복소 해석학 수업내용 질문(예제15)

[김준형]

이 문제에서
arctanz=(1/2i)ln((1+iz)/(1-iz))로 아크탄젠트가 로그함수로 표현되니까 가지절단인 부분을 찾는 것은 이해됐는데
그 가지절단을 찾기 위해 ln안에 든 (1+iz)/(1-iz)가 0이하인 실수를 찾은 것이 실함수 범위의 로그함수에서의 정의역이 때문이라고 이해해도 될까요??
그렇다면 앞으로 가지절단을 찾을 때 로그 안에 있는 복소식이 0이하인 실수가 되는 범위를 찾아주면 되는걸까요??

[신선물고기]

음.. 실함수 범위의 로그함수가 아니라 우리가 수업시간에 했던 로그함수의 주가지를 고려할 때 그런 것입니다.

가지절단을 찾을 때 무조건 그렇게 한다는 것이 아니고 저 문제에서 저는 일종의 부연 설명으로 아크탄젠트의 가지를 로그함수의 주가지를 이용하여 하나 구체적으로 구해 본 뿐입니다.

[김준형]

수업시간에 한 로그함수의 주가지면 -파이<세타<파이 말씀하시는건가요??

[신선물고기]

네 그렇습니다. 그래서 저기 로그 안에 있는 부분이 음의 실수가 되는 부분을 알아본겁니다.

[김준형]

-파이<세타<파이와 저기 로그 안에 있는 부분이 음의 실수가 되는 그 관계가 잘 이해되지 않습니다 ㅠ

[신선물고기]

단순하게 생각하세요. 지금 너무 '가지절단'이라는 개념에 위축되어서 쉬운 것을 복잡하게 생각하고 계십니다. 지금 f와 g를 합성합니다. 그런데 f는 D상에서 잘 정의가 되어있지요. 그 상태에서 g는 또 E상에서 잘 정의가 되어있는 상태에서 두 합성이 잘 정의되는 영역은 일단 E에서 g(z)가 D를 벗어나는 z를 또 제거하면 됩니다.

[신선물고기]

우리가 저 문제 풀이와 별도로 탄젠트 안에 있는 함수를 아크탄젠트로 해석을 해 보려고 했어요. 그러면 로그가 껴 있어서 정의역을 제한 해야하죠? 안전한 것은 로그함수의 가지를 택해서 그 안에서 노는거죠. 우리는 주 가지를 선택을 해 본겁니다. 그러면 로그 안에 있는 식의 값이 음의 실수가 되는 부분만 제거를 하면 나머지 부분에서는 아무 문제 없이 함수가 잘 정의되는거죠.

[신선물고기]

제가 문제의 풀이와 부연설명을 명확히 구분해서 강의를 하지 않았나보네요. 그래서 첨언하자면 로그함수의 가지를 어떻게 선택하던지 간에 저 식은 로그 안에 식이 0이나 부정이 되지 않는 한 저 식은 항등식이 됩니다. 그 부분을 이해하시는 것이 포인트입니다.

[김준형]

일단 ln(z)로 먼저 이해해보면 z가 0이거나 음의 실수일때(음의실수축)가 가지절단이었니까 ln안에 있는 복소식이 무엇이든지간에 ln(z)를 해석한 것과 같은 방식으로 ln(f(z))일 때에도 f(z)가 음의실수축일 때가 가지절단이다라고 생각하면 될까요??

[신선물고기]

어느정도 그렇습니다. 정확히 이야기 하자면 그 부분을 제외하면 해석적으로 정의되는것이지요. 표현에서 음의 실수축이 그렇다고 무조건 가지절단으로 나온다. 그건 또 아닙니다. 지금 저 함수만 보아도 그렇지요? 문제에 주어진 상태로 좌변은 가지절단 없이 잘 정의됩니다.

[김준형]

그렇네요?? 분명 항등식인데 좌변은 모든 복소수에 대해 해석적인 반면 왜 우변은 가지절단이 발생한거죠?!

[신선물고기]

네 그렇습니다. 가지 절단이 있는 함수를 합성했다고 해서 가지 절단 근방에서 결과가 늘 좋지 않은 것은 아닌거지요. 그러니까 '로그 안에 음의 실수가 되는 부분에서 반드시 가지절단이 발생한다'는 식으로 생각하는 것은 조금 위험하다는 겁니다. 그 부분을 제거하면 안전하다 이 정도로 이해를 하세요.

[김준형]

마치 불연속과 연속을 합성하지만 불연속인 점에서 그 합성한 함수가 연속일 수 있지만 그 불연속인 점만 제외하면 안전하게 연속인 구역에서 놀 수 있는 것 처럼 가지절단이 발생하는 함수와 아닌 함수를 합성한다고 반드시 가지절단이 발생한다는 것은 아니고, 지금 저희가 구한 것은 아크탄젠트(f와 g중 한 함수)의 가지절단만을 한번 구해본정도라고 생각하면 되겠죠??

[신선물고기]

네 그렇습니다^^

[김준형]

넵 감사합니다:)