피타고라스 음계의 오류

[leekwandong]

피타고라스는 현의 길이에 따라 소리가 달라진다는 사실과 현의 길이가 ℓ, 2/3 * ℓ, 1/2 * ℓ 인 각각의 세 음이 가장 잘 어울린다는 사실을 발견하였다.

이러한 현 길이의 비율 1, 2/3, 1/2 .... 을 조화수열이라 한다.

(:조화수열은 역수가 등차수열인 수열: 역수가  1, 3/2, 2, .... 로써 등차수열임)

피타고라스가 발견한 조화로운 세 음의 각각의 현 길이는 조화수열을 이룬다.  

현의 길이에 대한 역수는 진동수에 해당하므로 피타고라스가 발견한 조화로운 세 음의 진동수 1, 3/2, 2 는 등차수열(:공차 1/2)을 이룬다.

피타고라스의 음계는 한 옥타브를 8도로 정의하여 ("도"보다 8도 높은 음은 "높은도") 조화로운 세 음을 각각 "도", "솔", "높은도" 에 배치하였다.

8도의 음계는 다음과 같다.

(1)"도" - (2)"레" - (3)"미" - (4)"파" - (5)"솔" - (6)"라" - (7)"시" - (8)"높은도" - ......

진동수 f  에서 나는 음을 "도"라 하면,

(1) "도" : 진동수 = f

등차수열의 두번째 항인 진동수 3/2 f에서 나는 음 "솔"은 "도"보다 5도 높으므로

(2) "솔" : 진동수 = 3/2 * f                           (: 5도 높이면 진동수 3/2배 증가)

등차수열의  세번째 항인 진동수 2 f  에서 나는 음 "높은도"는 "도"보다 8도 높으므로

(3) "높은도" : 진동수 = 2 * f                     (: 8도 높이면 진동수 2배 증가)

[원칙] 5도 높은 음의 진동수는 3/2 배 증가

             8도 높은 음의 진동수는 2 배 증가 

"솔"에서 5도를 높이면 "높은레"이므로

(4) "높은레" :  진동수 = 3/2 * (3/2 * f) = 9/4 * f       (: 5도 높이면 진동수 3/2배 증가)

"높은레"에서 8도 낮추면 "레"이므로

(5) "레" : 진동수 =  ( 9/4 * f) / 2  = 9/8 * f          (: 8도 낮추면 진동수 1/2배 감소)

"높은도"에서 5도 낮추면 "파"이므로

(6) "파" : 진동수 = (2 * f) / (3/2) = 4/3 * f           (: 5도 낮추면 진동수 2/3배 감소)

"레"에서 5도 높이면 "라"이므로

(7)"라" : 진동수 = 3/2 *  (9/8 * f) = 27/16 * f      (: 5도 높이면 진동수 3/2배 증가)

"라"에서 8도 낮추면 "낮은라"이므로

(8)"낮은라" : 진동수 = (27/16 * f) / 2 = 27/32 * f       (: 8도 낮추면 진동수 1/2배 감소)

"낮은라"에서 5도 높이면 "미"이므로

(9) "미" : 진동수 = 3/2 * (27/32 * f)  = 81/64 * f          (: 5도 높이면 진동수 3/2배 증가)

"미"에서 5도 높이면 "시"이므로

(10) "시" : 진동수 = 3/2 * (81/64 * f) = 243/128 * f     (: 5도 높이면 진동수 3/2배 증가)

따라서, 위의 유도된 식에서

(1) - (5) - (9) - (6) - (2) - (7) - (10) - (3) 번을 모두 모으면

음계에 따른 진동수의 비는 다음과 같다.

도 - 진동수 f 

레 - 진동수  f * (9/8)

미 - 진동수  f * (81/64)

파 - 진동수  f * (4/3)

솔 - 진동수  f * (3/2)

라 - 진동수  f * (27/16)

시 - 진동수  f * (243/128)

높은도 - 진동수  f * (2)

피타고라스 음계에 따른 분수는 진동수 일 때,

1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2

피타고라스 음계에 따른 분수는 현 길이  일 때, 역수를 취하여

1, 8/9, 64/81, 3/4, 2/3, 16/27, 128/243, 1/2

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이 도부터 높은 도까지의 진동수를 가장 간단한 자연수의 비로 고치면

384 - 432 - 486 - 512 - 576 - 648 - 729 - 768

이 된다.

384 - 432 - 486 - 512 - 576 - 648 - 729 - 768

     48     54     26     64     72     81     39

여기서

음악에서 말하는 7도음의 진동수는 한 옥타브로 기준으로 하면 그 차이가 384가 되면

이것을 6(*온음 5개와 반음 2개)으로 나누면 평균

온음 사이의 진동수의 차이는 64가 되어야 하고

반음사이의 진동수는 32가 되어야 한다.

 도     레     미    파      솔    라      시     도

384 - 432 - 486 - 512 - 576 - 648 - 729 - 768

     48     54     26     64     72     81     39  --- 피타고라스의 음계

     64    64      32      64     64     64     32   --- 음악이론에서의 온음과 반음계                                              

따라서 음악에서 말하는 온음과 반음은

피타고라스의 수학적 음계와는 맞지 않다.

그래서 아날로그적으로 만들어진 건반악기나 현악기는

만드는 장인에 따라 음색이 다 다르다고 할 수 있고

듣는 사람에 따라 다 다르다 할 수 있다.