뫼비우스의 띠의 성질

[귀뚜라미]

뫼비우스의 띠의 성질 중 가장 특징적인 것은 어느 지점에서나 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 정반대 면에 도달할 수 있고, 계속 나아가 두 바퀴를 돌면 처음 위치로 돌아오게 된다는 것이다. 그런데, 이 밖에도 뫼비우스 띠는 우리에게 여러 가지 재미를 선사한다. 뫼비우스 띠의 수학적 성질에 이어 뫼비우스 띠가 주는 재미를 느껴보자.

뫼비우스 띠를 자르면?

뫼비우스 띠를 만든 다음 그 띠의 가운데를 따라 자르면 둘로 나누어질 것 같지만 네 번 꼬인 하나의 띠가 된다. 이것은 뫼비우스 띠가 경계가 하나뿐인 띠이기 때문이고, 자르면 두 번째 경계가 생겨나는 것이다.

뫼비우스의 띠를 2등분하면, 네 번 꼬인 띠가 된다.

또, 뫼비우스의 띠의 폭을 3등분하여 평행한 두 줄로 자르면 두 개의 띠로 분리되는데, 하나는 동일한 길이의 뫼비우스의 띠가 되고, 다른 하나는 두 배로 긴, 두 번 꼬인 띠가 된다.

뫼비우스 띠의 가운데를 자를 때, 몇 번 꼬아 만든 띠인지에 따라 잘린 모양이 다르다. 일반적으로 n번 꼬는 경우를 생각해 보자. n=1인 경우는 한 번 꼬는 것이므로 우리가 알고 있는 뫼비우스 띠로 가운데를 따라 자르면 4번 꼬인 하나의 띠가 된다. 일반적으로 n번 꼬아서 만든 띠의 경우 2n+2번 꼬인 하나의 띠가 된다. 그리고 짝수 번 꼬아 만든 띠를 자른 경우에는 단순히 꼬이기만 한 폐곡선 모양이지만, 홀수 번 꼬아 만든 띠를 자른 경우에는 단순히 꼬인 폐곡선 모양이든지 오른쪽 그림과 같이 돌돌 감긴 폐곡선 모양이 된다.

뫼비우스의 띠를 3등분하면, 뫼비우스의 띠와 두 번 꼬인 긴 띠로 나누어진다.

홀수 번 꼬아 만든 띠의 가운데를 자를 경우의 꼬인 모양

뫼비우스 띠는 꼬는 방향에 따라 다르다

뫼비우스 띠의 또 다른 흥미로운 사실은 유클리드 공간에서 어느 쪽으로 꼬느냐에 따라 두 종류의 뫼비우스 띠가 존재한다는 것이다. 그래서 뫼비우스 띠는 실제상과 거울상이 겹치지 않는 구조이다. 이해하기 힘들겠지만 간단한 실험으로 꼬는 방향에 따라 서로 다른 결과가 나오는 것을 다음과 같이 두 가지 경우로 확인해 보자.

     ① 같은 방향으로 꼬아서 만든 뫼비우스 띠 두 개      
     ② 서로 반대 방향으로 꼬아서 만든 뫼비우스 띠 두 개

②에서 서로 반대 방향이란, 이를테면 한 개는 위로 꼬고, 다른 하나는 아래로 꼬아서 만드는 것이다. ①과 ②에서 준비한 뫼비우스 띠의 가운데에 선을 긋고, 그 줄이 서로 수직이 되게 붙인다. 그리고 두 개의 띠를 아래 그림에서와 같이 가운데에 그린 선을 따라 자른다. 그러면 ①의 경우는 꼬인 상태가 다른 두 개의 띠로 분리되는 반면, ②의 경우는 아래 그림과 같이 마치 영원한 사랑의 맹세를 하는 것과 같이 서로 결합된 두 개의 하트가 된다.

반대방향으로 꼬아서 만든 뫼비우스의 띠를 붙여서 파란 선을 따라 자르면 결합된 2개의 하트가 된다.

앞뒤가 구별되지 않는 특성을 산업적으로 이용

뫼비우스 띠는 앞과 뒤가 구별되지 않는다는 특성이 있기 때문에 산업에도 많이 활용되고 있는데, 그 중 몇 가지를 알아보자. 우선 굿리치사(B. F. Goodrich Co.)는 뫼비우스 띠로 컨베이어 벨트를 만들어 특허를 냈다. 이 벨트는 오늘날에도 재래식 방앗간이나 원동기 등에서 자주 볼 수 있는데, 벨트가 꼬여있기 때문에 양면을 모두 사용할 수 있어서 그렇지 않은 벨트보다 오래 동안 사용할 수 있다. 1928년 포레스트(Lee Forest)는 양면에 모두 녹음이 되는 뫼비우스 필름을 발명했고, 하리(O. H. Harris)는 연마용 뫼비우스 벨트를 발명했으며, 1963년 제이콥(J. W. Jacob)은 드라이 크리닝을 하는 세탁기계에서 사용되는 셀프 크리닝 뫼비우스 필터 벨트를 발명했다. 첨단과학에서는 데이비스(Richard L. Davis)가 원자력에 이용되는 저항기용 뫼비우스 띠를 발명했다.

문화적 영감을 주는 뫼비우스 띠

뫼비우스 띠가 재활용 마크로 이용되는 예를 소개했었는데, 그 밖에도 문화적 이용되는 사례가 많다. 뫼비우스 띠를 예술에 적용한 화가도 있었는데, 에셔(M. C. Escher, 1898~1972)는 뫼비우스 띠를 이용하여 작품을 남겼다. 우리나라의 문학 작품 중에도 뫼비우스 띠가 등장한다. 소설가 조세희의 작품 [난장이가 쏘아 올린 작은 공]은 12개의 이야기로 이루어진 연작 소설로, 그 첫 번째가 뫼비우스 띠이다.

이 이외에도 많은 이야기와 소설 그리고 영화에 뫼비우스 띠가 등장하며, 귀걸이나 목걸이 등 각종 장신구로도 사용되고 있다. 우리나라의 한 유명 통신회사에서는 뫼비우스 띠를 T 모양으로 만들어 자신들의 로고로 사용하고 있는데, 아마도 뫼비우스 띠의 의미를 활용한 것 같다.

글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수