뫼비우스의 띠

[귀뚜라미]

아래 그림은 재활용을 상징하는 마크의 모습이다. 자세히 보면 뫼비우스의 띠(Möbius strip) 모양을 하고 있다.  왜 재활용 마크로 뫼비우스의 띠를 사용하고 있을까? 뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가지고 있는데, 가장 특징적인 것은 어느 지점에서나 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 정반대 면에 도달할 수 있고, 계속 나아가 두 바퀴를 돌면 처음 위치로 돌아온다는 점이다. 이 때문에 재활용 마크로 뫼비우스 띠를 사용하고 있는 것이다. 이렇게 보면, 이미 사용한 자원도 다시 사용할 수 있다는 재활용을 상징하는 것으로 뫼비우스의 띠보다 나은 것을 찾기도 어려운 것 같다.

재활용을 상징하는 마크는 뫼비우스 띠 모양을 하고 있다(좌). 뫼비우스의 띠(우). <출처 : (cc) David Benbennick>

뫼비우스의 띠

뫼비우스 띠는 수학의 기하학과 물리학의 역학이 관련된 곡면으로, 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형이다. 즉, 안과 밖의 구별이 없다. 이 띠는 1858년에 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)와 요한 베네딕트 리스팅(Johann Benedict Listing)이 서로 독립적으로 발견했다.이 띠를 만든 뫼비우스는 대중적인 천문학 논문인 ‘핼리혜성과 천문학의 원리’뿐만 아니라 정역학, 천체역학과 다양한 많은 수학적 논문을 발표한 천문학교수였는데, 오늘날 그는 뫼비우스 띠로 더 유명하다.

종이를 길게 잘라서 띠를 만든 후 종이 띠의 양 끝을 그냥 풀로 붙이면 도넛 모양의 토러스가 되는데, 한번 꼬아 붙이면 뫼비우스 띠가 된다. 이 꼬임으로 띠는 특별한 성질을 가지게 된다. 종이를 잘라 띠를 만든 후 그 띠를 한 번 꼬아서 붙이면 다음 그림과 같이 모서리 AD의 화살표와 모서리 CB의 화살표가 같은 방향으로 가는 하나의 화살표가 된다. 즉 꼭짓점 A는 꼭짓점 C, 꼭짓점 D는 꼭짓점 B와 일치하게 된다.

뫼비우스 띠의 수학적 표현

이런 뫼비우스 띠를 수학적으로 표현하면 어떻게 될까? 3차원 실공간 R³에서 뫼비우스 띠는 두 매개변수 u, v(0≤u≤2π, -1≤v≤1)를 이용하여 다음과 같은 매개변수방정식으로 나타낼 수 있다.

위의 매개변수방정식을 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같은 3차원 공간의 xy-평면위에 중심이 원점에 있고 반지름과 폭이 1인 뫼비우스 띠가 된다. 두 개의 변수 가운데 u는 뫼비우스 띠를 돌고, v는 모서리 사이를 움직인다.

뫼비우스 띠는 직교좌표계가 아닌 다른 좌표계를 이용하여 표현할 수도 있다. 공간에서 좌표계 하면 보통 세 개의 실수축이 서로 직교하는 직교좌표계를 생각한다. 물론 고등학교까지는 직교좌표계만 배운다. 그러나 대학에서는 또 다른 두 개의 좌표계가 등장하는데, 하나는 구의 특성을 이용한 구면좌표계(spherical coordinate system)이고 다른 하나는 원기둥의 특성을 이용한 원주좌표계(cylindrical coordinate system)이다.

구면좌표계(좌)와 원주좌표계(우)를 설명한 그림. <출처: Jorge Stolfi>

구면좌표계는 3차원 공간상의 점을 나타낼 때 (r, θ, φ) 로 나타낸다. r은 원점에서 점까지의 거리, θ는 z축의 양의 방향과 이루는 각도, φ는 x축의 양의 방향과 이루는 각도이다. 원주좌표계는 3차원 공간상의 점을 나타낼 때 (ρ, φ, z) 로 나타낸다. ρ은 z축에서 점까지의 거리, φ는 x축의 양의 방향과 이루는 각도, z는 xy-평면에서의 높이이다. 기회가 된다면 세 가지 좌표계에 관하여 자세히 소개하겠다. 어쨌든, 원주좌표계를 이용하면 뫼비우스 띠는 다음과 같이 표시할 수 있다.

뫼비우스 띠 모양의 비밀을 풀다

길이는 같으나 폭이 다른 종이로 만든 뫼비우스의 띠.

뫼비우스 띠는 원상태로 돌아가 힘의 평형 상태를 유지하는 독특한 형태의 꼬인 부분이 있다. 직선이 운동할 때 생기는 곡면인 ‘가전면(可展面, developable surface)’을 수학적으로 해석하는 것이 뫼비우스 띠의 모습을 예측하는 핵심이다. 이와 관련된 연구가 1930년에 처음 있었으나 그 규칙에 대해서는 지금까지 알려져 있지 않았다. 그로부터 77년이 지난 2007년 영국의 과학자들이 뫼비우스 띠를 만들 때 직사각형 모양의 띠의 폭과 길이의 비율에 따라 에너지 밀도가 달라지며, 띠의 모양에 영향을 준다는 사실을 밝혀냈다. 뫼비우스 띠를 역학적으로 연구한 것은 이것이 처음이며, 에너지 밀도는 띠를 접었을 때 재질 전체에 생기는 탄력에너지로 접힘이 심한 곳에서 가장 높고 평평하게 펴진 곳에서 가장 낮게 나타난다고 한다.

결국 연구팀은 자연계에서 뫼비우스 띠가 실제로 나타나는 모양의 비밀을 수학으로 풀어낸 것이다. 그리고 이 결과는 뫼비우스 띠처럼 꼬인 물체의 잘 찢기는 부분을 예측하거나 화학, 양자물리학과 나노테크놀로지를 이용해 새로운 약이나 구조를 만드는 분야에 다양하게 활용될 수 있다.

뫼비우스의 띠에 관한 연구를 첨단과학에도 응용할 수 있어

단순한 흥밋거리로만 알고 있었던 뫼비우스 띠가 매우 복잡한 수학을 이용하여 비밀이 풀렸고, 이를 첨단산업에 활용할 수 있다는 것이 새삼 놀랍다. 여러분도 주위를 유심히 살펴 아무리 사소한 것이라도 미래를 이끌 첨단 과학을 찾아보기 바란다.

글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수