[수학사랑] 정오각형, 정육각형 작도하기

[폭풍속으로]

정오각형 정육각형 작도하기

정육각형은 한 내각의 크기가 120도 이니깐 60도를 두번 작도하면 될 것입니다. 또는 정삼각형 6개를 이용해도 되겠죠..아니면 다음과 같이 해도 됩니다.
http://home.hanmir.com/~pi3wi2/drawfigure/six2.htm

그런데 정오각형의 한 내각의 크기는 108도라서 다른 것처럼 쉽게 작도하기는 어려울 것입니다. 아래 홈페이지에는 정오각형의 작도법이 나와 있습니다.

http://home.hanmir.com/~pi3wi2/drawfigure/five2.htm


관리자주 : 알려진 정오각형의 작도법은 많이 있습니다만, 위 홈페이지에 난 작도법을 다시 싣고 간단한 증명을 붙입니다.

1. 반지름 OA 와 그 연장선을 긋고, 이 지름과 수직인 선분을 작도하여 원과의 교점을 B 라고 합니다.
편의상 OA = OB = 2a 라고 하겠습니다.

2. 선분 OA 의 이등분점을 작도하고 그것을 C 라고 합니다.
피타고라스의 정리에 의하여 BC = root(5) a 임을 압니다.

3. 점 C 를 중심으로 하고, CB 를 한 변으로 하는 원을 작도하여, OA 의 연장선과 만나는 교점을 D 라고 합니다.
따라서 OD = CD - OC = (root(5)-1) a 가 됩니다.
역시 피타고라스의 정리에 의하여,
BD = root(10-2root(5)) a 임을 알 수 있습니다.

4. BD 를 반지름으로 하고, B 를 중심으로 하는 원을 작도하여, 최초의 원과 만나는 점을 E 라고 하고,
삼각형 OBE 를 생각하고, 각 BOE 를 t 라고 할 때,
코사인 제 2 정리에 의하여,
cos t = (root(5) - 1)/4 가 됨을 계산할 수 있습니다.

한편 cos(72도) 를 구해 봅시다.

s = 72 도 라고 두면, 5s = 360 도입니다.
sin(5s) = 5 sin s - 20 sin^3 s + 16 sin^5 s 이므로,
근의 공식에서 sin^2 s = (5+-root(5))/8 인데,
sin^2 s = (5+root(5))/8 이다.
(sin^2 (45도) = 1/2 보다 크므로)
==> cos^2 s = (3-root(5))/8 임을 안다.
==> cos s = (root(5)-1)/4
즉, cos(72 도) = (root(5)-1)/4 이므로,
t = 72 도임을 얻게 되어,
원하는 각 360 도를 오등분했으므로 작도를 끝낼 수 있습니다.

삼각함수의 덧셈정리를 몰라도 cos(72도) 를 구하는 방법을 써 둡니다.

먼저 윗각 A 가 36 도이고, AB=AC=1 인 이등변삼각형 ABC 를 그립니다.
따라서 밑각은 (180-36)/2 = 72 도가 됩니다.
밑각 C 의 이등분선을 작도하여 선분 AB 와의 교점을 D 라고 합니다.
이 때, 삼각형 CDB 도 윗각이 36 도인 이등변삼각형입니다.

BC = x 라고 하면, CD = x 임을 알고,
CDA 역시 이등변삼각형이므로, AD = x 가 되어,
DB = 1-x 임을 압니다.

한편 ABC 와 CDB 의 닮음으로부터 1:x = x:1-x 가 되어야 하므로,
x^2 = 1-x, 즉, x^2 + x - 1 = 0 이 성립합니다.
이 식을 풀면, x = (-1+-root(5))/2 인데, x 는 양수이므로,
x = (-1+root(5))/2 가 됩니다.

cos(72도) = x/2 이므로, 원하는 결과를 얻습니다.

권현직의 수학마당을 방문하시면 다각형 작도 부분에서 위의 과정을 직접 보실 수 있습니다.