chap25.htm |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭변환에 대한 수학적 설명 |
D_7 |
www.spsu.edu/math/tile/symm/ident17.htm |
17가지 대칭 조작도 및 패턴 샘플 |
▪2차원 대칭(벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
D_8 |
www.spsu.edu/math/tile/symm/types/index.htm |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭(17종류의 벽지무늬 패턴) 제시 |
D_9 |
mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/index.html |
기본 4형식 개념도 1차원 대칭과 2차원 대칭 조작도 |
▪대칭의 기본 4형식(translation, reflection, glide reflection, rotation) 설명 ▪기본형식의 조합에 따른 1차원 대칭과 2차원 대칭 의미설명 |
D_10 |
www.emis.de/monographs/jablan/chap26.htm |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭패턴의 시대(지역)적 분류 |
D_11 |
library.thinkquest.org/16661/background/symmetry.1.html |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(translation, rotation, reflection, glide reflection) 설명 |
D_12 |
www.singsurf.org/wallpaper/maths.php |
기본 4형식 개념도 1차원 대칭과 2차원 대칭 조작도 |
▪1차원 대칭과 2차원 대칭(띠 패턴 및 벽지무늬 패턴) 조작 설명 |
D_13 |
www.mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html |
기본 4형식 개념도 |
▪대칭의 기본 4형식(rotation, translation, reflection, glide reflection) 설명 |
D_14 |
ko.wikipedia.org/wiki/ |
17가지 대칭 조작도 |
▪2차원 대칭변환에 대한 수학적 설명(평행이동변환, 회전변환, 반사변환, 미끄럼 반사변환) |
조사결과 인터넷 자료는 기본형식의 설명에 치우진 국내자료와는 달리 대부분 17가지 대칭에 대해 자세히 기술하고 있다. 자료 D_9는 예외적으로 기본형식의 조합에 의해 17가지 대칭을 설명하고 있고, 그 외 대부분은 기호체계를 이용하여 기술하고 있다. 다만, 기술내용이 상세하고 시각적 제재의 유형이 다양한 것은 확인할 수 있지만, 결코 이해하기 쉬운 이미지만은 아닌 것으로 판단된다(그림 8).
D_3의 일부(p4, p4g, p4m / p3m1 조작도)
pm pg cm pmm pgg pmg cmm p4m p4g
D_4의 일부
D_5의 일부(p3, p3m1 조작도)
p1 p2 pm
pg cm pmm
D_6의 일부
D_10의 일부(p1, p3, pm 조작도)
D_12의 일부(pg, pgg, pmm, p4 조작도)
D_14의 일부(p3m1, p4, p4g, p4m, p6 조작도)
<그림 8> 결정학 기호에 대응한 17가지 대칭패턴의 조작도
3.4. 요약 및 고찰
결과에 대한 고찰은 서두에서 기술했듯이 수리적 조형원리의 하나인 대칭성에 대한 학생들의 낮은 이해수준과 교육적 제재와의 관련성을 전제로 하여, 구체적으로 논거를 제시하면서 교육적 제재의 문제를 명확히 도출해 개선방향을 모색하는데 있다.
가)대칭에 대한 제한적 기술내용
대칭(symmetry)에 대한 국내자료의 기술내용은 균제나 균형을 달성하기 위한 조형원리로서의 개념적 접근과 디자인 수법으로서 실천적 방법론으로 접근한 것으로 구분되고, 기술범위가 대칭의 4가지 기본형식에 국한된 경우와 응용형식을 포함한 세부적인 기술로 구분할 수 있다.
먼저, 반수 이상의 국내도서는 조형원리로서 대칭의 개념 설명에 그치고 있다. 예를 들어, 자료 A_3의 경우 “균형(balance)이란 전후좌우 상하의 부분과 전체 형태와의 안정된 결합 관계를 말한다. (중략)균형에는 좌우대비의 균제(symmetry)와 비대비의 불균제(asymmetry), 복잡한 방사균제가 있다.”라고 균형의 원리로서 설명하고 있다. 비슷한 예로 자료 A_15의 경우에도 “상하 좌우의 무늬, 색상, 질감이 같고 중앙에서 엄밀하게 균제 되는 것을 대칭 균제”라고 설명하며, 비대칭 균제와 방사균제의 비교를 통해 조형에 있어 균제의 개념을 설명하고 있다. 이처럼 디자인관련 많은 도서는 대칭의 개념적 설명에 치중하고, 실제 디자인 수법으로서 조작방법을 이해할 수 있는 기술은 제한적인 설명에 그치고 있는 실정이다.
또한, 국내논문에 있어서도 4가지 기본형식을 대칭에 대한 개념이해 측면에서 기술하는 경향이 많고, 17가지 대칭에 대해서는 부가적인 수법으로 소개하는 정도에 그치고 있다. 때문에 기본형식과 7가지의 1차원적 대칭, 그리고 이들을 포함한 17가지의 2차원적(평면) 대칭에 대한 연계성을 갖는 체계적 기술이 부족한 실정이다.
특히 주목되는 점은, 대칭의 4가지 기본형식에 대한 조형분야와 수학분야의 분류기준에 차이가 있다는 점이다. 즉 조형 및 디자인 자료에 있어서는 평행이동, 좌우대칭, 회전대칭, 확대(축소) 등 4가지를 의미하고, 수학적 대칭군(symmetry group)은 평행이동(translation), 회전(rotation), 반사(reflection), 평행이동과 반사를 결합한 미끄러짐 반사(glide reflection) 등을 기본형식으로 취급하고 있다. 즉 조형분야에서는 ‘확대(축소)’를, 수학분야에서는 ‘미끄러짐 반사’를 기본 4가지 형식에 포함시키고 있다. 문제는 분야에 따른 상이한 분류체계보다는 대칭의 조작방법과 관련해 이들 상호관계를 이해할 수 있는 설명이 부재하다는 점이다.
현재, 컴퓨터에 의한 디자인작업이 일반화되고 있는 상황에서, 17가지 대칭을 의식적이든 무의식적이든 사용하고 있다. 때문에 디자인분야의 교육적 제재에서도 기존의 13가지 조합법에 의한 대칭과 17가지 기호 표기법에 따른 대칭이 어떠한 대응관계를 지니고 있는지 명확히 밝혀 대칭과 관련된 컴퓨터 기술의 기저를 이해하는데 필요한 지식을 제공해야 할 것이다.
나)대칭과 관련된 표기방법의 혼재
대칭 및 그 조작에 대한 표기방법은 크게 ‘조합법’과 ‘기호표기법’으로 구분할 수 있고, 이들 표기법이 분야를 가리지 않고 혼용되고 있는 것으로 나타났다.
예를 들어, 대부분의 국내도서는 기본적으로 조합법에 대한 기술이 많고, 수학이나 테셀레이션 관련 자료에서는 기호 표기법에 의한 기술이 많지만, 자료 B_3, 7, 10과 D_9의 경우와 같이 반사+미끄러짐 반사, 반사+2중 회전, 2중 회전+미끄러짐 반사, 2중 회전+2중 반사 등 조합법에 의한 설명도 다루어지고 있다.
이러한 표기방법의 혼재와 관련해 몇 가지 문제가 부각된다. 즉, 조합법의 경우 기본형식의 2조합, 3조합으로 기술하고 있는데 이것은 어떠한 규칙에 따라 전개되고 있는 것인지 객관적인 설명이 없다. 예를 들면 A_2에서는 기본형식의 조합에 의해 14가지의 대칭이 있다고 설명하고 있지만, A_4, 5, 9와 C_1에서는 13가지의 대칭이 있다고 설명하고 있다. 조합의 순서나 개수가 무작위로 만들어진 것이 아님에도 차이에 대한 근거 있는 기술이 부재한 것이다. 또한, 조합법에 의한 13가지 대칭과 IUC기호체계를 따르는 17가지의 대칭이 실제 조형 활동에 사용되고 있음에도 이들 상호간의 대응관계를 이해할 수 있는 교육적 제재가 부재한 실정이다.
물론, 모든 조형분야가 수학적으로 엄밀한 체계가 필요한 것은 아니다. 그러나 패턴디자인이나 테셀레이션 또는 조형목적에 따라서 엄정한 대칭적 조작이 표현의 중요한 수단이 되는 경우도 많다. 특히, 컴퓨터그래픽의 기술적 배경에는 당연히 수학적 원리가 내재되어 있고, 실제 작업에 있어 그러한 규칙을 무시할 수 없는 것이다. 때문에 대칭에 대한 명확한 이해를 도모할 수 있는 교육적 제재의 보완이 필요하다고 판단된다.
다)대칭에 대한 시각적 제재의 미흡
조사결과, 대부분의 국내도서에서는 대칭의 개념적 이해를 보조하기 위해 사실적 사례를 예시하는 경향이 강하고(그림 1참조), 대칭의 기본형식을 설명하는 그림을 제시하여도 단일도형으로 간략화 시킨 것이 대부분이다(그림 2참조).
특히, 대칭의 응용형식의 경우 대부분 외국 도서에서 인용하거나 인터넷의 자료를 사용하는 경우가 많았다. 예를 들어, 17가지 수학적 대칭과 관련해서는 새츠네이더(Schatschneider Doris)의 저서 『대칭성의 세계(Visions of Symmetry)』와 수학포럼(The Math Forum), 테셀레이션의 모든 것(TOTALLY TESSELLATED) 등의 웹사이트 에서 인용한 경우가 많고, 13가지 조합법의 경우 야마구치 마사키(山口正城)의 『조형이란(造形とは)?』에서 제시된 대칭 조작도(그림 3참조)가 일본도서는 물론 국내도서에도 다수 발견되고 있다. 이처럼 국내자료의 경우 대칭의 조작방법에 대한 독자적인 표현이 부족하고 한정적이기 때문에 시각적 제재를 통해 대칭의 조작방법을 이해한다는 것은 제한적일 수밖에 없을 것으로 판단된다.
더욱이 한정적으로 제시된 시각적 제재에 대한 설명이 부족하거나 생략되는 경우도 있다. 예를 들어, 자료 A_2의 경우 여러 가지 응용형식의 개념도를 제시하면서, “모두 각각 단위형을 4개씩 겹치지 않고 점이나 선으로 접해서 마무리 된 각종 모양을 생각한 보기이다”라고만 제시할 뿐 자세한 조작방법에 대한 설명은 없어, 저자가 말하고 있는 것처럼 시각적 이해가 용이하지 않다.
또한 제시된 시각적 제재에 대한 이해를 독자 스스로의 탐구를 통해 달성하기를 유도하고 있는데, 이는 외국 자료의 기술유형과 유사하다. 예를 들어 C_2는 여러 가지 대칭조합의 결과를 설명하는 도형을 제시하면서 어떤 조합의 심메트리인지 생각해보라고 언급하고 있고, C_3의 경우에도 4가지 기본형식의 조합도 가능하며, 생활 속에서 조사해 보는 것도 공부가 된다고 기술할 뿐이다. 이처럼 한정적인 시각적 제재에다 설명마저 부족해서는 대칭의 조작방법에 대한 이해는 더더욱 어려워질 수밖에 없는 것이다.
라)용어의 혼용
개념 자체가 달라지는 것이 아님에도 불구하고 대칭 및 대칭의 조작방법과 관련된 용어가 매우 다양하게 혼용되고 있다.
참고로 대칭과 관련해 초등학교 저학년 미술의 경우 7차 교육과정에서는 옮기기(slide), 돌리기(turn), 뒤집기(flip) 등으로 통일되었던 용어가 고학년 과정이 되면 선대칭, 점대칭 등 수학적 용어가 개입하면서 혼재하기 시작한다. 특히, 테셀레이션과 관련된 논문이나 수학분야의 논문에 비하여 조형 및 디자인관련 문헌은 매우 다양한 용어가 사용되고 있다. 조사한 자료에 국한시켜 기본형식에 대한 용어를 비교하여 정리하면 표 6과 같다.
<표 6> 대칭의 기본형식에 대한 용어 비교
구분 |
평행이동 |
좌우대칭 |
회전대칭 |
확대 |
A군 |
이동(4) 이동대칭 이동대칭 평행이동 평행이동대칭 평행대칭 병진 |
좌우대칭(12) 반사(4) 선대칭(3) 양측대칭(2) 반사대칭 상하대칭 경영 bilateral symmetry(7) |
방사대칭(9) 회전대칭(5) 회전(4) 역대칭(4) 점대칭(3) radial symmetry(6) |
확대(4) 확대대칭(2) 확대(축소) |
B군 |
평행이동(12) 옮기기(5) 미끄러뜨리기 병진이동 translation(8) translational - symmetry(2) sliding slide p1 |
반사(11) 선대칭(2) 뒤집기(6) 대칭(2) 대칭이동(2) 선대칭이동 reflection(7) reflection - symmetry(2) pm(2) flip
|
회전이동(7) 회전(6) 돌리기(6) 점대칭 rotation(8) rotational - symmetry(2) p2(2) turing turn |
미끄러짐 반사(6) 뒤집어 옮기기(4) 미끄러짐 반사이동 미끄러짐 대칭(반사)이동 미끄럼 반사 미끌림 반사 확대축소 신축 glide reflection(7) glide reflection - symmetry scaling |
C군 |
평행이동(4) 이동(t)(2) 병진대칭성 병진 translation(2) p1(2) translation - symmetry slide |
경영(4) 경영대칭 경영대칭성 좌우대칭성 반사 반영 선대칭 reflection(2) pm(2) mirror symmetry |
회전(5) 회전대칭 회전대칭성 rotation(2) p2(2) rotation symmetry turn
|
확대(2) 확대축소(2) 평행이동+경영 미끄럼 경영 glide reflection(2) pg(2) |
D군 |
평행이동 평행이동변환 p1(9) translation(7) simple shift |
선대칭 반사변환 pm(9) reflection(7) mirror |
회전 회전변환 p2(9) rotation(7)
|
미끄러짐 경영 미끄럼 반사변환 pg(9) glide reflection(7) reflection+translation |
또한, 대칭표현의 실제에 있어 시각적 형태를 생성하거나 조작과 관련한 용어의 사용도 매우 다양하다. 예를 들어, 그림 9와 같이 대칭적인 형태가 반복되는 패턴을 제작할 경우, 가장 먼저 생성하는 것이 그림의 (a)부분이다. (a)부분이 완성되면, 좌우대칭을 통해 (b)가 만들어지고, 이를 반복 전개시킴으로써 하나의 패턴이 완성된다는 것으로 가정 할 수 있다.
그런데 (b)에 대한 용어는 너무 다양하고, (a)에 대한 용어는 찾아보기 힘들다. 실제 (b)에 대해서 형, 형태, 도형, 원래의 도형, 기본도형 등 서술적 용어와 함께 단위형(A_2, C_2에서), 원형(motif)(A_4, 9) 또는 모티브(C_1, D_3, 5, 9), 단위형태(unit form)(A_14), 유니트(C_12), shape(D_11, 12, 13) 등 명사적 용어가 혼재되어 사용되고 있다.
이처럼 하나의 대상에 대해 각기 다른 용어를 사용하고 있어 내용을 이해하는데 매우 혼란스러운가 하면, 반대로 명확한 용어의 부재로 설명이 곤란한 것도 있다. 즉 그림 8의 (a)가 그런 경우인데, 실제 표현에 있어 가장 먼저 만들게 되는 시각적 소재라고 할 수 있는 (a)에 대해, 김신영은 반복 소재(repeated part)라 기술하고, 자료 C_8, 9, 12 등에서는 유니트 셀(unit cell)이라는 표현을 사용하고 있지만 공통적 인식을 바탕으로 정해진 용어는 부재한 것으로 사료된다.
이상과 같이 용어의 혼재가 심각한 실정이어서 대칭이나 대칭의 조작방법을 이해하기 위한 학습에 어려움을 주는 요인이 될 수 있다.
4. 결론
최근 디자인문제 해결에 있어 주관적 감각뿐만 아니라 영역 횡단적 지식, 이른바 학문적 통섭을 통한 과학적 사고의 중요성이 부각되고 있다. 이러한 상황인식에서 수학적 제재는 디자이너에게 응용 가능한 다양한 잠재성을 지니고 있다고 판단했다. 이러한 생각을 증명하기 위한 기반연구로서 본고는 디자인 수법으로서 대칭과 관련된 교육적 제제에 대한 조사를 실시, 실제 표현을 위한 수단으로서의 문제점 및 향후 교육적 모형 개발을 위한 시사점을 도출하고자 했다.
조사 및 고찰을 통해 부각된 문제의 소지 및 시사점을 요약하면 다음과 같다.
첫째, 대칭과 관련된 교육적 제재는 대칭의 개념적 설명과 기본형식에 편중된 기술로 인하여 응용형식에 대한 실제적 조작방법을 획득하는 데는 한계가 있다고 할 수 있다. 따라서 조형 및 디자인 도서에서 주로 사용했던 13가지의 대칭에 대한 내용 보완은 물론 17가지 수학적 대칭을 디자인분야에서 보다 적극적으로 활용할 수 있도록 디자이너에게 편리한 형태로 개발하는 노력이 뒤따라야 할 것이다.
둘째, 대칭에 대한 이론적 배경은 조형분야와 수학분야에 공통적으로 존재하지만, 이들의 차이에 대한 객관적 설명 없이 혼용되거나 병기되는 상황으로 학습의 혼란이 예측된다. 따라서 대칭의 기본형식과 응용형식에 대해 수학분야와의 차이점, 유사점, 표기체계, 대응관계 등에 대한 이론적인 검토가 필요할 것이다.
셋째, 대칭 또는 대칭의 조작방법을 이해할 수 있는 시각적 제재는 특정 외국자료에 편중되어 이해가 한정적일 수밖에 없고, 또한 인터넷 자료는 다양한 제재를 소개하지만 시각적으로 난해해 이해가 곤란한 실정이다. 따라서 대칭의 프로세스를 강조함으로써 이해도를 향상시킬 수 있는 독자적인 모형개발의 노력이 요구된다.
넷째, 대칭과 관련된 다양한 용어의 혼재를 학문분야별 비교는 물론 기본형식과 응용형식, 그리고 표기법에 따른 차이점 등을 체계적으로 정리해 학습 이해력을 향상시킬 수 있도록 해야 할 것이다.
결국, 대칭이라는 디자인을 위한 수리적 제재는 위에서 언급한 당면 문제들의 개선이 시급하다고 사료된다. 특히, 컴퓨터를 통한 대칭 작업은 결과물이 만들어지는 과정을 눈으로 확인하기 어렵고, 클릭 몇 번의 단순한 조작으로 복잡한 결과물이 생성됨으로써 대칭의 개념을 제대로 이해하기 어렵다. 때문에 대칭의 프로세스를 눈으로 확인할 수 있는 가시적 제재가 개발될 필요가 있다고 판단된다. 즉 결과물이 만들어지는 과정을 통해 학생들이 사고할 수 있는 기회를 제공하는 것이 대칭의 기저에 깔려있는 수학적 원리의 이해는 물론 표현의 세계를 확장할 수 있는 지적 기반이 될 것이라고 믿는다. 이러한 신념에서 후속연구에서는 세부적인 문제에 대해 체계적으로 개선방법을 모색해 가고자 한다.
참고문헌
김신희, 『텍스타일디자인』, 교학연구사, 2009
김춘일·박남희공저, 『조형의 기초와 분석』, 미진사, 1996
박소영, 『컴퓨터 텍스타일 디자인』, 교문사, 2002
에드워드 윌슨(최재천·장대익 역), 『통섭(Consilience: The Unity of Knowledge)』, 사이언스 북스, 2005
강정하,「과학적 창의성과 예술적 창의성」, 성균관대학교 박사학위논문, 2008
구자홍,「수리적 조형원리를 토대로 한 형태발생모델에 관한 연구」, 동서대학교 박사학위논문, 2007
구자홍·하봉수,「경상을 응용한 문자패턴 개발에 관한 연구」, 한국디자인문화학회지, Vol.15 No.2, 2009
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윤민희,「학문적 통섭에 기초한 바우하우스 조형교육의 재조명」, 한국디자인문화학회, Vol.14 No.4, 2008
최동신,「디지털시대의 기초조형 교육에 관한 연구」, 팩키지디자인학회, Vol.10, 2001
하봉수·구자홍,「인간의 생리적 기능을 중시한 프로포션 연구-視角比例개념의 제안」, 기초조형학연구, Vol.10 No.2, 2009
허정아,「과학기술을 통한 새로운 시각이미지에 관한 고찰」, 한국디자인문화학회, Vol.15 No.2, 2009
B. Grünbaum, G. C. Shephard,『Tilings and Patterns』, W. H. Freeman and Company, 1987
Reid Hastie, Christian Schmidt, 『Encounter with Art』, NewYork: McGraw-Hill, 1969
Theodor Andrea Cook,『The Curues of Life』, NewYork: Dover Publications, 1978
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小山清男・面出和子, 『造形の図学』, 日本出版サービス,1882.
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伏見康治・安野光雅・中村義作,『美の幾何学』, 中公新書, 1994
三井秀樹, 『美の構成学』, 中公新書、1996
河鳳洙,「感覚的評価に基づいた空間表現法の提案」, 筑波大学校博士学位論文, 2004
부록
<첨부1> 국내 도서자료 및 대칭에 관한 내용
A_1 |
강명구, 디자인센스(조형의 기초), 운문당, 1975, pp.198-201 |
▪균제(Symmetry) “시미트리의 어원은 그리이스어의 Symmetria로서 같이 잴 수 있다는 뜻이다. 균형의 가장 완전한 형으로 균제 또는 대칭, 균정이라고도 한다. 천칭좌우의 접시에다 같은 무게를 올려놓으면 평균을 얻을 수 있다. 평균을 얻는다는 것은 안정이고 또 안정은 쾌감을 줄 수 있다. “중앙 수직선의 좌우대칭(bilateral symmetry)과 수평선 상하 또는 둘 이상의 대칭축을 한 점을 중심으로 동등한 각도로 배치하여 형성된, 즉 눈의 결정체와 같은 방사대칭(radial symmetry) 등을 균제라 한다. | |
A_2 |
디자인기법편집위 편집, 디자인기법강좌 I, 낙원출판사, 1977, pp.114-126 |
▪시메트리(symmetry) 1)좌우 대칭- 어떤 모양에 거울을 비치고 허상과 더불어 보는 것(鏡映)에 의해서도 얻어지는 것이며 좌우 대칭(bilateral symmetry)라고 하며 접음눈에 해당하는 선(대칭의 축)에 대해 대칭이므로 대각선을 접음눈으로 해서 접으면 좌우는 겹치게 되므로 대각선에 대해서 선대칭이라고 할 수 있다. 2)방사 대칭- 어떤 단위형을 점의 주위에 원주각을 등분하는 일정한 각도로 회전시켜서 배치시키면 방사상의 도형이 만들어지므로 방사 대칭(radial symmetry), 회전 대칭이라고 말하고, 회전각이 180°인 경우를 특히 역대칭이라고 한다. 3)평행이동- 평행 이동의 대칭 4)확대- 단순한 비율로 확대하는 대칭 이상의 4형식을 짝맞춤으로 두 개의 짝맞춤이 6, 세 개의 짝맞춤이 4개 만들어 지므로 기본적으로는 다음 같은 14종의 형식이 생각된다. (시메트리의 기본형식) 1 좌우대칭(鏡映, 반사) 2 방사 대칭(회전) 3 평행 이동 4 확대 (두 개의 짝맞춤) 5 반사 회전 6 회전 이동 7 이동 확대 8 확대 반사 9 반사 이동 10 회전 확대 (세 개의 짝맞춤) 11 반사 회전 이동 12 회전 이동 확대 13 이동 확대 반사 14 확대 반사 회전 | |
A_3 |
최병상, 조형, 창미서관, 1978, pp.74-81 |
▪균형 균형(balance)이란 전후 좌우 상하의 부분과 전체 형태와의 안정된 결합 관계를 말한다. (중략) 균형에는 좌우 대비의 균제(symmetry)와 비대비의 불균제(asymmetry), 복잡한 방사균제가 있다. | |
A_4 |
이우성, 디자인론, 대광서림, 1979, pp.97-103 |
▪Symmetry 1)좌우대칭- 繪具나 잉크의 반점과 같이 무의미 하고 무가치의 형상 즉 일종의 부정형위에 거울을 직각으로 세우면 지면의 도형과 반대방향의 도형이 거울에 비친다. 이와 같은 도형을 좌우대칭(또는 양측대칭 Bilateral Symmetry)이라하며 양도형의 경계선(이 경우는 거울을 세운 곳)을 대칭축(Symmetrical axis)이라 한다. 2)방사대칭- 직선 대신에 하나의 점을 대칭의 중심으로 하여 원형이 되는 Motif(그것은 어떠한 부정형이라도 좋다)를 점 주위에 일정한 각도(예를 들면 120°, 90°, 30° 등)로 회전시켜 배열하면 방사선상의 대칭도형이 생긴다. 이를 방사대칭(Radial Symmetry)이라 하며 중심의 점을 대칭의 점이라 한다. 회전각이 180°일 때는 두장 짜리 프로펠러와 같은 형태가 되며 이것을 특히 역대칭이라 한다. 원형(Motif)을 어느 조작에 의해서 반복하는 것이 Symmetry의 기본적인 방법, 4가지 기본 조작법 제시 ▪기본조작과 그 기호 1. 移動 t - Motif가 직선상의 일정한 간격으로 이동한 것으로 2방연속문양이나 4방연속문양이 그 예이다. 2. 反射 s - 평면도형에서는 직선축이 기준이 되며 공간형태에서는 직선외에도 평면을 대칭면이 되는 수가 있다. 3. 回轉 d - Motif가 대칭점 또는 대칭축의 주위에 일정한 각도로 회전하는 것. 이 경우 120°의 회전으로는 회전조작 3회로 끝나며 60°는 6조작(6회전)으로 끝난다. 4. 擴大 h - Motif를 반복하여 사용함을 말하나 이때에 일정한 비율로 Motif가 확대되는 것을 말한다. (2조작의 조합) 5. 移動 回轉 td - Motif가 이동하면서 회전하는 것, 실례로서 스프링이나 나선 계단 등을 들 수 있다. 6. 移動 反射 ts - 이동하면서 반사하는 것으로 동물이나 인간의 보행한 발자국은 그 좋은 예이다. 7. 回轉 反射 ds - 공간에서의 회전반사에 있어서는 회전축이 반사면(대칭면)의 위에 있을 때와 회전축과 직교할 때가 있다. 전자는 평면상의 회전반사를 그대로 입체화 했다고 생각해도 좋다. 8. 擴大 移動 ht - Motif가 확대하면서 이동하는 것. 이동 거리도 그것에 따라 확대한다. 가로수나 전주의 투시도는 그 예의 하나이다. 9. 擴大 回轉 hd - Motif가 확대하면서 회전한다. 회전의 각도도 따라서 확대된다. Motif의 진로는 나선형이다. 10 擴大 反射 hs - 대칭축의 한편에서 다른 편에 반사함과 동시에 Motif가 확대되는 것이다. (3조작의 조합) 11. 擴大 移動 回轉 htd -이동 회전하는 점은 ‘이동 회전’과 닮았으나 회전할 때 Motif가 확대하며 동시에 이동의 간격도 회전의 각도도 증대하는 것이다. 식물의 꽃잎이나 잎의 순서 또는 침엽수의 가지 등이 좋은 예이다. 12. 擴大 反射 移動 hst - 대칭축의 반사측에 반사함과 동시에 이동하며 그 때 Motif도 이동거리가 증대하는 것 13. 擴大 回轉 反射 hds - 앞의 ‘확대 회전’과 닮았고 Motif의 진행로는 나선형이 된다. 단, Motif는 회전에 따라 반사함으로서 전체로서 하나걸러 반대향 또는 Motif의 뒷면이 나타난다. | |
A_5 |
조준영, 기초디자인, 미진사, 1981, pp.84-91 |
※A_4에서 대부분 인용하여 내용이 유사 | |
A_6 |
박대정․김상순․조영철 공저, 구성(composition), 미진사, 1982, pp.35-37 |
▪대칭(Symmetry) 1)좌우대칭(반사대칭) 2)방사대칭(회전대칭) 3)평행이동대칭 4)확대대칭 | |
A_7 |
강명구, 조형 의장론, 문운당, 1984, pp.283-284 |
▪Symmetry symmetry는 對稱, 均齊, 相稱, 均整을 뜻한다. 對稱軸(symmetrical axis)의 양측 중심축에서 等距離에 있는 것 즉 형장이나, 위치 등이 축을 경계로 동일하게 상대할 때 이것은 左右對稱(bilateral sym.)이고 둘 이상의 대칭축이 점을 중심으로 等角을 형성한 것은 放射對稱(radial sym.)이라 한다. 인간의 直立하고 있는 정면자세나 동물의 正面의 좌우대칭, 안전을 필요로 하는 비행기, 선박, 자동차 등의 均整的 구성도 당연한 소치라 하겠다. 노뜨르담寺院의 균정된 立面은 신비롭고 엄숙한 종교적 분위기를 준다. | |
A_8 |
데이비드 A. 라우어(이대일역), 조형의 원리, 미진사, 1985, pp.42-69 |
▪대칭적 균형 균형 중에 가장 단순한 형태는 대칭적 균형이다. 대칭적 균형에서는 중앙의 수직축을 중심으로 양쪽이 똑같은 위치와 똑같은 형태들이 반복되는데 사실상 한 면은 다른 면의 거울같은 이미지가 된다. | |
A_9 |
임연웅, 현대디자인론, 학문사, 1986, pp.211-213 |
▪심메트리(Symmetry ; 對稱) 1)좌․우 대칭(반사대칭)- 나비그림에서 보듯이 좌측과 우측이 꼭같은 도형을 좌우대칭(Bilateral Symmetry)이라 하며 양쪽 도형의 경계선을 대칭축이라 한다. 2)반사대칭(反射對稱; Radial Symmetry)- 직선 대신에 대칭점을 중심으로 하여 점 주위에 원형이 되는 모티프(Motif)를 일정한 각도로 형을 배치하여 원형이 되는 상태를 말한다. 이때 중심점을 대칭점이라 한다. *반사대칭(反射對稱)은 방사대칭의 오자인 듯 ▪Symmetry의 형식 (기본조작과 그 기호) 1. 이동 t 2. 반사 s 3. 회전 d 4. 확대 h (2조작의 조합) 5. 이동 회전 td 6. 이동 반사 ts 7. 회전 반사 ds 8. 확대 이동 ht 9. 확대 회전 hd 10. 확대 반사 hs (3조작의 조합) 11. 확대 이동 회전 htd 12. 확대 반사 이동 hst 13. 확대 회전 반사 hds | |
A_10 |
미즈다니 모토히고(김상락역), 그리팩디자인 아이디어, 태학원, 1987, p.98 |
▪신메트리(Symmetry) 신메트리는 ‘대칭’이며 부분과 부분의 대응이 꼭 균형이 잡힌 상태를 말한다. 떨어뜨린 잉크가 젖어 있을 때 종이를 접어서 누르면 전사(데칼코마니)도형이 나타난다. 이 도형을 좌 우 대칭 이라고 한다. 접는 대칭축을 중심으로 해서 같은 거리에 같은 형을 하고 있으므로 이것을 선대칭(線對稱)이라고도 한다. 중심의 점을 대칭의 축으로 하여 180° 회전 시킴으로서 대응하는 도형이 되는 경우 이것을 점대칭이라고도 한다. | |
A_11 |
이건호, 디자인통론, 유림문화사, 1987, pp.20-21 |
▪對稱(Symmetry) 1)좌우대칭- 한 선을 대칭축으로 하여 서로 마주 보게끔 형성되어 있을 때 이 도형을 좌우대칭에 있다고 한다. 2)방사대칭- 선이 아닌 점을 중심으로 하여 구성된 점대칭이나 방사대칭, 역대칭 등이 있다. | |
A_12 |
권상구, 시각디자인의 기초(평면구성), 학문사, 1993, p.107 |
▪대칭의 종류 1)선대칭- 중심이 되는 대칭축에 의해서 좌우나 상하가 같은 형태로 되는 것. 다시 말해서 데깔코마니(decalcomanie)와 같이 두 형이 서로 겹쳐져서 포개어지는 것을 선대칭이라고 부른다. 2)방사대칭- 도형을 점 위에서 일정한 각도로 회전시키면 방사상의 도형이 생긴다. 즉 중심점에서 사방으로 평균적으로 작용을 하는 조화(balance)로서 회전대칭이라고도 한다. 또 도형을 180〫 로 이동하면 상호의 도형이 반대로 된다. 이것을 역대칭이라고 한다. 3)이동대칭- 도형이 일정한 규칙에 따라 평행으로 이동해서 생기는 형태를 이동대칭이라고 부른다. 4)확대대칭- 도형이 일정한 비율로 확대되는 형태를 확대대칭이라고 한다. | |
A_13 |
윌리암 미첼(김경준․남순우공역), 건축의 형태언어, 도서출판국제, 1993, pp.30-31 |
▪오느날 대칭적이라는 말은 일반적으로 좌우대칭(bilateral symmetry)-일종의 인체가 보여주는 대칭적 구조-을 가리킨다. 1)좌우대칭- 축에 대한 경상은 대칭 변환의 하나이다. 좌우대칭은 그 축선에 대하여 경상변환 2)이동대칭- 규칙적인 띠 모양 장식무늬는 그 축에 따라 적당한 크기로 평행이동 시켜 변형시킨 것 3)회전대칭- 바람개비는 회전에 의해 변환 | |
A_14 |
윙 우시우스(최길영역), 디자인과 형태론, 도서출판국제, 1994, p.154 p.170 |
▪대칭 대칭적인 형상은 왼편과 오른편이 거울상을 갖는 규칙적인 형상이다. 보이지 않는 직선이 축이 되어 형상을 균등하게 나눈다. 대칭적인 형상은 수평적으로나 경사져서 위치할 수 있다. | |
A_15 |
권오정, 텍스타일디자인의 이론과 실제, 미진사, 1995, p.67 |
▪구성의 원리로 균형(balance) 설명 “균형이란 두 개 이상의 무늬가 양이나 질에 있어서 시각적으로 안정감을 주는 것을 말한다. 디자인 상의 줄무늬 크기에 비하여 바탕무늬들이 지나치게 작거나 클 때, 꽃보다 줄기나 잎이 더 클 때, 그리고 어떤 무늬의 색상이 주변 무늬의 색상보다 너무 강하거나 약할 때는 균형이 어긋나게 되므로 좋지 않다.” 대칭 균형- 상하 좌우의 무늬, 색상, 질감이 같고 중앙에서 엄밀하게 균제 되는 것 비대칭 균형- 상하 좌우의 무늬, 색상, 질감이 대칭이 아니면서 균형이 잡힌 상태 방사 균형- 꽃이나 태양광선처럼 핵심에서 둘레의 균형을 취하고 있는 상태 | |
A_16 |
南雲治嘉(박영원역), 시각표현, 도서출판국제, 1996, pp.70-73 |
▪심메트리(symmetry) 1)반사(좌우대칭)- 마치 거울을 사이로 실물과 허상이 같아보이는 것에서 반사라고 불려지게 되었다. 반사는 따로 좌우대칭이라고 하며, 좌우의 상이 반사해서 마주보고 있다. 형태가 좌우 대칭으로 되어 있기 때문에 형이 정리되어 보일뿐 아니라 안정감이 있다. 2)이동(병진)- 하나의 형이 반복해서 나열되어 가는 것을 이동 또는 병진이라 한다. 텍스타일디자인에 많이 사용된다. 3)회전(점대칭)- 꽃의 대부분은 꽃잎이 한점을 중심으로 회전하고 있는 것처럼 붙어있다. 이것도 심메트리의 일종으로 점을 대칭으로 하고 있기 때문에 점대칭이라 불린다. 한 점에서 방사상으로 늘어나고 있는 모습이 이치에 맞으면서도 신비적인 아름다움을 간직하고 있다. 4)확대(축소)- 확대는 하나의 유니트의 연속적인 확대 내지는 축소를 의미한다. 수학적으로는 유사형이며 유사대칭이라고도 한다. 이것의 특징은 리드미컬한 울림으로 마치 음이 공간에 울려 펴지는 듯한 음향효과와 비근한 심리적인 감각을 느끼게 한다. | |
A_17 |
데이비드 A. 라우어(이대일역), 조형의 원리, 예경, 1996, pp.58-61 |
※1985년판과 유사하게 개념적으로만 설명하고 있고, 보완된 내용은 발견되지 않는다. | |
A_18 |
조열․김지현, 형태지각과 구성 원리, 창지사, 1999, pp.231-237 |
▪대칭은 시메트리(symmetry) 대칭을 이야기하는 ‘시메트리(symmetry)'는 ’같다‘라는 뜻의 ’syn'과 ‘측정하다’라는 뜻의 ‘metron'이 합성된 말로 ’같은 곳이 측정된 형태‘, 또는 ’함께 측정하다‘라는 의미를 가지고 있다. 즉, 점을 중심으로 같은 형태를 갖게 되는 점 대칭 형태를 비롯하여 선 대칭, 면 대칭, 평행으로 그대로 이동시켜 만들어지는 평행 대칭, 그리고 거울에 비친 이미지인 좌우 대칭(또는 상하 대칭)과 형태를 정비례로 확대, 축소시킨 유사 대칭 등이 대칭의 형태를 얻는 방법들이다. 점 대칭을 회전 대칭이라고도 한다. | |
A_19 |
김인혜, 기초 디자인, 미진사, 2004, pp.32-33 |
▪대칭균형- 대칭균형은 만들기 쉽고 알아보기 쉬운 가장 단순한 구조인데, 형태가 대각선으로 또는 수직 수평으로 균등히 분할되어 있는 형태의 균형을 말한다. 한 개나 하나 이상의 동일하거나 매우 유사한 요소들이 한 축을 중심으로 서로 반대쪽에 위치하여 시각적인 힘의 평형을 이루는 것으로서, 사람, 동물, 곤충, 꽃, 건축물, 배, 비행기 등과 같이 양 쪽이 정확한 대칭을 이루거나 한쪽이 다른 쪽의 거울과 같은 이미지가 되는 것을 말한다. | |
A_20 |
엘리안 스트로스베르(김승윤역), 예술과 과학, 을류문화사, 2007, pp.118-119 |
▪17개의 대칭 무늬(피터 스티븐스 1981) 한 평면 안에 있는 요소들의 규칙적인 반복은 17개의 기본적인 원형에 한정되어 있다. |
<첨부2> 국내 연구논문 및 대칭에 관한 내용
B_1 |
정은희, M.C. 에셔에 있어서 공간의 문제, 홍익대학교 석사학위논문, 2000, pp.28-30 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪병진이동, 회전, 미끄러짐 반사, 반사 등 네 가지 움직임을 수학에서는 ‘이소메트리(isometry)'라고 한다. 이들은 모양과 크기를 유지하는 움직임의 방식이다. 1)병진이동(translation or sliding)- 하나의 타일은 수직이나 수평으로 이동하여 다른 타일과 겹쳐질 수 있다. 2)회전(rotation or turing)- 하나의 타일은 축을 중심으로 회전하여 다른 타일과 겹칠 수 있다. 3)반사(reflection)- 어떠한 선을 중심으로 그 선에 거울을 올려놓은 것처럼 반사시키는 움직임이다. 4)미끄러짐 반사(glide-reflection)- 병진이동과 반사를 함께 행하는 움직임이다. 이 움직임은 형태를 일정분량만큼 병진이동 시킨 후, 반사선에 따라 좌우를 반사시키는 과정이다. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_2 |
정시원, 수학교육에서 테셀레이션의 효과에 관한 연구, 성균관대학교 석사학위논문, 2001 , pp.15-17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪테셀레이션에서 찾을 수 있는 수학적 성질 - 대칭성 이론 1)평행이동(translational symmetry)- 한 평면 위에서 적당한 벡터에 의하여 원래의 도형의 모든 점들이 같은 방향과 같은 거리만큼 옮기는 대칭 2)회전이동(rotational symmetry)- 한 평면 위에서 고정된 한 점을 기준으로 원래의 도형을 일정한 각도만큼 돌리는 것 3)반사(reflection symmetry)- 한 평면 위의 주어진 직선에 대하여 하나의 도형을 뒤집기(flipping)에 의해 이동시키는 대칭. 주어진 직선을 따라 그 면에 수직인 평면에 거울을 놓는다면 본래의 도형의 상은 새로운 위치로 이동된 도형과 일치하기 때문에 거울상과 같은 관계가 나타나는 것이다. 4)미끌림 반사(glide reflection symmetry)- 평행이동과 반사를 합친 개념. 한 평면 위해서 적당한 벡터에 대하여 원래의 도형을 임의의 직선에 대하여 반사시킨 뒤 그 도형을 평행이동 시킨 것 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_3 |
박은영, 컴퓨터 소프트웨어를 활용한 테셀레이션 교수 학습 자료 개발 및 활용방안, 광주교육대학교 석사학위논문, 2002, p.13, pp.30-36 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪변환 평면도형의 각 점이 그 평면 위에서 정확히 그것의 상(image) 위의 한 점과 짝을 이루고, 동시에 그 상의 각 점이 정확히 원래의 도형의 한점과 짝을 이룬다면 그 대응을 변환(transformation)이라고 부른다. 확대나 축소, 꼬임이 없이 크기와 모양을 보존하는 변환을 고정변환(rigid transformation) 또는 합동변환 이라고 한다. 합동변환에서 그 상은 항상 원래의 도형과 일치한다. 합동변환에는 평행이동(translation), 회전(rotation), 반사(reflection), 평행이동과 반사를 결합한 미끄러짐 반사(glide reflection) 이 있으며(serra, 1997), 7차 교육과정에서는 이를 옮기기(slide), 돌리기(turn), 뒤집기(flip)로 사용하고 있다. 이들 네 가지 합동변환을 거치고 난 상이 원래의 도형과 같이 있을 때 그 도형을 대칭적(symmtrical)이라고 한다. ▪기본적인 합동변환 1)평행이동(translation)- 직선을 따라 특수한 방향으로 특별한 거리만큼 평면의 모든 점을 움직이는 평면의 변환으로 평행이동 한 후의 도형은 원래의 도형과 상하 좌우의 방향이 변하지 않음 2)회전이동- 어떤 방향에서 어떤 양으로 고정된 점에 대하여 그 고정된 점을 잡고 평면을 회전함으로서 결정되는 평면의 변환으로 이동 후에도 회전의 중심은 변화지 않음 3)반사- 평면 위의 한 직선을 축으로 하여 뒤집기에 의해 새로운 위치로 이동하는 것. 이는 선대칭(line symmetry) 또는 양면대칭(bilateral symmetry), 거울대칭(mirror symmetry)이라고도 불린다. 4)미끄러짐 반사- 반사와 평행이동을 조합한 것으로 먼저 반사축에 대해 뒤집고, 다시 반사의 축에 평행한 직선을 따라 이동시킨 것. ▪벽지문양 패턴(wallpaper pattern) 평행이동, 반사, 2중 반사, 미끄러짐 반사, 반사+미끄러짐 반사 2중 회전, 반사+2중 회전, 2중 회전+미끄러짐 반사, 2중 회전+2중 반사, 4중 회전 반사+4중 반사, 4중 회전+반사, 3중 회전이동, 반사+3중 회전, 3중 회전+반사 6중 회전, 반사+6중 회전 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_4 |
임해경, 박은영, 컴퓨터 소프트웨어를 활용한 테셀레이션 교수 학습 자료 개발 및 활용 방안, 한국수학교육학회지 시리즈 E, 제13집, 2002, pp.567-571 pp.580-581 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪제7차 교육과정의 도형 영역 내용 체계표 2단계(2-가)에서 옮기기, 뒤집기, 돌리기 활동 5단계(5-나)에서 선대칭, 점대칭 도형의 이해와 그리기 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_5 |
홍석만, 기하영역에서 Tess를 이용한 교수․학습 방안 연구, 단국대학교 석사학위논문, 2002, p.14 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪변환 1)평행이동(옮기기)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것. 2)반사(대칭, 뒤집기)- 도형을 이루는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 대해 뒤집는 것. 3)회전(돌리기)- 도형을 이루는 모든 점을 한 점을 중심으로 일정한 각만큼 옮기는 것 4)미끄러짐 반사(뒤집어 옮기기)- 반사와 평행이동이 결합된 움직임도 가능하다. 즉 주어진 도형을 대칭축에 따라 반사(뒤집기)한 후에 다시 평행이동(옮기기)시키는 것 ▪17가지 벽지무늬 변환군 벽지무늬 변환군에는 17가지가 있고, 국제 결정학 연합(IUC)에 의해 표준화된 기초체계와 비교하면 다음과 같다
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B_6 |
김재형, 기하학의 대칭군에 관한 연구, 홍익대학교 석사학위논문, 2004 , pp.30-37 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪테셀레이션 만들기 1)평행이동(미끄러뜨리기)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것 2)회전이동(돌리기)- 도형을 이루고 있는 모든 점을 한 점을 중심으로 일정한 각만큼 옮기는 것 3)반사(대칭이동, 뒤집기)- 도형을 이루고 있는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 대해 뒤집는 거울 ‘반사’라 한다. 4)미끄러짐 반사(뒤집어 옮기기)- 반사와 평행이동이 결합된 움직임도 가능하다. 즉 주어진 도형을 대칭축에 따라 반사(뒤집기)한 후에 다시 평행이동(옮기기)시키는 것 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_7 |
이순희, 테셀레이션을 이용한 기하단원 지도방안 연구, 홍익대학교 석사학위논문, 2004, pp.20-22, pp.26-49 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪변환 1)평행이동(옮기기 translation)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것. 이때 평행이동한 후의 도형은 원래의 방향과 크기가 변하지 않는다. 2)회전(돌리기 rotation)- 도형을 그 평면 위의 고정된 한 점에 대해 일정한 각도만큼 회전하여 이동되는 것. 3)반사(대칭, 뒤집기 reflection)- 도형을 이루는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 대해 뒤집는 것 4)미끄럼짐 반사(뒤집어 옮기기 glide reflection)- 반사와 평행이동을 조합한 것으로 먼저 반사의 축에 대해 뒤집고, 다시 반사축에 평행한 직선을 따라 이동시킨다. 이때, 먼저 평행이동 한 후에 반사시켜도 그 결과는 동일하다. ▪테스(Tess)의 기본변환 1)평행이동- 가로축 평행이동, 세로축 평행이동 2)회전이동- 180° 회전이동, 120°, 90°, 60° 3)선대칭 이동(반사)- 선대칭이동1(수평축대칭), 선대칭이동2(대각선축 대칭), 선대칭이동+반사, 선대칭+120° 회전이동, 선대칭+90° 회전이동 4)미끄러짐 대칭 반사- 미끄러짐 대칭, 미끄러짐 대칭+선대칭, 미끄러짐 대칭+선대칭+회전, 가로세로 미끄러짐 대칭 ▪테셀매니아의 기본변환 1)평행이동(옮기기)- 2종류 2)회전이동(돌리기)- 6종류 3)대칭이동(뒤집기)- 2종류 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_8 |
김지현, 흥미유발을 위한 실생활 관련 수학 학습자료 개발, 목포대학교 석사학위논문, 2006, p.24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪테셀레이션 예를 설명하면서 대칭변환의 형식 제시. 평행이동, 회전이동, 반사 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_9 |
음윤정, 테셀레이션을 활용한 수학수업 자료개발, 한국교원대학교 석사학위논문, 2006, p.78 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪대칭변환 하나의 도형(figure)을 일정한 규칙에 따라 이동시켰을 때 생기는 상(image)에 대해 원래의 도형과 상을 이루는 점이 일대일 대응하는 이동을 변환(transformation)이라 하며, 특히 상의 모양이나 크기가 변하진 않는 종류의 변환을 대칭변환(rigid transformation)이라 말한다. 대칭변환은 평행이동(translation), 회전(rotation), 반사(reflection)를 의미한다. 1)평행이동- 원래의 도형을 그대로 복사해서 미끄러져 보내는 것이라고 정의한다. 따라서 평행이동은 대응하는 점 사이의 거리가 모두 같은 변환이며, 대칭변환 중에서도 가장 간단한 형태로 모양과 넓이는 변화가 없다. 2)회전- 정해진 한 점을 기준으로 원래의 도형을 일정한 각도만큼 돌리는 것을 의미한다. 3)반사- 거울에 비추어서 생기는 것처럼 원래의 도형을 대칭축을 중심으로 대칭이 되도록 움직이는 것이라고 정의한다. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_10 |
허영인, 수학 교수-학습에서 테셀레이션 활용 가능성에 관한 연구, 한국외국어대학교 석사학위논문, 2006, pp.19-26 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪대칭과 변환 Seymour & Britton(1989)에 의하면 테셀레이션을 통한 수학 학습의 핵심은 변환과 대칭이다. 좌표평면 위에서 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 그 위치만 바꾸는 변환을 합동변환이라고 하며, 그 상은 항상 원래의 도형과 일치한다. 합동변환에는 평행이동, 회전, 반사, 평행이동과 반사를 결합한 미끄러짐 반사가 있으며, 제7차 교육과정 초등수학에서는 이들 이동을 더 친숙한 용어로 옮기기(slide), 돌리기(turn), 뒤집기(flip)로 사용하고 있다. 이들 네 가지 합동변환을 거치고 난 상이 원래의 도형과 같이 있을 때 그 동형을 대칭적(symmetrical)이라고 한다. ▪합동변환 1)평행이동(translation) 2)회전이동(rotation) 3)반사(reflection) 4)미끄러짐 반사(glide reflection) ▪17가지 벽지문양 패턴 평행이동, 반사, 반사(2), 회전(2), 회전(2)+미끄러짐 반사 미끄러짐 반사, 반사+미끄러짐 반사, 반사+회전(2), 회전(2)+미끄러짐 반사, 회전(3)+반사, 회전(4), 반사+회전(4) 회전(3), 반사+회전(3), 회전(4)+반사, 회전(6), 반사+회전(6) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_11 |
홍윤진, 중등수학에 기초한 테셀레이션 연구논문, 한남대학교 석사학위논문, 2006, pp.23-26, pp.39-40 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪변환 도형의 모양과 면적을 변경시키지 않는 4가지 변환 중에 학생들이 쉽게 발견할 수 있는 것이 평행이동, 반사, 회전, 미끄러짐 반사이다. ▪평면의 대칭성은 4가지 종류가 기본(김용운 외, 1975) 1)평행이동(translation)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 같은 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것 2)회전이동(rotation)- 도형을 이루는 모든 점을 회전의 중심으로 일정한 각만큼 옮기는 것 3)선대칭(반사)이동(reflection)- 도형을 이루는 모든 점을 거울처럼 주어진 선에 대해 뒤집는 것 4)미끄러짐 대칭(반사)이동(glide reflection)- 평행이동과 선대칭이동의 결합으로 대칭축의 방향을 따라 평행이동시켜 반사시키는 것. ▪벽지무늬 변환군(Wallpaper groups)
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B_12 |
강화영, M.C. 에셔의 데페이즈망 요소에 의한 테셀레이션 패턴 연구, 단국대학교 박사학위논문, 2008, p.13, pp.71-78 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
취리히의 수학 교수 조지 폴리야(G, Polya)는 1924년 그의 논문에서 규칙적인 모티브의 반복을 심메트리 그룹에 따라 17가지로 분류하고 그림을 제시했다. ▪변환에 의한 패턴 표현(새츠네이더 Schatschneider, 1995) 1)평행이동(translational symmetry)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것 2)반사에 의한 변환- 반사(reflection symmetry)는 도형을 이루는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 의해 뒤집는 것. 반사적 대칭은 반사축에 의한 그 도형의 불변성을 말하는데 선대칭(line symmetry) 또는 양면대칭(bilateral symmetry), 거울대칭(mirror symmetry)이라고 불린다. 3)회전 대칭변환- 회전이동(rotational symmetry)은 한 평면 위에서 고정된 한 점을 기준으로 도형을 일정한 각도만큼 돌리는 것 4)미끄럼 반사에 의한 변환- 미끄럼 반사(glide reflection)는 반사와 평행이동을 조합한 것으로 먼저 반사 축에 대해 뒤집고 다시 반사의 축에 평행한 직선을 따라 이동시키는 변환의 방식이다. 결합으로 대칭축의 방향을 따라 평행이동시켜 반사시키는 것. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_13 |
이상락, 한국 전통 창문 문살의 컴퓨터 그래픽적 분석, 한국정보기술학회지, 제6권 제5호, 2008 , pp.117-118 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪기하학적 변환(기본 변환) 1)평행이동(translation)- 객체를 한 위치에서 다른 위치로 이동시키는 것 2)확대축소(신축 scaling)- 신축변환은 객체의 크기를 변화시키는 것을 말하며, 원래의 객체보다 큰 객체가 필요하면 확대(enlargement), 작은 객체가 필요하면 축소(reduction)변형을 한다. 3)회전(rotation)- 객체를 한 점을 중심으로 회전시키는 변환을 말함. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B_14 |
김미영, 테셀레이션을 활용한 초등학교 무늬 꾸미기 지도 방안 연구, 청주대학교 석사학위논문, 2009 , pp.25-27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▪테셀레이션의 변환 1)평행이동(옮기기 translatio)- 도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것 2)회전이동(돌리기 rotation)- 도형을 이루고 있는 모든 점을 한 점을 중심으로 일정한 각만큼 옮기는 것 3)대칭이동(뒤집기, 반사 reflection)- 도형을 이루고 있는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 대해 뒤집는 것 4)미끄러짐 반사이동(뒤집어 옮기기 glide reflection)- 반사와 평행이동이 결합된 움직임도 가능하다. 즉 주어진 도형을 대칭축에 따라 반사(대칭이동)한 후에 다시 평행이동(옮기기)시키는 것 |
<첨부3> 외국문헌 및 대칭에 관한 내용
C_1 |
山口正城, 造形とは?, 美術出版社, 1963, pp.17-21 |
심메트리 형성의 중축 또는 기점이 되는 것은 점, 직선, 평면 세 가지 이다. 이것들을 기준 또는 출발점으로 해서 모티브(원형)를 반복하는 것이 심메트리 형성의 기본방법이다. 기준을 잡는 방법, 반복의 방법에 의해 다양한 심메트리가 생성된다. 이하 4가지가 기본적인 조작이고 이들의 조합에 의해 다양한 심메트리가 형성된다. 1)이동(t) - 모티브가 직선상에 일정한 간격으로 이동하는 것. 2방연속의 띠모양과 4방연속 문양이 그 예. 2)반영(경영)(s) - 이른바 좌우대칭(양측대칭)을 말하며 평면도형에서는 직선이 대칭축이 되고, 공간에서는 평면이 대칭이 기준이 된다. 3)회전(d) - 모티브가 중심점 또는 중축의 주위를 일정한 각도로 회전한다. 일반적으로 방사대칭이라고 한다. 4)확대(h) - 같은 모티브가 반복되어지는데 일정한 비율로 커지는 것을 말한다. 5)이동회전(td) - 이동과 회전의 조합으로 스프링이나 나선계단이 그 예 6)이동반영(ts) - 이동하면서 반영하는 것. 동물이나 인간이 움직인 족적이 그 예. 7)회전반영(ds) - 평면도형에서는 방사대칭이 되는 것으로 입체에서는 정사면체가 그 예. 8)확대이동(ht) - 모티브가 확대되면서 이동하는 것. 가로수나 전신주가 줄지어 있는 원근의 풍경이 그 예 9)확대회전(hd) - 모티브가 확대하면서 회전하는 것. 그 결과는 나선의 형상이 된다. 10)확대반영(hs) - 대칭축의 반대측에 반영하면서 모티브가 지속적으로 확대되어 가는 것. 11)확대이동회전(htd) 12)확대반영이동(hst) 13)확대회전반영(hds) | |
C_2 |
真鍋一男, 造形の基本と実習, 美術出版社, 1982, pp.134-142 |
▪심메트리의 기본 4형식 1)선대칭- 데칼코마니와 같이 접은 선에 대해 대응하는 모든 점이 서로 같은 거리에 있어 질서를 갖게 되는 것으로 좌우대칭(경영)이라고도 하고, 접는 선에 해당하는 선(대칭축)에 대해 대칭이기 때문에 일반적으로 선대칭이라고 한다. 2)점대칭- 어떤 단위 형이 점을 중심으로 원주각을 n등분하는 일정한 각도로 회전시키면 방사상의 도형이 만들어지는데 이를 방사대칭 또는 회전대칭이라고 한다. 3)평행이동- 단위 형이 일정한 거리만큼 평행이동 하는 것 4)확대축소- 일정한 비율로 확대되거나 축소되는 것 이상의 4가지 형식을 조합을 생각할 수 있는데, 두 가지 형식의 조합이 6개, 세 가지 형식의 조합이 3개 가능하다. 심메트리 조작은 총 13종의 형식이 있을 수 있다. | |
C_3 |
南雲治嘉, ベーシックデザイン 視覚構成, 東京デザイナー学院出版局, 1983, p.190 |
▪심메트리의 기본 4형식 1)반사- 안정된 분위기가 생성 2)이동- 움직임이 있고 리드미컬 3)회전- 조화로운 아름다움 4)확대- 다이내믹한 구성 연출 | |
C_4 |
広部達也・武内照子, デザインの図学, 文化出版局, 1985, pp.20-38 |
정다각형의 평면 매우기는 정육각형이 한 점 주위에 3개 모인 것, 정사각형이 한 점 주위에 4개 모인 것, 정삼각형이 한 점 주위에 6개 모인 것만이 가능하다. ▪기본조작 : 1)경영- 하나의 대칭축에 관하여 대칭 2)미끄럼 경영- 하나의 축에 따라서 평행이동 하고 거기서 축에 관하여 경영을 시킴으로써 만들어지는 도형 3)회전- 반회전대칭, 1/3회전대칭, 1/4회전대칭, 1/6회전대칭 ▪벽지문양(Wallpaper Pattern, 2차원 대칭성) 1)대칭성이 없는 기본도형의 이동에 의한 것(평행이동) 2)180° 회전의 대칭성을 가진 기본도형에 의한 것. 때문에 기본도형은 180° 회전중심을 가진다. 3)하나의 경영축, 또는 미끄럼 경영축을 가진 이하 3종류의 기본도형에 의한 것. 이때 경영축은 평행하게 놓여진다. 3-1)기본도형이 하나의 경영축을 가지고, 한방향으로 이동한다. 그것들이 또하나의 경영축에 의해 좌우로 전개된다. 3-2)기본도형이 미끄럼 경영이고 그것을 좌우로 또는 미끄럼 경영축을 통해 전개되는 것. 에셔 작품의 기본도형은 변을 무시한다면 이 예. 3-3)기본도형이 하나의 경영축을 가지고, 그 방향의 이동과 그 경영축에 평행한 미끄럼 경영축에 의해 좌우로 전개된 것. 4)기본도형이 180° 회전대칭성을 가지고, 거기다 상호 직교하는 경영축(미끄럼 경영축 포함)을 가진 것. 4종류가 있다. 4-1)기본도형이 회전중심을 지나는 직교 경영축(2개)을 가진 것 4-2)1/2회전대칭의 기본도형이 첫 번째 미끄럼 경영축에 의해 상하로, 그것에 직교하는 두 번째 미끄럼 경영축에 의해 좌우로 전개된 것 4-3)1/2회전대칭의 기본도형에서 경영축에 의해 하나의 도형을 생성하고, 나아가 그것과 직교하는 미끄럼 경영축에 의해 좌우로 전개된 것 4-4)기본도형이 1/2회전대칭의 중심을 지나는 상호 직교하는 경영축을 가지고 좌우는 미끄럼 경영축에 의해 생성된 것 5)기본도형이 90° 회전대칭성(1/4회전대칭)을 가지지만 경영축은 없다. 6)기본도형은 1/4회전대칭성을 가지고, 4개의 경영축(미끄럼 경영축도 포함)을 가진다. 6-1)회전중심을 지나는 4개의 경영축을 가진 것 6-2)90° 회전대칭의 도형이 미끄럼 경영을 통해 생성된 기본도형으로 좌우는 경영에 의해 전개된 것 7)기본도형이 120° 회전대칭성(1/3회전대칭)을 가지고, 경영축이 없는 것 8)기본도형이 120° 회전대칭성을 가지고 경영축 3개를 가진 것. 두 가지 종류가 있다. 8-1)하나의 기본도형은 전평면을 메우는 하나의 정육각형 내부에 들어 있고, 3개의 경영축이 정육각형의 정점을 지나는 경우 8-2)기본도형을 만드는 3개의 경영축이 기본도형이 들어있는 정육각형의 한 변의 중심을 지나는 경우 9)기본도형이 60° 회전대칭성(1/6회전대칭)을 가지고, 경영축은 없는 경우 10)기본도형이 1/6회전의 대칭이며, 6개의 경영축을 가지는 경우 | |
C_5 |
D. Seynour and J. Britton, Introduction to Tessellations, Dale Seymour Publications. 1989 pp.63-67 |
▪four type of symmetry 1)translation or a slide 2)rotation or turn 3)reflection or flip 4)glide reflection | |
C_6 |
Schattschneider Doris, Schattschneider Doris, Visions of Symmetry, W.H. Freeman and Company, New York, 1990 pp.34-35 |
▪The four isometries of the plane 1)Translation 2)Reflection 3)Glide Reflection 4)Rotation | |
C_7 |
キース・デブリン(山下純一訳), 数学:パターンの科学, 日軽サイエンス社, 1997, pp.258-265 |
벽지패턴은 평면전체가 일정한 규칙성에 의해 빈틈없이 전개되는 것을 의미하고, 벽지패턴의 대칭성에 대응하는 17종류의 군이 존재한다. 이 사실의 증명은 매우 곤란하다. | |
C_8 |
日本図学会編, 美の図学, 森北出版, 1998, pp.85-86 |
▪2차원 반복 문양(17종류의 대칭성) 2차원 평면에 있어서 대칭성은 병진대칭, 경영대칭, 회전대칭 등 3종류가 기본적인 조작 ▪17종류의 대칭성 기호 및 의미 1)P1 - 단순한 병진 2)P2 - 2회 나눔, 180° 회전 3)Pm - 한방향의 경영 4)Pmm - 두 방향의 경영 5)Pg - 한방향의 영진(미끄럼 경영) 6)Pmg - 한방향의 경영과 타방향에 영진 7)Pgg - 두 방향의 영진 8)Cm - 한방향의 대각선방향에 경영 9)Cmm - 두 개 대각선의 양방향에 경영 10)P3 - 3회 나눔, 120° 회전 11)P31m - 3회 나눔의 회전과 경영(그림 참조) 12)P3m1 - 3회 나눔의 회전과 경영(그림 참조) 13)P4 - 4회 나눔, 90° 회전 14)P4m - 4회 나눔의 회전과 경영 15)P4g - 4회 나눔의 회전과 영진 16)P6 - 6회 나눔, 60° 회전 17)P6m - 6회 나눔의 회전과 경영 | |
C_9 |
横山弥生, コンピュータグラフィックスによる対称性を用いた形態生成の研究, 大同工業大学紀要, 第41巻 2005 , pp.125-126, p.130 |
▪심메트리의 기본조작과 예 1)경영대칭성(mirror symmetry)- 경영대칭은 도형을 거울에 비추어 좌우를 반전시켰을 경우, 원래의 도형과 일치하는 성질을 말하는 것으로 좌우대칭성(right-left symmetry)라고도 한다. 2)병진대칭성(translation symmetry)- 병진대칭은 도형을 일정한 방향으로 일정한 길이만큼 옮긴 경우, 원래의 도형과 일치하는 성질을 말함. 3)회전대칭성(rotation symmetry)- 회전대칭은 대칭점, 대칭축의 주위를 일정각도로 회전시킬 경우, 원래의 도형과 일치하는 성질을 말함. ▪17종류의 대칭성 - 단순한 병진 - 2회 나눔, 180° 회전 - 한방향의 경영 - 두 방향의 경영 - 한방향의 병진(미끄럼 경영) - 한방향의 경영(타방향의 병진) - 두 방향의 병진 - 한방향의 대각선에 경영 - 두 개 대각선의 양방향에 경영 - 3회 나눔, 120° 회전 - 3회 나눔의 회전과 경영 - 3회 나눔의 회전과 경영 - 4회 나눔, 90° 회전 - 4회 나눔의 회전과 경영 - 4회 나눔의 회전과 병진 - 6회 나눔, 60° 회전 - 6회 나눔의 회전과 경영 | |
C_10 |
カスパー・シュワーベ, 石黒敦彦, ジオメトリック・アート, 工作舎, 2006, p.27 |
▪2차원의 4가지 심메트리(대칭성) 2차원의 대칭성은 타일링=타일깔기라고 불리고 있다. 한 종류에서 수종류의 타일을 조합하여 빈틈없이 평면을 채우기 위해서는 어쩔 수 없이 대칭성의 방법이 필요하다. 2차원의 대칭성은 그림과 같이 경영, 회전, 평행이동, 평행이동+경영의 4가지로 분류된다. 이 4가지의 대칭성을 평면상에서 조작함으로써 전부 17종류의 타일패턴이 만들어 진다. | |
C_11 |
CG-ARTS協会編, ビジュアル情報表現, CG-ARTS協会, 2008, pp.143-145 |
심메트리는 대칭이라고 번역되고, 이는 기본이 되는 도형에 대해 점이나 선, 면을 기준에 평행이동, 회전, 확대 축소의 조작을 하여 복제함으로써 얻을 수 있다. 1)평행이동- 형이 방향을 바꾸지 않고 그대로 이동하는 조작을 말함. 2)경영- 이른바 좌우대칭을 의미하며, 거울에 비추는 행위와 같은 조작에 의해 만들어 진다. 3)회전- 기본이 되는 도형을 중심점의 주위를 일정한 각도로 회전시켜 만드는 것으로 점대칭이라고도 한다. 4)확대- 기본이 되는 일정의 비율로 신축시킴으로써 만들어 지고 복제되어진 도형은 유사형이 된다. | |
C_12 |
CG-ARTS協会編, ディジタルイメージクリエーション, CG-ARTS協会, 2008, pp.18-23 |
▪공간충전과 타일링 어떤 형태의 유니트를 규칙적, 주기적으로 배열하여 기하학적인심메트리로 공간을 채우는 결정이 있다. 결정 형태의 배열에도 기본이 되는 조작은 평행이동(병진), 경영대칭, 회전대칭의 3종류가 있다. 이러한 조작을 이용한 결정구조의 심메트리를 살펴보면 2차원 대칭성의 기본은 17종류인 것을 알 수 있다. ▪17종류의 대칭성 기호 및 의미 P1 - 단순한 병진 P2 - 2회 나눔, 180° 회전 Pm - 한방향의 경영 Pmm - 두 방향의 경영 Pg - 한방향의 영진(미끄럼 경영) Pmg - 한방향의 경영과 타방향의 영진 Pgg - 두 방향의 영진 Cm - 한방향의 대각, 타방향의 경영 Cmm - 두 개 대각선의 양방향에 경영 P3 - 3회 나눔, 120° 회전 P31m - 3회 나눔의 회전과 경영 P3m1 - 3회 나눔의 회전과 경영 P4 - 4회 나눔, 90° 회전 P4m - 4회 나눔의 회전과 경영 P4m - 4회 나눔의 회전과 영진 (P4g의 오기인 듯) P6 - 6회 나눔, 60° 회전 P6m - 6회 나눔의 회전과 경영 |
<첨부4> 인터넷 자료 및 대칭에 관한 내용
D_1 |
http://bomber0.byus.net/index.php/2008/12/02/893(2009.10.27) |
▪프리즈패턴(frieze pattern)과 군론(4가지 대칭변환) 1)평행이동(Translation) 2)선대칭(Reflection) 3)회전(Rotation) 4)미끄러짐 경영(Glide Reflection)- 선대칭과 평행이동을 합성해서 얻어지는 변환 | |
D_2 |
http://www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/tutorials/operations.html(2009.12.29) |
▪Basic Symmetry Operations 1)Translation(간단한 이동) 2)Reflection(거울) 3)Glide-reflection(reflection+translation) 4)Rotation - 회전은 180°, 120°, 90°, 60° 회전 ▪The seventeen symmetry types 1)simple shift 2)glide reflections 3)mirror 4)mirror + glide 5)perpendicular mirror + glide 6)half-turn 7)double glide 8)parallel mirror +glide 9)double mirror 10)pinwheel 11)quarter-turns + mirrors 12)quarter-turns + rotated mirrors 13)three rotations 14)three mirrors 15)three rotations + mirrors 16)six rotations 17)kaleidoscope | |
D_3 |
http://www.uwgb.edu/DutchS/SYMMETRY/1DSPCGRP.HTM(2009.12.29) |
▪Two-Dimensional Space Groups(The 17 Plane Space Groups) 1)p1 2)p2- There are 2-fold axes at the + locations. 3)pm- Parallel mirror planes 4)pg- Parallel glide planes 5)pmm- Perpendicular mirror planes 6)pmg- Perpendicular mirror and glide planes 7)pgg- Perpendicular glide planes. (p,b) and (d,q) are related by horizontal glides, (p,q) and (b,d) by vertical glides. Note that the intersections of the glide planes and the centers of the boxes outlined by the glide planes are also two-fold symmetry axes. 8)cm- Parallel mirror and glide planes. The pattern of stars on a 50-star flag has this symmetry. 9)cmm- Alternating mirror and glide planes in both directions. All intersections are also two-fold symmetry axes. Bricks in a wall have this symmetry. 10)p4 11)p4g 12)p4m 13)p3 14)p31m 15)p3m1 16)p6 17)p6m ▪Symmetry Elements of the Two-Dimensional Space Groups | |
D_4 |
http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html(2009.12.29) |
▪17 Wallpaper Groups The Crystallographic Notation(결정학적 기호 및 개념도 제시) p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3ml, p3lm, p6, p6m | |
D_5 |
http://xahlee.org/Wallpaper_dir/c5_17WallpaperGroups.html(2009.12.29) |
▪17 Wallpaper Groups 오비폴드(Orbifold)의 기호체계와 결정학적 기호 병기, 시각적 표시법 제시 p1, p2(p2ll), pm(p1ml), pg(p1gl), pmm(p2mm), pmg(p2mg), pgg(p2gg), cm(c1ml), cmm(c2mm), p4, p4m(p4mm), p4g(p4gm), p3, p3ml, p3lm, p6, p6m(p6mm) *괄호는 정식표기 | |
D_6 |
http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/wall1.html(2009.12.29) |
▪The 17 Wallpaper Groups The Crystallographic Notation(결정학적 기호 및 개념도 제시) p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3ml, p3lm, p6, p6m | |
D_7 |
http://www.spsu.edu/math/tile/symm/ident17.htm(2009.12.29) |
▪Identifying the 17 Plane Symmetry Groups The Crystallographic Notation(결정학적 기호 및 개념도 제시) p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3ml, p3lm, p6, p6m | |
D_8 |
http://www.spsu.edu/math/tile/symm/types/index.htm(2009.12.29) |
▪Patterns and tilings arranged by their symmetry groups The Crystallographic Notation(결정학적 기호 및 개념도 제시) p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3ml, p3lm, p6, p6m | |
D_9 |
http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/index.html(2009.12.29) |
▪The Four Basic Symmetries 1)translation-rigid motion with repetition along a line 2)reflection-rigid motion with repetition across a line (axis) 3)glide reflection-rigid motion with reflected repetition along a line 4)rotation-rigid motion with repetition around a point ▪Field Patterns 1)translations 2)reflections 3)reflections + reflections 4)glide reflections 5)reflections + glide reflections 6)rotations(2) 7)reflections + rotations(2) 8)rotations(2) + glide reflections 9)rotations(2) + reflections + reflections 10)rotations(4) 11)reflections + rotations(4) 12)rotations(4) + reflections 13)rotations(3) 14)reflections + rotations(3) 15)rotations(3) + reflections 16)rotations(6) 17)reflections + rotations(6) | |
D_10 |
http://www.emis.de/monographs/jablan/chap26.htm(2009.12.29) |
▪17 symmetry groups The Crystallographic Notation(결정학적 표기 및 시대별 사례 제시) p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3ml, p3lm, p6, p6m | |
D_11 |
http://library.thinkquest.org/16661/background/symmetry.1.html(2009.12.29) |
▪Symmetry and Transformations 1)Translation 2)Rotation 3)Reflection 4)Glide Reflection | |
D_12 |
http://www.singsurf.org/wallpaper/maths.php(2009.12.29) |
▪Basic transformations 1)translation 2)reflection - M 3)glide-reflection: a translation follow by a reflection - G 4)180° rotation - P2, 120° rotation - P3, 90° rotation - P4, 60° rotation - P6 ▪Wallpaper patterns (Lattice type: parallelogram) p1- the simplest pattern, two translations in different directions p2- this pattern has an extra 180° rotation (Lattice type: diamond) cm- a reflection along a diagonal cmm- two reflections along the diagonal (Lattice type: rectangle, the translations are at right angles) pm- A reflection pg- A glide reflection pmg- A reflection and a glide reflection pgg- Two glide reflections at right angles pmm- Two reflections at right angles (Lattice type: square) p4- a 90° rotation p4m- a 90° rotation and a reflection p4g- a 90° rotation and a glide-reflection (Lattice type: hexagon) p3- a 120° rotation p31m- a 120° rotation and a reflection p3m1- a 120° rotation and a reflection p3- a 60° rotation (p6의 오기인 듯) p3m- a 60° rotation and a reflection (p6m의 오기인 듯) | |
D_13 |
http://www.mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html(2009.12.29) |
▪The Four Types of Symmetry in the Plane 1)Rotation 2)Translation 3)Reflection 4)Glide Reflection | |
D_14 |
http://ko.wikipedia.org/wiki/(2009.12.29) |
【평면의 결정군】 ▪평면의 등장 변환 1)평행이동변환(translation) 2)회전변환(rotation) 3)반사변환(reflection) 4)미끄럼 반사변환(glide reflection) ▪17가지 변환 1)p1군- 단지 평행이동 변환만 가지며, 회전변환이나 직선의 반사변환, 미끄럼 반사변환은 포함하지 않는다. 2)p2군- 네 개의 중심에서의 180° 회전변환으로 구성되어 있고, 대칭(반사)변환이나 미끄럼 반사변환은 없다. 3)pm군- 회전변환이 없다. 대칭(반사)변환이 있고, 모두 평행하다. 4)pg군- 미끄럼 반사변환만 가지며, 그들의 축은 모두 평행이다. 회전변환이나 반사변환은 존재하지 않는다. 5)cm군- 회전변환은 포함하지 않는다. 반사변환축을 가지고 그 축들은 모두 평행한다. 적어도 하나는 미끄럼 반사변환을 가지고 그것의 축은 반사변환축이 아니다. 그것은 두 개의 인접한 평행반사 변환축 사이의 중간지점에 있다. 6)pmm군- 두 개의 직각을 이루는 방향의 반사변환과 회전축의 교차하는 점에 위치해 있는 위수가 2인 4개의 회전(180°)중심을 가진다. 7)pmg군- 위수가 2인 두 개의 회전축과 오직 한 방향의 대칭을 가진다. 또한 대칭축에 수직인 미끄럼 반사변환축을 가진다. 모든 회전축은 미끄럼 반사변환축 위에 놓여있다. 8)pgg군- 위수가 2인 두 개의 회전중심들을 포함한다. 그리고 두 개의 수직방향에서 미끄럼 반사변환을 포함한다(180°). 회전의 중심들은 미끄럼 반사변환 축 위에 위치해 있지 않다. 반사변환들은 존재하지 않는다. 9)cmm군- 두 개의 수직한 방향의 반사변환을 가지고, 중심들이 반사변환의 축위에 있지 않은 두 개의 회전변환(180도)이 있다. 또한 반사변환의 축 위에 중심들이 있는 두 개의 회전변환도 가지고 있다. 10)p4군- 위수가 4인 두 개의 회전중심을 가지고, 위수가 2인 하나의 회전중심을 가진다. 그것은 반사변환과 미끄럼 반사변환을 가지지 않는다. 11)p4m군- 위수(90°)가 4인 2개의 회전중심과, 4개의 다른 방향(수평, 수직, 그리고 대각선들)의 반사변환을 가진다. 그것은 그것들의 축이 반사변환축이 아닌 추가의 미끄럼 반사변환을 가진다. 위수(180°)가 2인 회전변환은 미끄럼 반사변환 축의 교차점의 중심에 놓인다. 모든 회전변환의 중심은 반사변환 축 위에 놓여있다. 이것은 4개의 반사변환 축을 가진 같은 정사각형의 행과 열의 똑바른 격자점에 일치한다. 12)p4g군- 위수(45°)가 4인 2개의 회전중심을 가지고 있으며, 그것들은 서로 거울상을 이룬다. 그러나 그것들은 서로 수직의 단지 2개 방향에서 대칭변환을 가진다. 중심이 대칭변환 축상의 교점에 위치하는 위수(180°)가 2인 회전변환이 있다. 그것들 사이에서는 대칭변환 축에 평행한 미끄럼 대칭변환 축을 가지며, 그것들의 각은 45°가 된다. 13)p3군- 중심의 위수 3(120°)인 세 가지 다른 회전을 갖지만, 대칭변환 또는 미끄럼 반사변환을 갖지 않는다. 14)p3m1군- 중심의 위수 3(120°)인 세 가지 다른 회전을 갖는다. 그것은 정삼각형의 세 변에서 반사변환을 가진다. 모든 회전변환의 중심은 반사변환의 축 위에 있다. 인접한 평행 반사변환 축 사이의 중간에 위치하고 있는 세 개의 다른 방향의 축들에 부가적인 미끄럼 반사변환이 있다. 15)p31m군- 두 개가 서로에게 그대로 반영하는 이미지를 가지는, 중심에 대하여 세 개의 순서로(120°) 회전하는 세 개의 다른 회전을 가진다. 이것은 세 개의 다른 방향들에 대하여 반사들을 가진다. 이것은 회전중심이 회전축에 놓여있지 않는 적어도 하나의 회전을 가진다. 세 개의 다른 방향들에는 평행한 반사 축들 사이에 인접하여 중간에 위치하고 있는 축에 대하여 추가적인 미끄러지는 반사들이 있다. 16)p6군- 위수 6(60°)인 하나의 회전중심을 갖는다. 이것은 또한 위수 3인 두 개의 회전중심을 가지는데, 60°의 회전(또는 180°)으로 구분이 가능하다. 그리고 위수가 2인 3개의 회전중심을 가지며, 이것은 60° 회전으로 구분된다. 반사와 미끄럼 반사는 존재하지 않는다. 17)p6m군- 한 개의 위수가 6인(60°) 회전중심을 가진다. 이것은 또한 두 개의 위수 3인 회전중심을 가지고 있는데, 이것은 60° 회전(혹은 180°)으로 구분이 가능하다. 그리고 3개의 위수가 2인 회전중심을 가지며, 이것은 60° 회전으로 구분된다. 또한 6가지의 구분 가능한 방향으로의 반사가 존재한다. 그 각각의 6가지 방향에 대해 미끄럼 반사 역시 존재한다. 이 미끄럼 반사의 축은 평행하게 인접한 반사축의 중간에 위치해 있다. |
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