인문학개념어 사전 170/유클리드의 공리 Euclid’s Axiom 欧几里得公理

유클리드의 공리Euclid’s Axiom 欧几里得公理 유클리드의 공리는 그가 집대성한 [기하학원론(Element)]의 1권에 나오는 기하학의 공리다. 유클리드의 공리로 알려져 있으나 ‘유클리드의 공준’과 ‘유클리드의 공통 개념’이 정확한 명칭이다. 용어 ①공리(Axiom, 公理)는 증명 없이 참으로 인정되는 명제 즉, 조건 없이 전제되는 기본명제와 이론이고, ②공준(Postulates, 公準)은 기하학에서 증명 없이 참으로 인정되는 일반 명제이며, ③공통 개념(Common notions, 共通槪念)은 상식과 사실에 근거하여 설정한 일반적 개념이고, ④정의(Definitions, 定義)는 어떤 개념을 명확하게 규정하는 것이고, ⑤명제(Proposition, 命題)는 어떤 문제에 대한 논리적 판단을 언어 또는 기호로 표시한 것이며, ⑥정리(Theorem, 定理)는 정의, 공리, 보조정리를 기반으로 증명된 것을 제시한 것이다. 이상 용어들은 맥락에 따라서 달리 쓰이기도 한다.유클리드는 [기하학원론]에서 정의, 공준, 공통 개념, 명제를 나누고 정리, 연습, 문제 등을 이용하여 이 개념들을 명료하게 설명했다. 일반적으로 공리는 영역이나 맥락과 관련된 것이고 공준은 주장의 근거로 사용될 때 일반적으로 받아들여지는 것이다. 현대수학에서는 공리를 공준과 공통 개념으로 나누어 설명한다. 공준과 공통 개념은 [기하학원론] 1권에만 나온다. [기하학원론]에는 공준 5개, 공통 개념 5개, 정의 131개, 명제 465개가 있다. 1권에만 나오는 공준과 공통 개념은 13권 전체에 보편적이라는 뜻이다. 유클리드가 설정한 공준과 공통 개념은 다음과 같다. 유클리드의 공준(Postulates, 公準) 1.임의의 두 점을 연결하면 하나의 직선이 된다. 2.임의의 선분은 계속해서 연장할 수 있다. 3.서로 다른 두 점이 있고 한 점을 중심으로 하면 그 선분을 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다 4.모든 직각은 서로 같다. 5.평면상의 두 직선이 하나의 직선과 만나고, 두 선과 횡단선 사이의 내각의 합이 2직각(180°)보다 작은 경우, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. 기하학의 공준은 증명이 필요 없으므로 공리라고 할 수 있다. 공준 1, 2, 3번은 작도에 관한 것이고, 공준 4는 각에 관한 것이며, 공준 5는 평행선에 관한 것이다. 직선은 가장 가까운 거리를 연결한 선이고, 직선은 무한히 확대되는 성질이 있다. 공준 5번은 직관으로 타당하지만 증명되지 않았고 설명이 부족해서 많은 논란이 있다. 5공준은 ‘직선 밖의 한 점을 지나 이와 만나지 않는 직선을 단 하나 그을 수 있다’라는 의미다. 리만(B. Riemann)은 ‘직선 밖의 한 점을 지나 이와 만나지 않는 직선은 없다’라는 또 다른 공리를 만들었다. 리만공간에서 성립하는 리만기하학은 비유클리드기하학의 출발점이다. 유클리드의 공통 개념(Common notions, 共通槪念) 1.동일한 것과 같은 것들은 서로 같다. 2.같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 같다. 3.같은 것에서 같은 것을 빼면 남은 것은 같다. 4.포갤 수 있는 것은 같다. 5.전체는 부분보다 크다. 유클리드가 설정한 공통 개념은 기하학만이 아니라 논리학, 철학, 물리학, 천문학 등 다른 모든 학문에도 적용된다. 특히 공통 개념 1, 2, 3, 4번은 논리학의 동일률과 개념이 유사한데, 동일성, 식별불가능자 동일성 등으로 발전했다. 동일률(同一律)은 ‘A는 A다’ 또는 A=A, A≡A, A⊂A(부분 동일) 등으로 표시되며 ‘모든 대상은 그 자체와 같다’는 형식논리학의 근본원리이다. 한편 공통 개념 5번 ‘전체는 부분보다 크다’는 많은 논란을 일으켰다. 당시에는 집합 개념이 없었기 때문에 타당한 공리로 인정되었다. 직관적으로도 타당하다. 그런데 칸토어(G. Cantor)는 집합을 이용하여 부분이 전체보다 클 수 있음을 증명했다. 물론 칸토어의 정리는 원소 자체의 크기를 말하는 것이 아니라, 원소가 만드는 부분집합의 총합이 원래의 집합보다 크다는 의미이기 때문에 유클리드의 공리가 틀렸다고 할 수는 없다.★(김승환) *참고문헌 Thomas Little Heath, The thirteen books of Euclid's Elements, (Cambridge University Press, 1908).*참조 <개념>, <기하학>, <동일률⦁모순율⦁배중률>, <동일성[라이프니츠]>, <멱집합>, <부분집합>, <식별불가능자 동일성의 원리>, <실수>, <유클리드기하학>, <유클리드의 정의>, <직관>, <집합>