<p>아래 글은 일본의 magmag라는 곳에서 받아 볼 수 있는 수학이야기 이메일입니다. 재미있는 이야기가 많아서, 여기다 놓고서 번역해 보려고 합니다. 저자의 허락을 받아야 하겠지만, 음 우선은 내 맘대로 저작권은 왕창 무시하고 올려 놓았습니다.
<pre>
───────────────────────[ 2003.8.4 Ver6.2 ]─
数学Lecture ～ 初歩から応用まで～ 2003年版 No.30 [2890部]
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■ ごあいさつ＆お知らせ[よく読んでね!!]
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☆ どうも。こんにちは。シャイン☆結希＠管理人です。
中学,高校生の方もみていらっしゃると思うので、「自由研究対策」として、
「初級レクチャー」では使えそうな話題をしばらく提供します。
☆ こちら、ファロム錠×42（1回2錠×3回×7日）服用中です（＞＜；/。
これも効かなかったら、フルマリンよりも強い点滴になりそうです(^^;。
その場合、次週以降ちょっと発行が遅くなりそうです。
★[重要] 上記↑にともない、しばらくの間「宿題」コーナーを休みます。
週4回も病院に行っている状況（←実話）では到底無理です(--;。
申し訳ないです。
今日（月曜日）、日赤にて手術の要/不要が決まる予定です。
読者さんからの質問は随時受け付けています。宿題コーナーは休みますが、
読者欄は続けていきますので、質問/感想メールをくださると嬉しいです(^^;。
☆ お願い
感想やご意見等いろいろ聞かせていただけるとうれしく思います。
以下を切り取って下さい。私宛には <a href="http://go.daum.net/bin/go.cgi?relative=1&url=/Mail-bin/login_f.cgi%3Ferror%3Dlogin%26lu%3D/Mail-bin/send_mail.form.cgi%3FTO%3Dyuki@yuki.to">yuki@yuki.to</a> で届きます。
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・ あなたのお名前[ハンドルネーム可]
・ 学年や性別など[省略可能]
・ メールアドレス[省略可能]
・ 本誌を登録したきっかけ
・ 感想や要望などその他
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★★ [초급강의 0.999999… 와 1 중 어느 것이 큰까？]
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▼ 最初に「おことわり」を。아래 내용은 이해하기 쉽게하기 위해
수학적인 정확성보다는 쉬운 설명을 우선시 했습니다.
그럼, 0.999999… 와 1 중 어느 것이 더 클까요?
단, 앞의 수의 소수점 아래 9는 무한하다고 합시다.
3가지 가능성이 있습니다. 아래 3가지 가능성 중에 하나가 성립합니다.
(a) 0.999999… < 1
(b) 0.999999… = 1
(c) 0.999999… > 1
그렇지만, (c)라고 생각하는 사람은... 아마도 없겠죠. 있나요?
그래서, 실질적인 문제는 (a)일까 (b)일까란 문제일 뿐입니다.
▼ 소수점 아래 9의 갯수가【유한】개라면, 즉 몇 개라고 하면,
앞 쪽의 숫자가 1과 같아지는 일은 결코 없습니다. 당연한 말이죠.
0.9,0.99,0.999,…,0.999999999 중 어느것도 1과 같을 리 없겠죠.
그러나, 9가 무한개 이어진다면 어떤가요?
답부터 말하면, 0.999999… 와 1 은 【정말로】똑같은 값입니다.
결코「아주 약간 작」거나 「근사」도 아니고, 이 둘은【정말로】같은
값입니다. 어째서 그럴가요?
수학적 정확성보다, 이해가 쉬운 설명방법을 생각해 봅시다.
아래는 「증명」이 아니고,「설명」이니까, 수학적 엄밀함을 요구하진 마세요.
그보다 아래에 단순히 … 라고 쓰인 경우, 무한하게 이어지는 것을 의미합니다.
이에 반해 유한한 자리에서 끝나는 경우는 따로 표시하도록 하겠습니다.
[■설명.1] x=0.999999… 라고 놓고. 이 경우, 10x=9.999999…입니다.
따라서, 각 변을 빼서 다음을 얻습니다.
10x = 9.999999…
- x = 0.999999…
---------------------
9x = 9.000000… [←0이 무한히 이어짐]
위의 식에서 x=1 이 얻어집니까, 0.999999… = 1 이라 결론내릴 수 있습니다.
[■설명.2] 1/3 = 0.333333… 라는 것을 우선 이해하고 있어야 합니다.
그럼, 1/3 × 3 = 1 는 아주 명확하니까,
1 = 0.333333… × 3 = 0.999999… 이 됩니다.
[■설명.3] 역으로 1-0.999999… 를 생각해 보죠.
만약, 0.999999… 가【유한자리에서】끝난다면, 그에 따른 계산결과는
0.000000…1 라고 어느 자리에선가 1이 나와, 0보다 확실히 큰 값이 됩니다.
그러나, 이 경우 0.999999…는 무한히 9가 이어집니다. 그러면, 뺄셈의 답도
0.000000… 라고 0이 무한히 이어져, 1이 나올 여지가 없습니다.
어딘가 1이 나올 것 같지만, 「마지막 자리」에서 1이 나오기 전에 0이 무한히 이어지기 때문에,
「마지막 자리」랄 것도 없이, 1은 얼마가 지나도 나오지 않습니다.
즉, 소수점 아래 0이 쭉 이어지는 수를 답으로 없습니다.
그러면, 이 뺄셈의 답은 0인 셈입니다.
1-0.999999… = 0 이라면, 따라 0.999999… = 1 가 됩니다.
(역주: 설명3은 그리 깔끔하지 않은 설명)
▼ 이「어느 것이 클까？」란 질문을 예를 들어 100명에게 하면, 꽤
많은 사람이 「1이 크다」고 답합니다.
역시, 1이「아주 약간은」크지 않을까? 라고.
그렇지만, 「약근」도「근사」도 아니고, 이 들은 완전히 같습니다.
그러나, 이를 엄밀히 설명하려면 굉장히 당황스럽습니다.
이를 차근차근 논증하기 위해서는「무한」이란 무엇인가?라는 질문에 차근차근
답해야 하기 때문입니다. 차근차근 생각할 수 있다면, 위의 내용은
불가사의한 것도, 아무것도 아닌, 매우 자연스럽게 받아들여지는 것입니다.
이에 익숙하지 않은 사람은「왜 그런걸까？」란 고민에 빠져버립니다.
▼ 위의 세가지 「설명」은 어디까지나 「설명」일 뿐입니다.
수학적으론 이상한 점도 포함하고 있기 때문에, 아쉽지만「증명」은 아닙니다.
여러 이상한 점이 있습니다. 어디가 그런가요? 찾아보면 재미있습니다.
그렇지만, 그렇다고 해서, 위의 「설명」이「증명」이 비해 정말로 떨어지는 것이라고
생각해야 하느냐는 조금 생각해야 할 질문입니다.
분명히「수학적 엄밀함」을 기준으로 생각하면, 위의 「설명」은「증명」에
비해 그리 좋은 것은 아닙니다.
그러나,「이해하기 쉬운 것」을 기준으로 생각하면, 위에 적은「설명」보다 나은 것은
아마 없지 싶습니다.（더 이해하기 쉬운 설명이 있다면, 알려주십시오.）
결국, 무엇을 기준으로 삼느냐에 따라 어느 것이 좋은지가 결정되겠습니다.
엄밀성도 중요하지만, 초보단계에서는 「쉽게 이해되는」것이 중요합니다.
위의 의문을 가진 아이를 상대로, 수학적 정확함을 요구해야 한다고
주장하면「무한이란 무엇인가？」란 이야기를 시작하는 멍청한 짓거리가 되어버리죠.
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//// ■■ [ Quote・수학관련 명언등] //////////////////////////////
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>> The profound study of nature is the most fertile source of
>> mathematical discoveries.
>> 자연의 심오한 탐구는 수학적 발견을 위한
>> 가장 풍부한 자원이다.
>> ■ 푸리에 [Fourier] 1768-1830 프랑스의 수학자
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▼ 푸리에는 18세기에서 19세기에 걸처 활약한 프랑스의 수학자 입니다.
푸리에가 태어난 시대는 프랑스 혁명이 일어나고, 또 그 직후에
나폴레옹 전쟁이 시작되는 등 격동의 시기였습니다.
그도 결국 프랑스 혁명등에 휩쓸려 버립니다.
실제로, 푸리에는 나폴레옹의 이집트 원정에 동행합니다.
나폴레옹이 물러난 후（1815년 이후）에도 수학의 연구를 계속 합니다.
▼ 대학 학부 1학년이 되면, 여러 함수를 「테일러 급수」의 형태로 쓰는
법을 배웁니다. 이를 「무한 급수 전개」라고 부릅니다.
고등학교 범위 밖이지만, 예를 들어 다음과 같은 내용을 배웁니다.
sin x= x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + … [x:임의의 실수]
log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + … [-1＜x≦1]
위 의 sin x , log(1+x) 는 테일러 급수, 즉
「무한차원의 다항식」으로 원래 함수가 우변처럼 표시되고 있습니다.
#3｜ 나아가, 어떤 함수라도 테일러급수 전개를 할 수 있는 거은 아닙니다.
｜ 예를 들어, g(x)=e^(-1/x^2) [x≠0] , =0 [x=0] 는, f^(n)(0)=0 이
｜ 되기 때문에, 테일러 급수전개가 불가능합니다.
▼ 이에 반하여, 푸리에는 주어진 함수를 (일정한 조건 아래)
삼각함수 sin,cos 를 사용하여 표현할 수는 없을까?라는 질문을 생각했습니다.
f(x)를 아래처럼 쓰는 거은 푸리에 급수로 「전개한다」라고 합니다.
지금은 물리나 의학등, 수학 이외에서도 중요하게 쓰입니다.
★ f(x) = a0/2 + Σ (an*cos(nx)+bn*sin(nx)) [n=1...+∞]
여기서, 수열 an,bn 은 다른 f(x) 에 대하여 일의적으로 주어집니다. (여기선 생략)
#3｜ 「일정한 조건」이라고 한 것처럼, 어떤 조건이 필요합니다.
｜ 여기선 다루지 않겠습니다. 자세한 것은 알고 싶은 사람 각자 책을 읽어 보세요.
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◆ 메일박스＠독자님의 의견＆질문 코너◆
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▼ ＡＰＩ＠전공은 조합론？씨
>とありましたので、제 사고과정을 말씀해 드리고 싶습니다.
>우선, 이 문제를 푸는 데 있어, 문제의 유도와는 전혀 관계 없이
>다음과 같은 방법으로 A(n)을 구했습니다.
>以下、n個のものからk個を選ぶ組み合わせの個数（nCk）のことを
>C(n,k)と表現させて頂きます。
[…以下ちょっと省略…]
>Ps. 1+1/2+1/3+…+1/n+… という級数のことを○○級数という特別な
> 呼び方があったような気がするのですが思い出せません。
> あと、この級数の部分和を一般的にスッキリと表す方法は無かった
> ように記憶していますが正しかったでしょうか。
> 代数が専門で無かった上に、数学から離れて？年ほど経ってしまった
> ので、つい忘れてしまいました。。。トホホ。。。
↑のA(n)の一般項の話（前回の宿題の補足（↓参照））は、私が最新号の
原稿を適宜Websiteにあげているので、最新のMmg配送前にメールをいただく
ことができました。
が、ちょっと（というか、かなり）長いのでここでは割愛します。
APIさんの議論（数列A(n)の一般項を求める議論）を見たい方がいらっしゃい
ましたら、私宛にメールくだされば該当部分を転送したいと思います。
S(n)=1+1/2+1/3+…+1/n+… は「調和級数」という名前がついているようです。
n→+∞ としたとき発散しますね。なかなか発散しないですけど。
この部分和の一般項をすっきりあらわす方法は…。ないんじゃないかなぁ。
私はよく知らないけど、でも「できない」ことを示すのは一般に難しいからね。
「多項式で表すことが出来ない」ということならできるかもしれません。
▼ あきらさん
>ps: 最近問題になれてきたせいか、ひらめくようになってきました。
>完璧ではないけれど。。。
私はあまりひらめかないです(^^;。ときどきぴかっとひらめくことがあるけど。
私のほう、ちょっと体調くずしていまして、「宿題」はしばらくお休みする
ことになりました。申し訳ないです～。
▼ 立直一発さん
> ちょっと前まで難しく手が出なかったんですが、こういう問題だと
> 大学入試とかにも出そうな感じなので、これからは解こうかと思います。
円盤の問題は一般化しにくいですね。一般項を求めるのもちょっと大変だし、
もしそこまで踏み込むなら誘導を与えないと無理でしょうね。
n=3,4くらいなら求まるけど、ただそれだと単純な計算問題になるだけだし。
「宿題」はそれほど難しくないと思うんだけど、どうなのかなぁ。
答案数が少なくなってきたことと、私の体調不良とでしばらくお休みすることに
しました。
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● 지난회 (No.29) 의 숙제와 답안소개/추가해설
＠ No.28의 숙제는↓이것↓이였습니다.
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> 【▼숙제 [No.28-1]】
>
>
> ・ 반지름 1～n의 n개（단, n≧2 인 정수）의 목제 원반이 있다.
> 이 n개의 원반을 중심을 맞추어 겹치게 쌓아서, 바로 위에서 보았을 때,
> 딱 2개의 원반이 보이게 하는 방법은 몇가지 일까 알아보자.
>
> 이는 n에 따라, 값이 결정되므로, 딱 2개의 원반만 보이는
> 쌓는 방법의 총 수를 A(n)이라고 한다.
>
>
> (1) A(3)を求めなさい（答えだけでよい）。
>
> (2) A(5)を求めてみよう。
>
> (a) 一番上に半径5の円盤を置いた場合、真上から見て2枚の円盤が
> 見えることは決してない。それはなぜか？
>
> (b) 従って、条件を満たすような円盤の積み重ね方をするとき
> 一番上に置く円盤の半径は1～4のどれかである。
> このことに着目して、A(5)を求めなさい。
> ただし、どのように考えたかもすべて書くこと。
>
> (3*チャレンジ問題) A(n)の一般項は出てくるでしょうか？
> 無理なら、漸化式の形ででも表示できないでしょうか？
>
>
>
>
> 【▼숙제 [No.28-2]】
>
>
> ・ xy좌표의 점에 대해, x좌표, y좌표의 값이 모두 유리수인 점을
> 「유리점」이라 한다.
> 또한, ^ 는 「거듭제곱」을 나타낸다.（예:5^3 →5의 3제곱 = 125）
>
>
> (1) 원 x^2+y^2=2 위의 유리점을 하나 말해보라.(답만 말해도 됨.)
>
> (2) 정수 s에 대해, s^2を3で割った余りが2であることはあるか？
> あるならsの例を1つあげ、なければないことを示しなさい。
>
> (3) 円 x^2+y^2=3 上の有理点は1つでもあるかどうか、(2)を利用して
> 調べなさい。あるなら例をあげ、なければないことを示しなさい。
>
> (4*チャレンジ問題) r≧1を整数として与える。
> このとき x^2+y^2=r^2 上の有理点の個数が1個以上あって、しかも
> 有限個であるということはありうるか？
> あればそのようなrを1つあげ、なければないことを示しなさい。
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┃ ■ 前回の宿題の出題意図/解説
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【宿題.1 組み合わせ】
★ 出題意図/解説
⇒ まずは A(3)で様子をみます。A(5)を求める方法は色々ありますが、
ここでは真上に見える円盤で場合わけをするような設定にしてみました。
誘導に乗れば特に問題なく解ける楽な問題でしょう。
ちなみにA(n)の一般項どころか漸化式も私はわかりませんが、次のような
予測を立てています。少なくともA(6)まで正しい値を返します。
A(n) = (n-1)*A(n-1) + (n-2)! [n≧3] , A(2)=1
これによると、A(5)=50であることから A(6)=5*50+24=274となりますが、
実際、A(6)を手計算で調べるとぴったり274になります。
上記の証明かまたは反例を見つけた方、ご一報ください。
【宿題.2 円と方程式】
★ 出題意図/解説
⇒ (1)はどうやっても出来るでしょう。
(3)で半径rを√2から√3に変えると有理点がもう1つも見つからなくなる
ことを示すため、(2)は補題の形になっています。
ずっと円の話をしているのに(2)で突然、初等整数論の話が出てくる
謎を見抜くことができれば、(3)も早いでしょう。
逆にこれを見抜けない限り、(2)の活用方法がわからず(3)は途方に
くれます。(4)はオマケ問題です。こちらも考えてみると面白いかも。
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● 皆さんから届いた答案の紹介 / コメント
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[宿題.2 立直一発さんの答案]
>(1)
>(x, y)=(1, 1)
>(2)
>(i)sが3の倍数のとき、
>s=3mとおいて、s^2=9m^2
>s^2は3*(整数)の形なので、s^2は3の倍数となる。
>(ii)sが3で割ると1余る整数のとき、
>s=3m+1とおいて、s^2=9m^2+6m+1
>9m^2+6mは3の倍数なので、s^2は3で割ると1余る。
>(iii)sが3で割ると2余る整数のとき、
>s=3m+2とおいて、s^2=9m^2+12m+4
>9m^2+12m+3が3の倍数なので、s^2は3で割ると1余る。
>(i),(ii),(iii)より、3で割ると2余るようなs^2は存在しない。
>(3)
>-√3≦x≦√3, -√3≦y≦√3である
⇒ (2)でs^2を3で割って余りが2になるような整数はないんだということを
示しました。突然ここで初等整数論の話題が出てきますが、これがヒントです。
さて(3)ですが、 x^2+y^2=3 上の有理点があるとして、x=n/m , y=s/t と
おきます。すると、n,m,s,tに関する関係式が得られます。
関係式をつくった後で、(2)をよくみると矛盾に達して終了します。
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■ 編集後記
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▼ すべって落下してきたカレー皿で、手を切りそうになりました(--;。
無事キャッチして事なきを得たけど、端が割れてしまって捨てました。
ガラス物の取り扱いにはみなさま十分気をつけてくださいな。
▼ まぐまぐ http://www.mag2.com/ の左上にあるプール飛び込みゲーム。
まぐまぐちゃんに10点を出させるのが目的らしいのですが、どうやっても
9.2点としか評価してもらえません（笑）。
誰か10点が出た方、やり方を教えてくださいー。
▼ このメールマガジンの執筆で気をつけていることが1つあります。
別にこだわっても仕方ないことだと思うけど、いわゆる「ら抜き言葉」を
排しています。個々のタイプミスを除けばすべて「ら」が入るべき
ところできちんと入っているはずです。
最近は抜くことを許容する傾向があると思うけど、私は「ら」を入れないと
気持ちが悪くて仕方がないです。
▼ 夏休みはp群の構造について調べるという課題が出ています。
ここにきて、話の流れが微妙に変わってきたなと感じています。
基本定理のシローの定理は使えないし（p群に対してシローの定理は無力）。
ただ、p群はべき零群（したがって、可解群）だから。この性質を使います。
真部分群のノーマライザーが必ず上に真に持ち上がるとか、有限べき零群が
持つ性質も使えるし、p群のみが持つ性質も多いです。
そんな性質を駆使して解析を進めていくのです。
まず飛び出すのはp群に関するバーンサイドの定理。今回はこれが主役。
▼ それではまたです。
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編集/発行 シャイン☆結希 [ <a href="http://go.daum.net/bin/go.cgi?relative=1&url=/Mail-bin/login_f.cgi%3Ferror%3Dlogin%26lu%3D/Mail-bin/send_mail.form.cgi%3FTO%3Dyuki@yuki.to">yuki@yuki.to</a> ]
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＠ [보너스 코너] 수학 조각 지식←여름방학 자유연구 주제로 알맞지 않아요.
[● 전혀 도움은 안되는 공식＠원주율π를 구해보자]
・ 1부터 시작해서, 홀수 1,3,5,7,…을 사용해서, 원주율π를 표현할 수 있습니다.
★ π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - ……
우변이 수렴해서 그 극한이 π/4라는 중명은 함수 arctan의
전개를 이용하는 학부 1학년 수준입니다.
자, 이걸로 π를 소수점아래 9999조 자리까지 구해서 세계기록을 세우자！！라고
야망을 갖고 여름 방학의 과제로 한다고 해도, 세상일이 그리 호락호락하진 않습니다.
분명히 우변의 무한급수는 π/4와 같기 때문에, 우변을 적당한 곳에서 끊어,
그 값을 4배하면（우변의 분모 4를 상쇄）、원주율 π의 근사값이 나옵니다.
분명히 π의 근사값은 나옵니다. 그것은 맞습니다.
그렇지만, 근사값으로의 수렴은 느리고 빠른 것이 있습니다. 이 경우는 너무 늦습니다.
그래서는 쓸모가 없죠. 9999조 자리까지의 꿈은 아직 꿈일 뿐입니다.
9999兆どころかか9桁の近似値を求めること、いや、9桁すら無理で、단지 3.14까지도 쉽게 안 나옵니다.
거짓말이라고 생각하는 분은 우변을 어느정도까지 계산해 보세요.
그래서, 4를 곱합니다.（4를 곱해서 좌변의 분모 4가 없앨 수 있고,
π의 근사값이 나옵니다.）
π=3.14159… 의 3.14 까지만 얻는 것도 그리 쉽지 않죠?
뿐만 아니라, 3.1까지 얻는 것도 굉장히 힘듭니다.
</pre>
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첫댓글 헐..0.999999.... 문제에서, 설명1,2가 증명이 아니라니...갠적으로 저렇게 설명하면 증명이라고 알고있었는데...도대체 수학자들은 왜그렇게 정확한걸 고집하는지;;;;;설명1,2만으로도 완벽하게 보이는데;;;;
골치 아프네요
악.. 눈이야...ㅠㅠ 그래도 잘 봤습니다 xaos님..
근데 숙제가 너무 많아요. 2문제라니...ㅠㅠ 다음시간까지 못풀면 벌칙있나요?