프랙탈 / 단순성과 복잡성

[김동석]

1.단순성과 복잡성

고전기하학의 대상 -직선,원,구,원추 등-은 "단순하다".즉 대상의 형태와 크기를 기술하는 간단한 방정식에 의해서 이 모두는 기술되어질 수 있다.한 예로서 직선을 보자.직선을 모형화하는 방법은 그림1에서 처럼 좌표계에 직선을 그려넣는 것이다.직선의 중요한 특징은 일정한 기울기를 가진다는 것이다.좌표계상의 두 점을 취해서 그으면 그 경사가 직선의 기울기이다.예컨대 (x,y),(0,b) 두점을 통과하는 직선의 기울기는 다음과 같다.(그림1)
 간단한 곡선의 경우도 곡선상의 점들을 그 곡선의 방정식에 대입하면 특정곡선을 완전히 기술할 수 있다.예컨대 중심이 x=0,y=0이고 반경r가 1인 원주상의 점들의 좌표는 이라는 식으로 간단히 기술되어진다.이제 약간 더 복잡한 "텐트"라고 불리는 기하학적 대상을 고찰해 보자.(그림2) 얼핏보면 이 대상이 더 복잡하다는 것이 분명하지 않을 것이다.이것을 어떻게 수식화할 수 있는지를 잠깐 고찰해 보자.그 한방법은 이 텐트를 조각내는 것이다.그러면 좌측과 우측을 각기 방정식으로 기술할 수 있다.그러면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

  y = m_left  x + b   (x는 A의 왼쪽)
  y = m_right  x + b (x는 A의 오른쪽)

이 형태를 기술하는데는 2개의 방정식이 필요하다.셋 조각으로 분해된다면 3개의 방정식이 필요할 것이다.이것이 직선보다 복잡한 것은 그 "꺽어짐"(sharp kink)으로 인한 것이다.

                 <그림1>                                                                   <그림2>

 고전기하학에서 단순한 곡선은 "매끄럽다"(smooth)라고 말해진다.곡선의 어떤 부분을 충분히 확대시켰을 때 그것이 직선으로 보인다면 그 곡선은 매끄럽다고 말할 수 있다.이러한 의미에서 매끄러운 곡선은 부분적으로는(locally) 직선과 구분되지 않는다.마찬가지로 구의 표면중의 어떤 부분이 평평한 평면의 일부로 보인다면 그 표면은 매끄럽다고 한다.그림2는 매끄럽지 않다.불연속적인 점에 의해서 2개의 부분으로 나뉘어져 있기 때문이다.
 곡선이 매끄럽다고 말하는 또 다른 방식은 곡선이 어떤 임의의 점에서 한개의 접선만을 가질 경우이다.접선은 그 접선이 만나는 곡선의 그 부분과 겹쳐져 있다.그 겹쳐진 부분을 확대해 보면 곡선과 접선간의 차이를 볼 수 없다.그림 4는 이것을 보여주고 있다(그림3) 매끄러운 곡선은 각 부분들이 선형적이기 때문에 전체적으로 선형성을 가지며 따라서 단순한 방정식으로 기술되어질 수 있다.

<그림3>

그림2의 대상에 대해서는 A에서 하나의 접선을 그을 수 없음에 유의하라.그 점에서의 접선의 자격은 그 점에 어떻게 접근하느냐에 의존한다.우리가 왼쪽에서 A에 접근해 간다면 그것의 기울기는 m_left이고,오른쪽에서 접근해 간다면 m_right이다.꺽인점이 있을 경우에는 그것에 수렴하는 "하나의" 접선을 가질 수 없다.
여기서 우리는 코흐곡선과 같은 그런 대상이 왜 고전기하학에서 '괴물'처럼 간주되는지를 잘 알 수 있다.코흐곡선은 꺽인점들만으로 만들어져 있다.그것은 접선을 전혀 갖고 있지 않다.그것은 전체적으로 매끈하지 않고 거칠다.그것을 아무리 확대해도 꾸불꾸불한 부분을 제거할 수 없다.어떤 배율에서도 그것은 매끈하지 않다.
 칸토르의 집합 역시 완전히 불연속적인 따로따로 떨어진 점티끌들로 되어 있기 때문에 매끈한 부분이 전혀 없다.낮은 배율에서는 칸토르집합의 가장자리 근방의 점들의 밀집지역은 작은 선분들로 이루어진 것 처럼 보이나 배율을 크게하면 이 작은 선분들이 점점 더 작아져 가는 불연속적인 점들로 깨어져감을 볼 수 있다.
이 프랙탈의 쪽거리의 특성(fractured character)이 어느 한 곳도 매끈한 곳이 없는 들쭉날쭉한 구조를 만들어낸다.이 매끈함의 결여 때문에 간단한 방정식으로 기술하는 것이 불가능하다.

2. 정수차원과 프랙탈차원

프랙탈 대상에 방정식을 사용할 수 없지만 이 괴물을 정의하기 위해서 고전기하학에서 차용해 올 수있는 유용한 개념이 있다.그것이 바로 "차원"이다.
차원이 무엇인가를 잠깐 생각해 보자. 점은 0차원이고,선은 1차원이고,면은 2차원이며,입방체는 3차원이다.선이 1차원이고,사각형이 2차원이라는 것을 우리는 어떻게 아는가?이 문제를 생각하는데 물리적으로 유용한 방법이 있다.선의 물리적 모델 즉 두께를 무시할 수 있는 가늘고 단단한 철사줄 같은 것을 생각해 보자.어떤 부분을 잘라보아도 모두 똑 같다.간단히 철사줄의 길이가 단위길이 1이라고 하자.이것의 무게도 단위무게 1이라고 하자.우리가 이것을 반으로 쪼갠다면 각 부분은 1/2단위길이와 1/2단위무게를 가질 것이다.다시 반으로 쪼개면 1/4의 단위길이와 단위무게를 가질 것이다.무게와 길이 간에는 일정한 비례관계가 있다.

 

이제 정사각형의 판자를 생각해 보자.간단히 한 변이 1인 이 판자가 1의 무게를 가진다고 하자.한 변이 1/2이 되도록 이 판자를 잘라보자.그러면 4개의 조각이 생길 것이고 그것의 무게는 각 1/4이 될 것이다. 이 조각을 다시 반으로 자른다면 한 변의 길이는 1/4이 될것이고 그것의 무게는 1/16이 될 것이다.1/2로 길이가 줄어듬에 따라 무게는 1/4의 비율로 줄어든다.길이와 무게 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

마지막으로 길이가 1이고,무게가 1인 정육면체의 상자를 생각해 보자.이것을 반으로 자르면 변의 길이는 1/2이 되고 그 무게는 이제 1/8이 될 것이다.마찬가지로 이것을 다시 반으로 자르면 그것의 무게는 1/8의 1/8 즉 1/64이 될 것이다.길이가 1/2의 비율로 줄어듦에 따라 그것의 무게는 1/8의 비율로 줄어든다.이 상자의 무게-길이의 관계는 다음과 같다.

위의 세 사례를 일반화시켜 우리는 유클릿드의 대상의 차원은 그 길이가 그 무게를 갖기위해서 증가되어지는 멱수(power)다라고 할 수 있다.이것은 차원을 조작적으로 측정하는 것을 가능하게 한다.
이제 가스켓(Gasket)의 차원을 검토해 보자.우리는 길이를 측정하고 이것을 무게와 연관시키는 방법으로 가스켓의 차원을 연역할 수 있다.선,사각형,입방체 처럼 길이=1,무게=1인 단위 가스켓으로 시작하자.이 가스켓 안에는 길이=1/2인 3개의 축소 복사본들이 들어있다.그러므로 이 가스켓의 무게는 1/3이다.

  <그림4>시어핀스키 가스켓

시어핀스키 가스켓이 만들어지는 과정을 시행해보기 위해서는 여기를 클릭하세요

길이 1/4인 복사본의 무게는 1/9이다.길이 1/8인 복사본의 무게는 1/27이다.이것을 가지고 무게,길이의 관계를 앞서와 같은 방식으로 나타내면 다음과 같다.

    (여기서 d는 카스켓의 차원이다)

 여기서 d는 보통 유클릿드 차원과는 다르다.유클릿드 차원에서는 1/2을 1승하면 1/2이되는데 이것은 가스켓의 1/3보다 크다.반면 2승하면 1/4이 되는데 이것은 가스켓의 1/3보다 작다.1승이 1차원이고,2승이 2차원이라는 것을 염두에 두면 가스켓의 차원은 1차원 보다는 크고,2차원 보다는 작다.이 가스켓의 차원은 얼마일까? 이것을 구하기 위해서는 d에 대해서 정리하면 되는데 로그함수를 이용하면 된다.양변에 로그를 취해서 정리하면

차원은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

  

여기서 N은 복사본의 수이고,e는 축소율이다.유클릿드의 철사줄모형의 경우 길이를 반으로 줄이면 축소율e는 1/2이고 복사본N의 수는 2이다.따라서 선의 차원은 다음과 같이 계산된다.

d= log(2)/log[1/(½)] = log2/log2 = 1

면적의 경우는 1/2로 축소시키면 복사본의 갯수는 4개가 되므로,

d= log(4)/log[1/(½)] = log4/log2 = log2²/log2 = 2log2/log2 = 2

똑같은 방식으로 입방체의 경우는 1/2로 축소시키면 복사본은 8개가 되므로,

d= log(8)/log[1/(½)] = log8/log2 = log2³/log2 = 3log2/log2 = 3

1/3의 비율로 축소되면서 4개의 복사본이 만들어지는 코흐곡선의 차원은 얼마일까?

d_koch=

칸토르의 티끌은 1/3의 비율로 축소되면서 2개의 복사본이 만들어진다.

d_cantro=

 <그림5>코흐곡선 만들기

      

코흐곡선이 만들어지는 과정을 보기위해서는 여기를 클릭하세요

<그림6>코흐곡선과 칸토르의 티끌의 비교

3. 프랙탈의 특성

우리는 흔히 선을 잘게 분해해 나가면 점에 도달하고 면을 잘게 분할해 나가면 선에 도달하고 입방체를 잘게 분해해 나가면 면에 도달한다고 생각한다.이것이 유명한 제논의 역설의 기본전제이다.그러나 낮은 차원의 양을 아무리 늘여도 높은 차원의 한 조각도 만들어내지 못한다.프랙탈의 통찰은 바로 이것을 보여주고 있다. 예컨대 아래 사각형의 총길이는 얼마일까?

    <그림7>                  

  선분들로 사각형을 빈틈없이 덮은 다음 그것을 합산하면 면적이 나올 것이다.사각형의 중간을 가로지르고 있는 길이 1의 선분으로 시작하자.이것으로는 사각형을 덮을 수 없는데 빈틈이 많이 남아있다.이것을 덮기 위해 더 많은 선을 그을 필요가 있다. 선을 사각형안에 체계적으로 채워가도록 하자.사각형을 4개의 더 작은 사각형으로 나누고 각 사각형의 중간에 선을 긋자.각 선의 길이는 1/2이므로 각 선을 더하면 4× ½ =2이다.아직 빈틈이 많이 남아있다.16개의 더 작은 사각형으로 나누고 각 사각형안의 중간에 선을 긋자.이 선들을 더하면 16 ×¼ =4이다.다시 더 잘게 나누어 선을 긋고 더 하면 64× ⅛ =8이다.다시 더 작은 사각형으로....이 과정을 계속하면 선분의 총합은 계속 커진다.자를 때마다 선분의 길이는 배가된다.잘게 나누어 사각형안의 선분들이 거의 점처럼 됨에 따라 그 선분들의 총합은 무한대가 된다.요컨대 사각형안에 무한대의 길이의 선을 그을 수 있다.거꾸로 이야기 하면 무한대의 길이의 선으로도 티클만한 크기의 면적도 만들어낼 수 없다.
이제 입방체의 면적을 구해보자.입방체를 사각형으로 채우기 위해서 우선 사각형을 입방체의 한 가운데에 삽입하자.

 <그림8>

  사각형을 덮고 있는 입방체는 부피가 1이다.그러나 사각형의 위아래에 많은 빈틈이 있다.좀더 촘촘히 덮을 필요가 있고 그래서 한변이 1/2인 4개의 입방체로 자르자.부피는 4× (1/2)³=1/2 이다.약간 낫지만 그래도 아직 많은 빈틈이 남아있다.길이 1/4의 16개의 입방체로 자르면 그것의 총부피는 16× (1/4)³=1/4 이다.다음은1/8, ..이다.좀더 촘촘히 덮어감에 따라 그 때마다 부피는 1/2씩 감소해 간다.
 사각형이 입방체로 덮혀지는 극한에서 총부피는 0이 되어버린다.사각형은 2차원의 면적이다.이것을 1차원선으로 규정할려고 하는 순간 그것의 총길이는 무한대가 되어버린다.반면 2차원을 3차원 입방체로 나타내려고 했을 때 그것의 부피는 0이 되어버린다.요컨대 어떤 기하학적 대상에 대해 원래의 차원보다 낮은 차원을 사용한 측정은 무한값을 낳고,높은 차원을 사용한 측정은 0가 된다.
이제 비정수 차원을 가진 프랙탈대상의 측정에 관해서 생각해 보자.한 예로서 가스켓을 택하자.길이 1인 정삼각형 가스켓의 전체길이를 구해보자.

                                         <그림9>

 삼각형의 바깥의 셋변을 덮음으로 3을 얻는다.그러나 아직 덮지 못한 많은 가스켓들이 남아있다.바깥변과 내부의 작은 삼각형을 둘러싸고 있는 변을 덮으면 총길이는 3+3×(1/2)=4.5이다.또 그 내부의 작은 삼각형의 변이 남아있으므로 그것을 부가하면 3+3×(1/2)+9×(1/4)=6.75이다.우리가 내부의 더 많은 변을 덮을 때 마다 그것의 총길이는 증가한다.1/2의 비율로 줄어든 길이를 사용할 때 마다 앞단계 보다 그것을 덮는데 3배가 더 많이 필요하다.그래서 결국 길이는 3/2배로 증가한다.덮는 것을 더 촘촘히 하면 할수록 길이는 점점 길어지고 종국에는 그 길이가 무한대가 된다.
 이제 이 가스켓의 면적을 구해보자.

<그림10>

  첫번째 덮기에서 1인 사각형이 가스켓 전체를 덮는다.주변에 빈틈이 많이 생기므로 좀더 정밀하게 하기위해서 길이 1/2인 정사각형을 사용하면 그것의 면적은 3×(1/2)²=3/4이다.길이를 1/4로 하면 면적은9×(1/4)²=9/16이다.면적은 각 단계 마다 3/4의 비율로 계속 줄어든다.종국에는 면적이 0이 된다.
  가스켓은 무한한 길이를 갖고 있다.이것은 이것이 1 보다 높은 차원임을 의미한다.그러나 이것은 면적을 갖고 있지 않으므로 2보다는 낮은 차원임을 의미한다.이것은 유클릿드 대상과는 같지 않다.똑같은 것이 코흐곡선의 경우도 적용된다.그것의 면적은 0이고,길이는 무한대이다.  
가스켓,코흐곡선,그리고 칸토르 집합들의 이 별난 차원은 복잡성에 관한 중요한 것을 우리들에게 말해주고 있다.가스켓이나 코흐곡선은 일상적인 매끄러운 곡선이 되기에는 너무 꾸불꾸불하다.그러나 한 부분의 면적을 채우기도 충분하지 않다.코흐곡선의 차원은 가스켓의 차원보다 작기 때문에 코흐곡선은 매끄러운 곡선에 가깝고,가스켓은 면적에 가깝다.칸토르 집합은 불연속적인 점과 한조각의 선분사이의 중간단계이다.그것은 개개의 점으로 분해되어 버리기에는 큰 밀도이고,선이 되기에는 너무 낮은 밀도이다. 

4.자연속의 프랙탈

사물의 프랙탈 차원과 그 사물의 생성의 과정은 밀접하게 얽혀 있다.생성초기의 강은 유속이 빠르고 그래서 강줄기는 직선형으로 된다.시간이 지남에 따라 가는 모래더미가 퇴적되어 강의 형태는 구불구불하게 되고 지류의 수도 증가한다.
나이를 먹음에 따라 프랙탈 차원이 증가해 가는 것이다.종이도 처음에는 평평한 2차원이지만 점점 구겨지면서 주름이 만들어지고 차원은 증가한다.이것은 프랙탈 차원의 측정은 그 대상의 연륜에 대한 측정이라는 것을 의미한다.프랙탈 차원속에 그러한 기하학적 구조를 낳은 동력학적 과정에 대한 과거의 정보가 담겨져 있다.자연의 들쭉날쭉한 프랙탈적 본성내에 그것을 만든 힘과 환경에 대한 단서가 들어 있다.그러므로 자연의 프랙탈 기하학에 관한 연구는 실제 진화적 과정에 대한 연구이다.
그러나 가장 놀라운 것은 프랙탈을 이용한 생물의 구조이다.생물에 있어서 기능의 효율성은 크기를 일정하게 유지하면서 어떻게 하면 외부와의 접촉면을 최대화할 것인가 하는 것이다.한 예로 우리몸의 폐를 보자.이것은 텅빈 공기주머니가 아니다.큰가지가 점점 작은 가지로 갈라지면서 폐포에서 종결되는 수지상 구조로 되어 있다.산소는 폐의 세포벽과 접촉해야만 적혈구에 의해서 흡수될 수 있기 때문에 허용되는 최대부피내에 가능한한 넓은 표면을 가지는 것이 유리하다.프랙탈구조는 이 문제에 대한 해결책이다.똑같은 원리가 우리몸의 순환계에도,소화관에도,신경계에도 적용되고 있다. 뿐만 아니라 똑같은 요구 때문에 우리의 대뇌피질도 주름져있고,우리의 손바닥도 주름진 손금으로 되어있다.
순환계는 산소와 영양을 세포에게 신속히 공급하는 역할을 해야 한다.그러기 위해서는 세포 바로 인근에 혈관이 분포해 있지 않으면 안된다.만일 이것을 보통의 방식으로 설계하고자 한다면 그것을 충족시키기위해 우리 몸을 혈관으로 완전히 채우지 않으면 안될 것이다.최소의 부피를 차지하면서 몸의 모든 부분과 속속들이 접촉을 유지하는 방법은 프랙탈적 구조외에는 없다.
 특히 이 순환계의 경우 표면확보의 문제와 더불어 충격흡수라는 2중기능을 프랙탈구조를 통해 기막히게 해결하고 있다.사포발(B.Sapoval)이 개발한 프랙탈 북가죽이라는 것이 있다.이것은 매끈한 표면을 가진 통상의 북가죽과는 다르다.보통의 북은 칠 때 막은 정상파라 불리는 큰 진동을 가지고 진동한다.정상파의 소리의 크기는 북의 반경에 비례한다.프랙탈면을 가진 막은 울통불퉁해서 정상파가 나오기 어렵다.아무리 크게 쳐도 그 진동은 급속히 소멸해 버린다.프랙탈구조가 충격을 흡수하는 기능을 하는 것이다.사포발은 이 효과가 해안의 프랙탈 구조의 생성의 원인일지 모른다고 생각했다.파도에 의해서 가해진 충격으로 인한 부식은 프랙탈의 형태를 만들어내고 이번에는 이것이 파도의 충격을 약화시키는데 효과적인 작용을 한다.마찬가지로 순환계의 프랙탈적 형태는 심장의 강력한 박동을 완화시키는 역할을 한다.  

그외 자연의 프랙탈적 특성들에 대한 그림을 보기위해서는 여기를 클릭하세요

 5.연관 소프트웨어

 <winf1821> 만델브로트 집합 등 많은 프랙탈등을 구동시켜 볼 수 있는 대표적 소프트웨어

<Fractal practice> 로지스틱맵,멩거 스폰지 등 가스켓,프랙탈 나무 등을 변수를 바꿔서 연습해 볼 수 있는 학습용 프로그램.도스용이어서 좀 불편한 것이 흠이다.

<biofractal> 2차원 린덴마이어 시스템을 보여주는 소프트웨어.상세한 사용법은 여기를 클릭

<L-system> 3차원 린덴마이어 시스템.상세한 사용법은 여기를 클릭.상세한 사용법은 여기를 클릭