[수학영재교육센터] 사망 추정 시간 구하기

[사망 추정시간 구하기 - "수학포탈" 님] 영화 등에서 죽은 사람에 언제 죽었는지 추정하는, 즉 사망추정시간을 이야기하는 장면을 종종봅니다. 이 글에서는 어떠한 수학적 방법을 사용하여 사망시간을 추측하는지에 대해 간략하게 소개하겠습니다. 이글은 W.E. Boyce, R. C. DiPrima, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", pp.48-49. 에 있는 내용을 발췌, 요약한 것입니다. -------------------------------------------------------------------------- 스스로 열을 내지 않는 물체는 주위 대기의 온도에 따라 열을 내기도 하고 열을 흡수하기도합니다. 관찰에 의하면, 주위 대기의 온도를 T라는 상수로 놓았을 때 t시간후의 물체의 온도 y(t)는 dy/dt = -k(y-T) (단, k는 양의 비례상수) 와 같은 미분방정식을 만족합니다. 즉 y가 T보다 크다면 y의 변화량 dy/dt가 음수이므로 그 물체의 온도는 내려간다는 뜻이고 y가 T보다 작으면 온도가 올라간다는 것을 이야기합니다. 이제 위의 미분방정식을 풀어봅시다. t=0일 때의 물체의 온도를 y_0라 두면 y(t) = T + (y_0 - T) e^{-kt} ...... (*) 임을 알 수 있습니다. 이제 사망추정시간을 계산해봅시다. 위의 식을 잘 이용하면되는데 한가지 문제는 비례상수 k를 아직 모른다는 것입니다. k값을 알기위해 다음과 같은 방법을 사용합니다. 시체를 발견했을 당시, 즉 t=0일 때 시체의 온도를 y_0라 놓습니다. 그리고 그 뒤 t_1시간 후의 시체의 온도를 다시 잽니다. 그것을 y_1이라 둡시다. 그러면 위 식으로부터 y_1 - T = (y_0 - T) e^{-k t_1} 이라는 식을 얻고 이로부터 k = - {\frac{1}{t_1}} \log{\frac{y_1 - T}{y_0 - T}} ......(**) 임을 알 수 있습니다. 이제 비례상수 k를 계산할 수 있으므로 사망추정시간 t_d를 계산해봅시다. 죽었을 때의 체온을 y_d라 두면 위 (*)로부터 t_d = - {\frac{1}{k}} \log{\frac{y_d - T}{y_0 - T} 입니다. 그러므로 죽었을 때의 체온 y_d, 발견당시의 체온 y_0, 당시 대기의 온도 T를 알아내고, 또 위 (**)로부터 k를 구해내면 사망추정시간 t_d를 알아낼 수 있습니다. 예를 들어보지요. 발견당시 시체의 체온이 35도, 두시간 후의 시체의 체온이 29도, 그 당시 대기의 온도가 25.5도였다고 합시다. 그리고 죽었을 때의 체온은 평상시와 같은 37도였다고 가정합시다.(원래는 37.5도인데 계산의 편의를 위해 37도라 놓았습니다) 그러면 위 (**)로부터 k = - {\frac{1}{2}} \log{\frac{29 - 25.5}{35 - 25.5}} = 0.5207. 그러므로 t_d = - {\frac{1}{0.5207}} log{\frac{37 - 25.5}{35 - 25.5}} = -1.129. 발견당시를 t=0라 놓았으므로 발견당시보다 1.129시간전 즉 1시간 8분 전에 사망했다는 것을 알 수 있습니다.