5차 방정식의 불가해성에대한 수학사 적인 질문입니다.^^

[대수학은...]

대수학 책의 마지막에 갈루아의 정리를 이용한 5차 방정식의 불가해성이 나와있는데..

수학사를 보게 되면 아벨이 5차방정식의 근의공식은 존재하지 않는다라고 했는데...

아벨과 갈루아는 5차 방정식을 풀 수 없다고 같이 주장했나요?

어떠한 다른점이 있을까요??

그냥 수학사적으로 궁금해서 질문드립니다..

임용도 끝나고 각대학에 기말고사도 끝나는 시점에서 질문드립니다~^^

[폭풍속으로]

아벨이 증명한 것은 5차 이상의 다항 방정식에 대한 일반적인 대수적인 풀이가 존재할 수 없다는 것입니다. 즉, 5차 이상의 다항방정식에 대한 근의 공식이 존재할 수 없음을 아벨이 증명한 것입니다. 이것은 주어진 5차 이상의 다항방정식에 대한 일반적인 대수적 풀이법이 없다는 것을 말할 뿐입니다.

[폭풍속으로]

실제로, 가우스의 "대수학의 기본정리" 에 의해 모든 다항방정식은 복소수 범위에서 근을 갖게 됩니다. 그러니까 아벨의 증명은 해의 존재성이 아니라 풀이의 존재성에 대한 것이라고 할 수 있습니다. 사실, 이것을 가우스가 혼동하여 아벨의 증명을 거들떠 보지도 않아서 아벨은 불행한 삶을 살게 됩니다.

[폭풍속으로]

아벨의 증명으로 인해 5차 이상의 다항 방정식에 대한 일반적인 대수적 풀이법은 존재할 수 없음이 밝혀졌습니다. 그런데 모든 다항식이 대수적 풀이가 불가능한 것은 아닙니다. 즉, 대수적 풀이가 가능한 다항식도 존재합니다. 그렇다면 자연스럽게 "대수적 풀이가 가능한 다항식은 어떻게 판단할 것인가"가 문제가 됩니다

[폭풍속으로]

갈루아는 주어진 5차 이상의 다항식에 대하여 그 다항식이 대수적 풀이가 가능한지의 여부를 판단하는 방법을 찾아냈으며, 대수적 풀이가 가능한 다항식에 대한 일반적인 대수적 풀이법까지 제시하고 있습니다. 즉, 대수적 풀이가 가능한 다항식에 대한 근의 공식을 찾아낸 것입니다.

[폭풍속으로]

정리하자면, 젊은 두 천재 수학자에 의해 몇 백년 동안 내려오던 방정식의 해법에 관한 논의가 종지부를 찍게 되는 것입니다. 아벨에 의해 5차 이상의 다항식에 대한 일반적인 대수적 풀이가 불가능함이 밝혀졌고, 갈루아에 의해 대수적 풀이가 가능한 다항식을 판단하는 방법과 그 풀이법이 제시된 것입니다.

[대수학은...]

답변감사합니다.갈루아는 군의 이론을 통해서 증명했는데 그럼 아벨은 어떤아이디어로 증명을 했을까요? 그 방법이 갈루아와 완전히 다른방법이었을까요? 아니면 너무 어려워서 우리가 배우지 않는걸까요? 그냥 혼자궁금합니다.^^