[퍼온글] Riemann Integral과 Lebesgue Integral의 현저한 차이점. by 녀름지이

Riemann Integral과 Lebesgue Integral의 현저한 차이점. by 녀름지이 , 글쓴이: 자갈림 .. 어떤 구간 내에 정의된 함수의 적분을 구한다는 것은 Riemann Integral의 관점에서는 그 구간을 잘게 썰어서 그 잘게 썰어진 파티션 마다 적당한 높이를 곱해 그것의 적분을 구해냅니다. 반면, Lebesgue Integral의 관점에서는 Riemann과 (현저히!!) 달리 무조건 자르는 것이 아니라 측도 가능한 셋이라는 것을 도입하여 한꺼번에 적분을 구해냅니다. 저희 학과 최 모 교수님의 말씀을 빌어 얘기하자면, 동전으로 어떤 값을 지불할 때에 자신의 주머니에 들어 있는 동전을 하나씩 꺼내어서 적당한 값을 지불하는 것이 리만의 방법, 또한 자신의 주머니 속에 들어 있는 모든 동전을 꺼내어 종류별로 분류하여 적당한 값을 지불하는 것이 르벡의 방법이라고 비유할 수 있습니다. 다시 말해, 르벡의 방법은 100원 10원 5원 50원 100원 이렇게 무조건 합산해서 구해내는 것이 아니라 100원 2개 10원 1원 하나 5원 하나 이런 식으로 합산해서 구하고자 한다는 것입니다. 이것의 대략적으로 개념적인 설명이겠구요. 몇 가지 실례를 들어보겠습니다. 다음과 같이 정의된 함수 f를 살펴 봅시다. f : [0,1] -> [0,1] defined by 0 if x : rational number and 1 if x : irrational number 이럴 경우에 (유리수가 실수 안에서 조밀하기 때문에) 리만의 방법으로는 적분 불가능하구요. 르벡의 방법으로는 유리수들의 측도가 0이기 때문에 - 그 이유에 대해서는 간단한 트릭을 써서 증명할 수 있습니다 - 무리수만 따져서 계산을 하면, 1이라는 값을 구할 수 있습니다. 리만의 방법은 고등학교 수학 및 미적분학에 등장하는 방법이라고 할 수 있겠구요. 르벡의 방법은 좀 더 고등해석학을 배운 연후에나 접할 수 있는 해석학적인 적분론이라고 할 수 있습니다. 리만의 방법이 르벡의 방법보다 훨씬 일찍 나온 방법이겠구요. 르벡의 방법은 리만의 방법으로 해결하지 못하는 것들을 해결할 수 있는 적분의 방법이라고 할 수 있습니다. p.s 그리고 리만의 적분의 방법에 있어서 폐구간에서만 정의된다고 하는 데 임의의 구간에 포함되는 폐구간의 극한을 취해줘서 리만 적분을 구해낼 수 있습니다. 이 사실은 어느 책이든 기술되어 있는 내용이구요. 며칠전부터 리플 내지 꼬리말을 달려고 시도했으나 오류가 나서 못 달았네요. 어찌되었던 리만의 적분론에 비하면 르벡의 적분론은 우아하기에 짝이 없습니다. 이 말을 마지막으로 남기고 글을 접도록 하죠... * 수푸동에서 퍼온글입니다.^^; 아...르벡적분 배우구 시포..-_ㅠ