다양체공간이란?

[유토피아]

공간 [空間]                    

        

(기본의미) 아무것도 없는 빈 곳.

• 공간을 메우다

• 이쪽 공간에 의자를 하나 더 놓으면 어때?

• 습기가 찰 수가 있으니 장롱과 벽 사이에 공간을 조금 남겨 놓자.

• 남편이 길거리에서 주워 온 물건들이 집안에 가득해서 내가 쓸 만한 공간이 없다.

유의어

스페이스(space)(1)...

스페이스(space)(1)

(2)

앞뒤, 좌우, 위아래의 모든 방향으로 널리 퍼져 있는 입체적 범위.

• 작업 공간

• 서울시는 이곳이 격조 높은 문화 공간이 될 것으로 전망하고 있다.

(3)

[철학] 시간과 함께 세계를 성립시키는 기본 형식.

(4)

[물리] 물질이 존재하고 여러 현상이 생기는 장(場).

(5)

[수학] 일반적으로, 유클리드 삼차원 공간을 이르는 말.

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수학에서 의미하는 공간이 무엇이냐고 질문을 하면 일반적으로 유클리드삼차원 공간을 의미한다.

유클리드공간이라고 하면 무엇을 의미하는가?

수학에서 유클리드 공간(영어: Euclidean space)은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다.

이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여, 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다.

이는 표준적인 유한 차원, 실수, 내적 공간이다.

경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서, 피타고라스의 정리에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.

3차원 유클리드 공간 상의 각 점은 3개의 좌표 축에 결정된다.

그러나 공간이란 유클리드 공간외에 비유클리드공간이 있다.

밑에서 제시되는 다양체공간이라는 개념도 있다.

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다양체

위상수학과 기하학에서, 다양체(多樣體, 영어: manifold 매니폴드^[*])는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다.

즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.

 더 정밀히 말하면, 한 n차원 다양체의 각 점이 n차원의 유클리드 공간에 대해 위상동형사상인 근방을 가지고 있는 것이며, 이러한 정밀한 정의에서 다양체는 n-다양체라고 불린다.

원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 1차원 다양체이다.

다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.

• 유클리드 공간 ${\displaystyle {\mathbb{<span\; style="font-size:\; 12pt;">R</span>}}^{}}$ n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
• 초구 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">S</span>}}^{}}$ n {\displaystyle S^{n}}
• 열린 공 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">B</span>}}^{}}$ n = { v ∈ R n : | ∥ v ∥ < 1 } {\displaystyle B^{n}=\{v\in \mathbb {R} ^{n}\colon |\|v\|<1\}}
• 실수 사영 공간 ${\displaystyle {\mathbb{<span\; style="font-size:\; 12pt;">R</span>}}^{}}$ P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
• 이산 공간
• 공집합