인문학개념어사전 173/소수(素數) Prime Number 质数

소수(素數)Prime Number 质数 소수(素數)는 1과 자기 자신만으로 나누어지는 양의 정수이자 다른 수(number)의 바탕이 되는 수다. 자연수(natural number)인 소수는 1보다 큰 두 개 이상 자연수의 곱이 아닌 수여야 한다. 어떤 수를 곱하면 0이 되는 0과 어떤 수를 곱하면 다시 그 수가 되는 1은 소수가 아니다. 따라서 모든 소수는 1보다 큰 양의 정수(integer) 즉, 자연수이며 거의 모든 소수는 홀수다. 짝수인 소수는 2 하나다. 왜냐하면 2보다 큰 짝수는 최소한 1, 자기 자신, 2의 세 수로 나누어지기 때문이다. 소수는 완전한 수 또는 으뜸수라는 의미가 있다. 소수는 산수의 기본이자 원리이기 때문에 중요하다. 그 이유는 소수가 바탕이 되어 다른 수를 구성하며 소수는 다른 수로 약분되지 않는 근원적 수이기 때문이다. 반대로 말하면 1보다 큰 모든 자연수는 1과 자신으로 나누어지는 소수이거나 여러 소수로 인수 분해되는 합성수다.소수는 다른 수를 형성하는 수다. 가령 8은 소수 2와 4가 만든 수이고, 15는 소수 3과 소수 5가 만든 수다. 그런 점에서 소수는 수의 주춧돌이나 기둥과 같다. 만약 기둥이 여러 개로 연결되어 있다면 허약하여 지붕을 지탱할 수 없을 것이다. 하나의 튼튼한 기둥처럼 소수도 하나의 튼튼한 바탕이다. 이것을 소수가 가진 특징인 소수성(primality)이라고 한다. 이런 소수의 의미는 어원 prime에 담겨 있다. 소수의 어원은 ‘으뜸, 첫 번째, 무엇을 넘어선’인 라틴어 primus다. 어원에 담겨 있는 것과 같이 소수는 수 이론의 으뜸이자 첫 번째 토대다. 100 이하의 소수 25개는 다음과 같다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 소수의 반대 개념이면서 소수가 아닌 수를 합성수라고 한다. 합성수(composite number, 合成數)는 소수를 합성하여 얻어지는 수다. 합성수를 자연수로 소인수 분해하면 약수를 추출할 수 있다. 8과 9의 예를 들어보자. 가령 8=2×4이므로 8의 약수는 1, 2, 4, 8인 네 개이며 9=3×3이므로 9의 약수는 1, 3, 9인 세 개다. 100이나 1000 이하의 수에서 소수를 찾아내기 쉽다. 하지만 수가 커지면 소수를 찾아내거나 소수를 판정하는 것은 어렵다. 소수를 찾아내는 방법의 하나가 에라토스테네스의 체(sieve of Erathosthenes)다. 100 이하의 수를 예로 들어보자. 먼저 2 이상의 수를 모두 걸러낸다. 그러면 모든 짝수가 걸러진다. 그다음 3의 배수를 걸러내고 그다음 5의 배수, 7의 배수, 11의 배수 13의 배수, 17의 배수 등 소수의 배수를 걸러낸다.이 체에 걸리지 않는 수가 남는다. 그 수가 바로 소수다. 이때의 소수들을 소인수(prime factor)라고 한다. 큰 수에서 소수를 찾기는 어렵지만, 소수는 무한히 많다. 고대 그리스의 유클리드는 [기하학원론]에서 소수의 무한성을 주장하였다. 그리고 소수를 대수의 근본으로 설정했다. 유클리드는 소수의 무한성을 소수를 곱한 수에 1을 더하여 짝수가 아니라면 그 수는 소수라고 주장했다. 예를 들면 소수의 순서대로 2, 3, 5, 7, 11을 곱하면 (2×3×5×7×11) 2310이고 거기에 1을 더하면 2311이 된다. 1을 더했으므로 2, 3, 5, 7, 11은 소인수가 아니다. 따라서 2311은 소수다. 유클리드에 의하면 이런 방식으로 무한히 많은 소수를 만들 수 있다. 이 주장이 참인지는 밝혀지지 않았지만, 소수의 무한성은 타당한 주장이다. 소수의 무한성을 칸토어의 집합론으로 설명하면 소수의 크기와 정수의 크기는 같다.그 이유는 무한한 정수와 무한한 소수가 일대일대응하기 때문이다. 소수는 불규칙하게 나타나기 때문에 아주 큰 수가 소수인지 판정하기 어렵다. 수학자들은 소수를 판정하는 AKS 판정법을 찾아냈지만, 소수를 찾아내는 방법을 찾지는 못했다. 특별한 소수인 메르센 소수(Mersenne primes)는 2n-1이 소수인 수이고 페르마 소수(Fermat primes)는 2n+1이 소수인 수다. 정다각형 작도에서 유용한 페르마 수는 3, 5, 17, 257, 65537의 다섯 개다. 약수로 분해되지 않는 소수의 특성 때문에 소수는 정보과학과 암호 기술에서 중요하다. 소수와 관련된 많은 정리와 추측이 있는데 그중에서 골드바흐의 추측이 유명하다. 골드바흐(C. Goldbach)는 1742년 ‘모든 짝수는 두 소수의 합이다’라고 주장했다. 골드바흐의 추측(Goldbach conjecture)과 ‘5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다’라는 약한 골드바흐의 추측이 있다.★(김승환) *참고문헌 Thomas Little Heath, The thirteen books of Euclid's Elements, (Cambridge University Press, 1908).*참조 <0>, <기수>, <기하학>, <무리수>, <복소수>, <소수(少數)>, <순서수>, <실수>, <알레프 수>, <연속체가설>, <유리수>, <유클리드의 정의>, <일대일대응>, <자연수>, <정수>, <집합>, <허수>