골드바흐의 추측에 관하여

[재후]

골드바흐의 추측에 관하여

(Goldbach's conjecture)

이것은...

1742년 6월 7일 이래로

풀리지 않고 있는 문제이다.

약 280년 간에 걸쳐

풀리지 않고 있는 문제인 것이다.

골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 

오래전부터 알려진 정수론의 미해결 문제로, 
2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(Prime number)의 합으로 표시할 수 있다는 것이다. 
(이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다.)

---

4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17
32 = 3+29 = 13+19
34 = 3+31 = 5+29 = 11+23 = 17+17
36 = 5+31 = 7+29 = 13+23 = 17+19
38 = 7+31 = 19+19
40 = 3+37 = 11+29 = 17+23
42 = 5+37 = 11+31 = 13+29 = 19+23
44 = 3+41 = 7+37 = 13+31
46 = 3+43 = 5+41 = 17+29 = 23+23
48 = 5+43 = 7+41 = 11+37 = 17+31 = 19+29
50 = 3+47 = 7+43 = 13+37 = 19+31

이를테면,

위와 같이

4부터 50까지의 짝수를

두 개의 소수의 합으로 표현할 수 있다.

 
그러나 

모든 짝수에서 가능한지는 

아직까지 해결하지 못하고 있다.

---

---

1742년 6월 7일에 

프로이센 수학자 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)는 

레온하르트 오일러에게 편지를 보내 다음과 같은 추측을 제안하였다.

"두 소수의 합으로 표현 가능한 모든 정수는, 

모든 항이 1이 될 때까지 원하는 만큼 얼마든지 많은 개수의 소수의 합으로 분해할 수 있다."

그는 편지의 말미에 다음과 같은 두 번째 추측을 했다.

"2보다 큰 모든 정수는 세 개의 소수의 합으로 표현가능하다."

그는 1을 소수로 취급했지만 후에 이 개념은 폐기되었다. 

이 두 추측은 동치이지만 당시에 이슈가 되지는 못했다. 

골드바흐의 마지막 문장은 오늘날의 개념으로 다음과 같이 설명할 수 있다

"5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현가능하다."

오일러는 1742년 6월 30일에 답장을 보내 

골드바흐와 한 예전의 대화를 떠올리면서 다음과 같은 문장으로 바뀌었다.

"2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현가능하다."

이것은 골드바흐의 원래 추측을 포함한다. 

모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현가능하다면, 

홀수의 경우 3을 더하면 되고, 짝수의 경우는 2를 더하면 

세 소수의 합으로도 표현가능해지기 때문이다.

---

짝수 4의 경우는

짝수 소수 2를 두 번 동원하여

4 = 2 + 2로 표현할 수 있다.

그러나 6 이상의 짝수부터는 

짝수 소수 2를 동원할 수 없다.

왜냐하면 모든 자연수 n에 대하여

6+2(n-1) = 4+2n = 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...에서

4 + 2n  = 2+4, 2+6, 2+8, 2+10, ... 으로 알 수 있듯이

소수 2를 동원하면

다른 하나는 2보다 큰 짝수여서 소수가 아니기 때문이다.

따라서

4를 넘어서는...

6 이상의 모든 짝수부터는

두 홀수 소수의  합으로 나타내야 함을 알 수 있다.

이를 위해 다음과 같은 그림을 생각하면 될 것이다.

즉 골드바흐의 추측은

6 이상의 짝수부터 생각하는 것이

정신 건강에 조금 더 이로울 수 있는 셈이다.

---

이제

다음과 같이 짝수 소수 2를 제외한

홀수 소수 수열을 생각하자.

그러면

아래 그림을 기준으로...

우선

i번째 홀수 소수까지만 생각할 경우

그 세로 열에는

i개의 짝수가 들어차게 된다.

그 짝수는 다음과 같다.

P(1)+P(i)

P(2)+P(i)

P(3)+P(i)

...

P(i)+P(i)

이때 최대 짝수는 2P(i) 이다.

그러면 위 그림에서

P(1)과 P(1)이 만나는 격자부터

P(i)와 P(i)가 만나는 격자까지

적혀있는 짝수의 갯수는

1 + 2 + 3 + ... + i = i(i+1)/2 (개 )가 된다.

그리고 그때 까지 적혀 있는

모든 짝수 중...

짝수의 최소값은 2P(1)이고

짝수의 최대값은 2P(i)이다.

---

이제

P(7) = 19가 존재하는 열을 살펴보면...

P(5)+P(7) = 13 + 19 = 32가 존재하는데

그 전까지는 존재하지 않던 짝수이면서

그 전에 존재하던 최대 짝수 34보다는

작은 짝수이다.

즉 2P(1)에서 2P(i)까지

중복을 허용한 i(i+1)/2 개의 짝수 중

존재하지 않는 짝수가 있을 수 있는 셈이다.

위 그림에서

짝수 20이 그러하며

짝수 32가 또한 그러하다.

둘의 공통점을 살펴보면

P(i-1)+P(i+1) 형식으로 나타낼 수 있다.

즉

20 = P(3)+P(5) = 7 + 13인데

20 = P(4-1) + P(4+1) 이며,

32 = P(5)+P(7) = 13 + 19인데

32 = P(6-1) + P(6+1)인 것이다. 

즉 

골드바흐의 추측을 만족하는

짝수 중에서

20, 32와 같은 종류의 짝수는

특이한 위치에 있는 짝수에 해당되는 셈이다.

이러한 짝수는

쌍둥이 소수 (P, P+2)와

쌍둥이 소수 (Q, Q+2)에서

(P+2)+(Q+2) = (P+Q+4)일 가능성이 많아 보인다.

---

6 이상의 짝수는

다음과 같이

두 자연수의 합으로 나타낼 수 있다.

6 = 1 + 5

6 = 2 + 4

6 = 3 + 3

마찬가지로

12의 경우 다음과 같이

두 자연수의 합으로 나타낼 수 있다.

12 = 1 + 11

12 = 2 + 10

12 = 3 + 9

12 = 4 + 8

12 = 5 + 7

12 = 6 + 6

즉

6 이상의 짝수 2n은

n 가지의 두 자연수 합으로 나타낼 수 있다.

그 중 

두 소수의 합의 형태가 존재한다는 것이다.

12의 경우

12 = 5 + 7이

거기에 해당된다.

보통 어떤 수를 두 수의 곱으로 표현하는 것도 재미있는 발상인데...

12 = a + b = c * d의 관계를 생각해 보는 것도 재미있을 것이다.

c, d를 위해서는

root(12) 이하의 소수만을 생각해도 되는데...

이 중에서

root(12)보다

크거나 같은 최소의 소수와 관계되는 경우도 많은 듯 하다.

즉 

root(2n) <= p를 만족하는

최소의 소수 p에 관심을 기울일 필요가 있다.

root(6) <= p를 만족하는 최소의 소수 p는 3

6 = 3 + 3 (O)

root(8) <= p를 만족하는 최소의 소수 p는 3

8 = 3 + 5 (O)

root(10) <= p를 만족하는 최소의 소수 p는 5

10 = 5 + 5 (O)

root(12) <= p를 만족하는 최소의 소수 p는 5

12 = 5 + 7 (O)

root(14) <= p를 만족하는 최소의 소수 p는 5

14 = 5 + 9 (X)

즉

root(2n) <= x를 만족하는 최소의 소수 x를 p라 하면

2n = p + q에 해당하는 q가 소수일 가능성이 아주 높음을 알 수 있다.

(물론 14 = 5 + 9처럼 아닌 경우도 있다.)

이러한 경우에 해당하는 것을

좀 더 확인해보자.

16 = 5 + 11 (O)

18 = 5 + 13 (O)

20 = 5 + 15 (X)

아닌 경우는 어떻게 해야 할까?

최소 소수가 안되면

그 다음 최소 소수를 선택하면 다시 가능성이 높아진다.

즉

14 = 7 + 7 (O)

20 = 7 + 13 (O)

---

---

시간 날 때 계속...