Re:Re:Re:인티그럴[1/루트(1-x^2) * (2^x)/ln2]이거는 어케해염?

[콩벌레]

정말 간단한 문제가 아니군요.
그냥 부분적분 해서는 arc sin의 미분이 너무 복잡해서 변형을 해보았습니다.

먼저 arc tan(x/root(1-x^2)) = arc sin(x)가 성립한다는 것을 이용합니다. 그럼 2^x*arc sin(x) = 2^x*arc tan(x/root(1-x^2))가 됩니다.
그리고 부분적분을 합니다. 이것의 증명은 원하신다면 리플 달아주세요.

u=arc tan(x/root(1-x^2)), u'=1-x^2
v'=2^x v=2^x/ln2

인티그럴은 편의상 int로 합니다.
int[2^x*arc tan(x/root(1-x^2))]dx=(2^x/ln2)*arc tan(x/root(1-x^2)) - int[(1-x^2)*(2^x/ln2)]dx

= (2^x/ln2)*arc tan(x/root(1-x^2)) - (1/ln2)*int[2^x]dx + (1/ln2)*int[x^2*2^x]dx

= (2^x/ln2)*arc tan(x/root(1-x^2)) - 1/(ln2)^2 + (1/ln2)*int[x^2*2^x]dx

맨 뒤에 int[x^2*2^x]dx를 다시 부분적분 합니다.

u=x^2 v'=2^x
u'=2x v=2^x/ln2

그러면 int[x^2*2^x]dx= (x^2*2^x)/ln2 - (2/ln2)*int[x*2^x]dx가 됩니다.

바로 위식에서 다시 마지막의 적분 계산인 int[x*2^x]dx 를 다시 또 부분 적분하면
u=x v'=2^x
u'=1 v=2^x/ln2

int[x*2^x]dx = (x*2^x)/ln2 - int[2^x/ln2]dx
= (x*2^x)/ln2 - 2^x/(ln2)^2

위의 결과를 차례로 위에 있는 식들에 대입하면 최종 결과는

(2^x/ln2)*arc tan(x/root(1-x^2)) - (x^2*2^x-1)/(ln2)^2 - (2x*2^x)/(ln2)^3 - (2*2^x)/(ln2)^4

가 됩니다.

너무 복잡해서 계산이 틀릴 수도 있겠지만 저는 이 방법밖에는 모르겠군요. 더 쉬운 방법을 아는 분은 답글 올려 주세요.