스크랩 기타 수학이란 도대체 무엇인가

[섹광]

수학이란 도대체 무엇인가??

자연과 인간 세계의 규칙성을 엄밀한 논리와 수 체계를 통하여 이해하기 위해 인간이 세운 고유한 사고 시스템 그 자체 혹은 그것을 연구하는 학문.[4]

수학의 한자 풀이는 수를 다루는 학문이지만 숫자와는 거리가 먼 분야들도 상당수 포함하므로 추상적인 수학적 객체들을 다루는 학문으로 보는 게 옳다.

한자와 달리 고대 그리스어에 기원을 둔 mathematics라는 영단어는 ‘배움의 기술’ 정도의 의미를 갖고 있어 그 의미하는 바가 사뭇 다르다.

종이와 펜만으로 연구할 수 있는 유일한 이공계 학문이다. 하지만 요즘의 연구 경향은 많이 달라졌는데,

어떤 추측을 반례만 찾아서 반론을 제기할 수 있거나 하는 등의 경우 컴퓨터를 이용해서 연구하기도 한다.[5]

대표적으로 페르마의 마지막 정리, 리만 가설, 푸앵카레 추측, 4색정리 등이 있다.

이 중 페르마의 마지막 정리와 푸앵카레 추측은 증명이 완료됐고, 4색 정리는 수많은 평면을 나누는 가짓수를 유한개의 경우로 줄인 후 컴퓨터를 이용해 증명했다.

대수, 기하학, 정수론 등에서 출발한 매우 오래된 학문으로 오랜 역사동안 다루는 수학적 대상들의 수가 급격히 늘어나면서 수학의 정확한 정의와 범위 [6]에 대해서 어느 정도 논란이 있다.

어떤 수학자들은 수학을 실제적 세계와 공리 체계 안의 성질을 해석하는 학문으로 이해하는 반면 다른 유형의 수학자들은 수학을 하나의 형식체계 안에서 하는 퍼즐 놀이처럼 보기도 한다.

현재 대세는 후자이고 수학자들 사이에서 수학 하면 소수를 제외하고는 대부분 후자 쪽으로 생각한다. 데블린은 ‘수학의 언어’라는 책에서 수학을 ‘패턴을 다루는 학문’으로 정의했다.

천재들이 하는 학문이고 40살이 넘으면 제대로 된 이론이나 정리가 나오지 않는다는 편견이 있지만[7]40대부터 왕성한 활동을 시작한 에르되시, 바이어슈트라스[8] 등 이러한 편견에 반대되는 예로 남은 유명한 학자들도 적지 않으나, 40대 즈음부터는 난해한 정리를 증명하기 위해 필요한 날카로운 계산 능력 등이 점점 감퇴하는 것이 사실이다. 하지만 40대 이후에도 업적을 세운 이들은 연륜과 경험이 쌓이는 동안 함께 축적된 철학적 사고를 바탕으로 수학의 보다 근원적인 부분을 파고 들어가 거기서 간단한 변화를 주고

그것이 나비효과를 일으키는 식으로 수학 자체를 완전히 바꿔버린 경우가 많다.

예를 들어 수학에서 ‘증명’이라는 것을 최초로 제시했다고 알려지는 탈레스는 30대 중반에 수학을 시작하였고 르네 데카르트 역시 나이 서른이 다 돼서 수학을 시작하였다.

최초로 집합 개념을 본격적으로 사용하기 시작하며 무한집합을 허용하여 근대 수학의 맥을 끊은 업적으로 현대수학의 아버지라 불리는 리하르트 데데킨트 역시 박사과정 논문을 쓸 때까지도 평범했다는 이야기가 있다.

그러나 보다시피 수학 자체를 바꿔버리는 건 그 업적 자체는 간단해보일지 몰라도 난해한 정리를 증명하는 것보다 훨씬 더 어렵다.

이런 이들이 자주 튀어나왔다면 수학은 쉴 새 없이 패러다임이 바뀌었겠지만 보다시피 수학에서 역사적으로 패러다임이 바뀐 경우는 손으로 꼽을 정도이다.

전 세계에서 몇 백 년에 한 명 나올까 말까 한 케이스이다. 덕분에 역사상 몇 명 존재하지도 않았던 저런 학자들은 어디까지나 예외로 배제하고

수학에서 천재를 말할 때는 보다 일반적인 관점에서 수학의 패러다임 자체를 바꿔버리는 식의 업적을 기대하기보다 어디까지나 현재의 패러다임 속에서

난해한 오픈 프로블럼을 증명할 가능성이 높은 계산 능력이 뛰어난 수학자를 이야기하며 수학자 인생 최대의 업적은 40세가 지나기 전에 나온다는 이야기도 여기에 기인한다.

흔히 과학, 그것도 자연과학으로 분류되지만 수학은 귀납적인 과학적 방법론을 사용하여 그 논리를 진행시키는 것이 아니라

몇 개의 (납득할 만한) 공리로 출발하여 연역적으로 구성하므로 엄밀히 말해서 수학은 과학이 아니다.

수학의 많은 방법론들을 과학에서 가져다가 쓰고 있고 과학에서 (주로 해석학 쪽 분야로 한정되긴 하지만) 새로운 수학적 영감을 받는 경우도 많기 때문에

과학과 수학은 연관이 많지만 본질은 판이하게 다르다. 그래서 수학을 '형식 과학' 으로 분류하기도 한다.

수학에서 증명이 얼마나 대단한지 느껴 보려면 그에 관한 재미있는 이야기가 있다.

19세기 초에 힐베르트는 ‘수학의 무모순성’ 을 증명하기 위해서 난리를 치고 있었는데 괴델이 수학의 무모순성은 증명할 수 없다는 증명(괴델의 불완전성 정리)을 발표했고

그 소문을 들은 힐베르트는 몇 십 년 동안 꿈꿔왔던 일을 그만두고 이렇게 말했다고 한다. “증명이 되었다니 씁 어쩔 수 없지요.”

논란과 주의사항

대한민국 대부분의 학생들의 만악의 근원이자 철천지 원수

사실 초중고교 시절 배우는 수학은 연산법에 가깝다. 오죽하면 6차교육과정 시절에는 초등학교 수학 과목명이 수학도 아니고 산수(算數)였겠는가?[33]

난이도를 이유로 증명이 차지하는 부분이 매우 적기 때문에 실제 수학과는 거리가 좀 있는 편. 증명을 다루지 않다보니 수학의 중요한 베이스 중 하나인 논리 파트를 거의 건드리지 않는다.

관련학과 입학 후 엡실론-델타에 멘붕하는 학생들이 많은 이유도 이것이 초중고교 수학 정규코스를 밟은 학생들이 최초로 접하는 논리식 중 하나이기 때문.

이렇게 난해한 부분들을 미리 제거해준 수학 과목이지만서도 영어와 함께 학생들이 가장 싫어하는 과목 1, 2위를 다툰다.

국영수 과목이 다 그렇지만 수학은 정말 해도해도 끝이 없다고 느끼는 학생들이 많다.

영어야 언어이기 때문에 여건에 따라 조기유학 등으로 어려서부터 무난하게 익숙해진다던지 하다못해 작정하고 시작하면 답이 없지는 않지만 수학은 그것도 안되니...

게다가 영어는 수학보다 활용할 기회가 더 빨리 온다.[34] 상위권과 중위권을ㅡ 가리지 않고 모두가 재능의 넘사벽을 느낄 수 있게 해주는 과목.

이유인 즉슨 수학이 보통 다른 과목과 달리 시간이 매우 쪼들리다보니 많이 풀어서 여러 유형을 익히는 방법밖에 길이 없기 때문인데 안될놈은 안된다는 말이 맞게 보일 만큼 그 격차가 극심하다는 점이 결정적으로 작용한다.

웬만큼 공부 잘 한다 하는 학생들도 수학만은 저주하거나 어려워하는 경우가 매우 많다는 듯. 게다가 다른 과목들과는 달리 수학은 자신이 직접 푸는 방법을 찾아야 한다.

이차방정식 하나가 있더라도 푸는 방법은 셀 수 없이 많다. 당장 우리가 배우고 있는 공식과 풀이법도 고대시대부터 내로라 하는 천재수학자들이 머리를 쥐어짜며 하나하나 쌓아 올린거다.

당연히 극소수 천재를 제외한 일반인에 불과한 중고등학생들이 고생하는 것은 어쩔수가 없는 일. 원래 수학이 재능으로 커버하는 것도 힘들고,

외워야 할 부분 또한 다른 과목에 비해 적으면서도 해야 할 것이나 처리해야 할 과정들이 상당히 많기 때문에 난이도가 폭등할수 밖에 없다.

사실 수학교육이 조금 잘못된 측면도 있는데 한국 입시정책상 '변별' 이 매우 중요하여 이 변별을 위해서 빠른 시간 내에 최대한 많은 문제를 풀어내는 자판기식 테스트가 만연해있다.

시간을 충분히 갖고 속도보다 정확성 및 과정을 중시하는 것이 수학의 기본일진데 현재 한국의 상황은 빠른 시간 내에 최대한 많은 답만 제출하는 것을 요구한다.

말 그대로 배움을 위해 입시라는 테스트가 존재하는 게 아니라 입시라는 변별 그 자체를 위해 배움이 존재하는 뭔가 본말전도인 상황도 학생들이 수학을 매우 싫어하는데 한 몫 단단히 하고 있다.

정말로 잘 해서 수학자의 길을 걷고 싶다면 아주 어릴 때부터 선행학습(그것도 동네 학원 같은 데서 하는 야매로 된 선행학습이 아니라 제대로 된 선행학습)을 거쳐서 머리에 기름칠을 해놓는 것이 좋다.

물론 그 나이에 수학 선행학습이 가능하려면 지능지수가 어느 수준 이상이 되어야 하지만. 물론 수학자가 되기 위해서 선행학습이 '필요조건' 이지는 않다.

뒤늦게 수학을 공부해 수학자가 된 사람들도 많다. 하지만 제대로 된 선행학습을 한다면 남들보다 좋은 출발을 할 가능성이 높은 건 사실이다.

그리고 한 번 배운 건 나중에 꼭 사용되는 특성 때문에 한 번 뒤쳐지면 답이 없는 과목이기도 하다.
사실 인생을 살다 보면 사칙연산에 분수, 소수 정도만 알아도 별 문제 없고 중학교 수준 이상의 수학은 일부 직업을 제외하고는 사용할 일이 없기에

대체 수학은 딱히 쓸모도 없는데 왜 배우냐며 수많은 사람들에게 동네북으로 제일 많이 까이는 과목이기도 하다.

다른 과목은 닥치고 암기라도 하지...수학에 대한 분노!이러니까 대한민국 수학이 뒤떨어지지

그러나 복리를 지급하는 은행 계좌를 가지고 변화율을 운운하는 순간 이미 당신은 지수와 미분을 사용하고 있다! 아, 그렇다고 공부해야 그게 어떻게 돌아가는지 알 수 있는 건 아니고[35]

그리고 일상생활에서 쓰이지 않는다고 학문적인 필요성조차 없다고 치부하는 건 누가 봐도 병크. 또한 수학은 절대로 빠져나갈 수 없는 논리를 바탕으로 하는 학문이기에

수학을 배우는 과정에서 논리력이 길러지고 공식의 증명이나 문제를 푸는 방법을 생각하는 과정에서 창의력을 기르게 된다.

창의력기르라고 만들어놓은 문제가 오히려 정석적인 풀이방법에 대한 암기로 이어져 학생들의 사고방식을 단일화 시킬 수 있다는 비판도 많다.

애초에 수학에서 점수를 매길때 유럽이나 미국에서는 가르치지않고 개성적으로 풀어낸 풀이방법을 더 높은점수를 주는데, 한국은 어떤 한 풀이방법에 위배되면 점수를 덜준다는점도 상당히 해를 끼친다.

그러나 한국에서는 대학 입시의 도구로 전락해 대부분의 학생들이 하루하루 문제만 푸는 기계가 되고 있다. 씁쓸한 현실. 결과적으로 대한민국의 수학은 논리력이나 창의력을 길러주고 있지 못하다.[36][37]

모 학습지 광고에서 숫자 계산에만 집중하는 교육방법을 비판하며 숫자는 물론 도형 등도 골고루 풀라며 학습지를 홍보한 적이 있다.
2014학년도 교육과정에 따르면 고등학교 과정에서는 크게 고1 과정인 수학 Ⅰ, 수학 Ⅱ와 미적분1, 미적분2, 확률과 통계, 기하와 벡터로 구성되어 있다.[38] 과학고나 일부 자사고 한정으로 고급수학(구 수학III) 과목이 존재한다.

고등학교 1학년 때의 고등수학 성적으로 문과냐 이과냐를 가르는 경우가 생각보다 아주 많다.
대학수학능력시험/수학 과목은 수능에서 가장 중요한 과목으로 국어, 영어를 잘해도 수학을 못하면 좋은 대학은 거의 못 간다고 봐도 좋다.

수학은 이과 뿐만 아니라 문과에서도 제일 신경써야 하는 과목이다. 국어/영어/사회만 잘 하면 문과에서는 좋은 대학에 갈 거라 생각하는 사람이 매우 많은데

특히 상위권 학생들 사이에서 그 과목들 성적은 거의 차이가 없는지라 변별력을 가르는 과목은 수학 뿐이다. 이과도 마찬가지.

그만큼 중요한 과목인데 접근성이랑 투자대비 효율성이 엄청나게 낮은지라 처음 파고들기 쉽지 않다.

수학을 처음 공부하기 시작하면 보통 2~3분안에 풀어야 하는 문제를 5~10분 잡아먹고, 그렇게나 잡아먹고도 답은 틀리는 경우가 많은데 그럴때는 정말 하기가 싫어진다고들 한다.

저렇게나 꼬이는 이유는 많지만 대충 꼽아보자면 복잡한 수학계산과 공식대입,수학적추론등에 익숙하지 않아서인데[39] 계속 공부해서 어느정도 궤도에 들어가면 그쯤에는 어느정도 나아진다.

문제는 그 궤도에 들기가 쉽지 않다는 것인데 이건 본인의 의지에 맡길수 밖에 없다.

이 악물고 꾸준히 붙잡고 풀면 단계적으로 실력이 올라가며 보통 그 단계 하나를 뚫을 때마다 본인 성적은 급격히 상승하고 이 이후에 수학 성적이 급격히 내려가는 것은 보기 힘들다.

말하자면 초짜->양민 학살(60~70)->몇몇 보스몹 빼고는 다 처리(80~90)->본좌 정도의 단계를 거친다고 보면 된다.

그러나 당장 수학자 수준으로 레벨 올리기가 쉽지 않고 시간도 안되서 대부분 학생들이 양민학살 과정에서 포기하고 수포자의 길을 걷게 된다. 안습.

하지만 수학을 오래 공부하면 공부할 수록 사실은 별로 배운 게 없다는 사실을 깨닫게 된다.

솔직히 말하자면 고등학교 수학은 일부 단원을 제외하고는 대개 이성적으로 당연한 것들을 다루고 있으며[40] 이는 대학 학부 수준의 수학도 크게 다르지 않다.

수학을 정말로 잘하고 싶으면 수학 문제집을 많이 풀고 학원을 열심히 다니는 것보다 이것이 왜 이렇게 되는지 깨닫는 것이 훨씬 더 중요한 문제이다.

그렇기 때문에 이 항목을 보는 사람들은 수학을 공부하는 것을 결코 포기하지 않기만을 바란다. 수학을 단순히 계산의 도구로 보지 말고 하나의 수학적 흐름으로 보기를 바라는 바이다.

고교 2학년 과정을 끝냈다면 토비아스 단치히의 Numbers(수:과학의 언어)를 한 번 읽는 걸 추천한다. 그리고 수능 이후론 공학용계산기를 찬양하며 살자

또한 고교생들 사이에서 과정을 생략하고 답만 구해내는 학생들이 많이 있고 몇몇 사람들은 이것을 머리가 좋다는 것의 반증인 양 취급하는 경우가 많은데 완전한 착각이다.

답 그 자체보다 과정을 논리적으로 엄밀하게 전개해 나가는 능력이 답을 구해내는 능력보다 훨씬 중요하다.

이는 비단 타인에게 보이기 위해서만이 아닌 자기 자신의 수학 능력을 위해서도 매우 중요한 습관이다.

사실 고교 때는 거의 배우지 않지만 수학의 근본적인 목적은 증명이고 증명이란 그것이 왜 그런지를 보이는 것이며

답은 매우 자명해보이면서도 증명 과정은 까다로운 문제들도 여럿 존재한다.

고로 항상 답보다 논리적인 과정을 중시하고 '왜 그러는지' 머리속에서 완전히 명확하게 될 때까지 공부하여 알아두는 것이 나중을 위해 좋다.

서양에서 수학시험은 주관식인 경우가 많으며 이때 답이 틀려도 과정이 맞으면 점수를 대부분 주며 과정 없이 답만 달랑 쓰면 0점 처리하는 선생도 많을 정도로 과정을 중시한다.

물론 빠른 시간 내에 오로지 답만을 요구하는 한국의 입시위주 교육에서 그런 것에 신경 쓰는 시간이 아깝게 느껴질 수 있겠지만

수학을 전공하고자 하는 학생들에 있어서는 눈앞의 입시보다 그 이후를 위해 과정을 중시하는 것이 좋을 것이다.

[_Arondite_]

풀이과정 중요하죠. 그래서 저도 과외할 때 애들한테 수학문제 손으로 풀라고 계속 가르쳤습니다. 정말로 확실하지 않다면 단순한 2자리수 곱셈이라도 암산하지 말고 직접 써서 풀라고 했죠.