인사와 함께 예제 ms60으로 복습한 내용 올립니다.

[이재학(경영)]

 안녕하십니까. 이번에 처음으로 교수님의 수업을 듣게 된 경영학과 16학번 이재학이라고 합니다. 교수님께서 워낙 제자들에게 애정을 쏟으시는 모습을 보고 교수님 수업을 신청하길 잘한 거 같고 저도 수업 열심히 따라가고 적극적으로 수업에 임해야 겠다는 생각이 들었습니다. 추석 연휴 잘 보내시고 얼른 대면수업을 통해 교수님의 열정적인 강의를 들었으면 합니다.

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저는 MS60 적용과 함께 직접 그래프를 그려서 최적해를 찾아보기도 하였습니다.

T = Townhouse 구입 개수, A = Apartment 구입 개수 / 단위:$1000

Objective Function : 10T+15A

P(Profit) = 10T+15A MAX

<Constraints>

282T+400A <= 2000 (Funds available)

4T+40A <= 140 (Manager's time)

T <= 5 (Townhouse available)

(ms60에서는 <= 대신 <로만 기입함)

1. LP Relaxation : 모듈 선택에서 1. Linear Programming 선택

T를 2.479채, A를 3.252채 구입할 때 $73,574의 최대 이익이 발생한다.

2. Integer Linear Program(ILP) : 모듈 선택에서 4. Integer Linear Programming 선택

T를 4채, A를 2채 구매했을 때 $70,000의 최대 이익이 발생한다.

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<그래프를 직접 그려서 최적해 찾기> : ms60으로 하면 편하긴 하지만 이해에 도움이 되기 위해 직접 그려서 풀어봤습니다.

그래프는 T절편(A=0일 때 T의 값인 점), A절편(T=0일 때 A의 값인 점) 두 점을 이어서 그립니다.

먼저 1번 제약조건의 T절편은 (7.09,0)(소수점 셋째자리에서 반올림), A절편은 (0.5)입니다

2번 제약조건의 T절편은 (35,0), A절편은 (0,3.5) 입니다.

3번 제약조건은 t=5를 지나고 A 수직선과 평행한 그래프입니다.

그래프를 그리면 위에 같은 그림이 나오고 회색으로 칠한 부분이 Feasible Region(가능해 구역) 입니다.

Optimal LP Relaxation Solution(최적해)는 가능해 구역에서 두 빨간 꼭짓점 부분에서 발생하는데 꼭짓점이 2개 이므로 이 두 점 중 어느 점에서 더 큰 이익이 나오는지 구해봐야 합니다. 그러면 두 점의 좌표를 알아내야 하는데

먼저 첫번째 점은 1번 그래프와 2번 그래프가 만납니다. 좌표를 구하기 위해서는 한 그래프의 식을 T 혹은 A에 대한 식으로 정리 한 후 나머지 그래프 식에 대입해서 구하면 됩니다.

4T+40A=140 → T=-10A+35로 변형 후 1번 그래프에 대입하면 A=3.252가 나오고 이를 다시 1번 혹은 2번 식에 대입하면

T=2.48이 나옵니다(ms60 상에서는 2.479가 나오는데 반올림으로 계산하였으므로 2.48이 나옴)

따라서, 첫번째 점의 좌표는 (2.48, 3.252)가 나옵니다.

두번째 점도 위와 같은 방법으로 구하면 두번째 점의 좌표는 (5, 1.475)가 나옵니다.

이 두 점을 목적함수에 대입하면 더 큰 값이 나오는 점은 첫번째 점이며 최대이익은 $73,580입니다.

2. Integer Linear Program(ILP)

T, A는 정수라는 제약 조건이 생기면 가능해는 빨간 점으로 제한되며 이 중 최적해(이익최대인 점)은 (4,2)이며 이 점을 목적함수에 대입하면 $70,000가 나옵니다.

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<정리>

1. 제약조건이 있으면(생기면) : 선택의 폭이 줄어든다 → 목적달성의 가능성이 줄어든다.

2. 제약조건이 없으면(제거되면) : 선택의 폭이 늘어난다 → 목적달성의 가능성이 커진다.

Max 문제 : 정수제약조건이 없는 LP relaxation이 상한값 제공

Min 문제 : LP relaxation이 하한값 제공

<느낀점>

이 문제에서 생각해보았을 때, 제약조건이 추가된 ILP 보다 LPR에서 더 많은 이익이 산출되었다.

하지만 내가 이 문제의 의사결정자라고 생각했을 때 Townhouse를 2.479채 사고 Apartment를 3.252채를 구매하기에는 상당히 어려운 문제일 것이다. 건물은 한 채, 두 채 일정한데 건물을 쪼갤 수도 없으니 말이다.

따라서 ILP를 적용해서 Townhouse를 4채 사고 Apartment를 2채 사는 것이 더 합리적인 의사결정이라고 생각된다.

만약 변수가 정수로 세어야 하는 단위가 아닌 평 수 같은 면적이나 무게라면 정수제약을 두지않고 LP Relaxation을 적용해도 전혀 무리가 없을 것이다.

[현승용]

와우~ :)
재학이 잘했어!
짝짝짝! ^^