Iterated funcion system(IFS)

[김동석]

Iterated funcion system(IFS)

-반복 함수계

Iterated function system(IFS)란 무엇인가?

평면의 점을 표시하기 위해 벡터 개념을 사용하자. 가 평면위의 한점이라고 하고 라고 하자. 함수 는 이므로 점 에서 고정점(fixed point)을 가진다.
이므로 는 평면상의 한점을 근방으로 옮긴다. 또한, 만약 라면 이므로 와 사이의 거리는  에 의해 축소되어 진다.
함수 는 평면의 선형 축소(linear contraction)의 한예이다. 함수 의 n번 합성을 으로 표시하기로 하자. 평면의 한점 의 궤도 를 살펴보면, 함수 를 반복한 후에 고정점 로 수렴한다.

우리는 값에 따라 다양한 fractals를 얻을 수 있다.

Iterated function system의 정의

이고, 은 평면의 점들이라고 하자. 에 대해 라고 놓으면 함수들의 집합 을 Iterated function system(IFS)이라고 한다.

1980년대 Michael Barnsley는 처음 Iterated function system(IFS)이란 용어를 사용하고 그 이론을 데이터의 압축과 전송에 적용시켰다.IFS은 컴퓨터 화면상에 흥미로운 형태를 그려내기 위해 효과적으로 쓰인다.  특히 IFS는 자기 복제성(self similarity)를 띤 fractal을 매우 간결하게 표현할 수 있다.
fractal를 생성하기 위해, 우리는 평면상의 임의의 시작점에 대해 를 반복해서 계산하여, 이의 궤도를 구하면 된다. IFS를 구성하는 함수들은 다양한 형태를 가진다.
한예로 다음 형태의 함수를 들 수 있다.

(1)

위와 같은 함수를 affine function이라고 부른다. 이는 선형함수 G와 평행이동  H로 이루어진다.

          

즉 이다. 함수 F 는 아래와 같이 코드 a,b,c,d,e,f로 표현될 수 있다. 이때 함수 는 결과를 나타낸다.

만약 의 고유치(eigenvalue) 와 가 각각 이라면 affine function은 축소된 이미지를 생성한다. 특히,이는 행렬이 다음 형태로 표현될 때이다.

왜냐하면

(2)

라면 F는 r에 의해 길이를 축소시키고, 각 에 의해 시계 반대방향으로 상을 회전시키기 때문이다.

(2)는 다음 코드로 표현될 수 있다.

만약 F에 대해 아래 코드가 주어진다고 가정해 보자.

이는 F가 원상의 길이를 만큼 축소시키고 각도로 회전시킨다.