이산공간, 하극한위상 질문!

[Style]

1. X : 이산 위상공간이고, 임의의 X의 원소 a에 대하여 a 단집합은 개집합인 사실을 알고 있습니다.

그런데 연결공간 하는 도중 {a}의 여집합이 개집합이된다는걸 발견했는데, X가 이산 위상공간이라서 여기서 개집합{a}가 개집합이면서 동시에 폐집합이 되므로 {a}의 여집합이 개집합이 될 수 있는것인가요? 아니면 혹시 다르게 보일 방법이있나요? ㅠㅠ

2. (a , 무한대) 가 보통위상공간의 개집합형태가 된다는 사실을 알고있습니다.

그런데 이 개집합이 하극한 위상에서도 개집합이 된다라는 사실도 발견했는데, 증명을 하려니 정말안되네요 ㅠㅠ

어떻게 증명하는게 좋을까요?

[정현민]

1. 이산위상에서는 X-{a}역시 열린집합입니다. 따라서 {a}는 닫힌집합입니다.
2. x∈(a,∞) => x∈[x,x+1)⊂(a,∞)