Re:수리통합논술은 개념학습의 완성

[백두대간]

수리통합논술은 개념학습의 완성

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우리말 논술 [난이도-고등] / 
수학비타민

우리는 다양한 수학적 개념을 배우고 학습하는 과정에서 시대적 상황을 고려하지 않을 수 없습니다. 즉, 옛날에는 어렵고 복잡한 계산과정을 하나하나 직접 계산해야 했지만 무척 빠르고 엄청난 정보의 바다 속을 사는 현대 사회에서는 많은 시간을 투자해가며 시간을 보내거나 어려운 연산과정에 여러 사람이 고생할 필요가 없어졌습니다.

왜냐하면 계산과정에서 나타나는 연산의 논리적인 의미와 개념을 알고 있다면 컴퓨터라는 도구를 이용하여 어려운 계산조차 쉽게 해낼 수 있는 시대가 되었기 때문입니다. 즉, 수학을 공부하는 목적이 계산이 아니라 명확한 개념을 바탕으로 논리적인 사고의 과정이 중요해진 것입니다. 다시 말하면 어떤 개념이 왜 만들어졌고 그 개념이 어떻게 사용되며 다른 방법으로 사고하면 이러하고 내용의 전개가 이렇게 되면 오류가 발생한다는 등의 구체적인 개념학습이 통합논술의 힘이 되는 시대라는 뜻입니다.

예를 들어봅시다. “14×13은 182” 라고 짧은 시간 안에 대답하기란 중고등학생들조차도 결코 쉬운 일이 아닙니다. 하지만 그 안에 숨어있는 수학적인 개념을 이해하고 나면 우리가 컴퓨터를 사용하지 않고도 아주 쉽게 계산 할 수 있게 되는데, 이와 같은 원리를 찾아 나서는 과정이 수리 논술의 중요한 대상이 된다는 것입니다.

즉, 항등식 (x+a)(x+b)=x²+ax+bx+ab=(x+a+b)x+ab은 임의의 실수 x에 대하여 항상 성립하는 식이므로 x에 어떤 자연수를 넣어도 등식이 성립함을 알 수 있습니다.

따라서 x=10, 0≤a≤9, 0≤b≤9 라고 하면

(10+a)(10+b)=10²+10a+10b+ab=(10+a+b)10+ab 임을 알 수 있습니다.

즉, 13 × 14는 (10+3)(10+4)=10²+10×3+10×4+3×4=(10+3+4)10+3×4=17×10+12=182고

17×19는

(10+7)(10+9)=10²+10×7+10×9+7×9=(10+7+9)10+7×9=26×10+63=323 이라는 것입니다.

처음에는 익숙하지 않지만 10개 정도의 문제만 해결해보면 거의 모든 문제를 해결할 수 있다는 것을 알게 되고 좀 더 나아가서는 요즘 유행하고 있는 19×19단이 아주 간단한 알고리즘에 의해 해결된다는 것을 알게 됩니다. 개념에 대한 심도 있는 학습이 가져다준 선물인 것입니다.

하나 더 예를 들어보기로 합시다.

를 여러분들은 어떻게 이해하고 있나요? 이 과정에 개념의 관찰하는 논리를 달리해서 얻어지는 미학을 즐길 수 있다는 것입니다.

학생들은 위 내용을 보며 간단한 등식으로 보고 아래와같이 쉽게 넘어갈지도 모릅니다. 왜냐하면 1≤n을 만족하는 자연수 n에 대하여

과 같이 쉽게 증명이 된다고 생각하기 때문입니다.

그러나 좀 더 관찰해보면 개념을 이해하는 다른 방법이 있다는 것을 알게 된다는 것입니다. 즉, 10C3은 서로 다른 10명에서 3명을 선택하는 것이므로 10C3은 다음 표와 같이 8개의 배반사건들의 합으로 표현 할 수 있다는 것입니다.

따라서 임을 새로운 시야를 가지고 관찰하게 된 것입니다. 이와 같이 교육과정 내의 여러 개념을 심도 있게 학습해 보고 다양한 사고의 전환을 경험해보는 것은 통합논술 학습의 중요한 과정인 것입니다. 위에 설명한 개념학습의 내용들은 연세대가 제시한 수리통합논술 예시문항을 통해 경험해볼 수 있을 것입니다.

이동흔 남강고 progauss@hanmail.net

■ 연세대 수리통합논술 예시문항

[문제1] 아래에서는 주어진 정보에 근거하여 다면의 길이와 체적을 구하는 과정 각각을 설명하고 있다. 공식을 유도하는 과정의 타당성에 관하여 논하시오.(배점:25점)

(단면의 면적 A(r)을 이용, 단면의 길이 L(r)을 구하는 논리)

반경이 r인 원기둥을 45˚ 각도로 잘라서 생성되는 단면의 면적을 A(r), 둘레 길이를 L(r)이라고 하자. r의 함수로 단면의 면적 A(r)을 알고 있을 때, 이를 이용하여 단면의 둘레 길이 L(r)을 구하고자한다.

반경이 각각 r,r+h(h>0) 인 원기둥을 45˚ 각도로 자른 단면의 면적은 A(r), A(r+h)이다. 큰 단면에서 작은 단면을 제거하면 가느다란 띠가 생성되는데, 이 띠의 면적은 이 두 단면의 면적의 차이 A(r+h)-A(r)이다. 이 띠를 풀면 직사각형으로 근사할 수 있고, 이 직사각형은 밑변의 길이는 우리가 구하고자 하는 단면의 길이 L(r)이고 높이는 h이다.

A(r+h)-A(r)=L(r)h

A(r+h)-A(r)

──────=L(r)

h

위의 근사는 h가 작아질수록 정교하여지므로, 위 식에서 h을 0으로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,L(r)=d/drA(r)

(구의 표면적 S(r)을 이용, 구의 체적 V(r)을 구하는 논리)

반경이 r인 구의 표면적을 S(r), 체적을 V(r)이라고 하자. r의 함수로 구의 표면적 S(r)을 알고 있을 때, 이를 이용하여 구의 체적 V(r)을 구하고자한다.

구의 반경 r을 n등분하여 구를 반경이 k/n·r, k=1,2,…n인 구의 표면을 이용하여 분할하면, 구는n개의 얇은 ‘양파껍질’이 모여서 이루어졌다고 생각할 수 있다. 각각의 양파껍질은 표면의 넓이가 S(k/n·r)이고 두께가 r/n이므로, 양파껍질의 체적은 근사적으로 S(k/n·r)r/n이다. 구의 체적은 이들 양파껍질의 체적을 더하면 되므로 다음과 같이 주어진다.

위의 근사는 n이 커질수록 정교하여지므로, 위 식에서 n을 무한대로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,

출제의도

순수 수학적인 문제에서는 계산을 위주로 하는 기존의 문제형식을 탈피하였으며 중요도가 떨어지는 지엽적인 문제의 출제도 지양하였다. 계산문제가 아닌 근본적인 개념, 새로운 아이디어, 여러 가지 아이디어를 종합하는 능력을 측정하도록 문제를 구성하였으며, 수학(혹은 과학) 부분에서 가장 중요한 도구인 미분과 적분을 중심으로 문제를 구성하였다.

풀이

단면의 길이 L(r)을 구하는 과정에서 원기둥을 45˚ 각도로 자르면 그 단면의 모양은 타원형이 된다. 따라서 반지름이 각각 r,r+h의 원기둥을 45˚ 로 자르면 생기는 두 타원 사이의 거리는 측정지점에 따라 달라진다.

따라서 이 띠를 풀었을 때 생기는 직사각형의 높이 또한 h로 고정시킬 수 없다. 그러므로 위의 공식유도과정은 타당하지 않다. 이에 반해, 체적을 구하는 공식의 유도과정에서는 같은 원리로서 양파껍질을 펼쳤다고 생각하였을 때, 분명 두께는 어느 부분에서나 r/n로 일정하다.(입체에서의 높이) 따라서, 구분구적법을 적용할 수 있고, n을 ∞로 근사시켜 구의 체적을 구할 수 있다.(타당함)